第05课：21.2.4解一元二次方程-根与系数的关系 讲义- 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第05课 第二十一章一元二次方程21.2.4解一元二次方程-根与系数的关系人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1、方程的根与系数的关系 2、方程的根与系数的关系 即：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比 3、常见变形式求解： ； ； ； ； 。 考点01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根 例题1.若是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】解：设另一个根是，由根与系数的关系，得 ，， 解得，． 答：另一个根是，的值是．   变式1（1）. 已知的一个根是，求的值及另一根． 【答案】解：是的一个根， ， ． ，， ． 综上，，另一根为．   变式1（2）. 已知关于的方程若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【答案】解：将代入方程，得． 解得． 该方程为，即． 设另一个根为，则． 解得．  变式1（3）.若是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】解：设另一个根是，由根与系数的关系，得，，解得，答：另一个根是，的值是．  变式1（4）.已知是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】解：设方程的另一根为， 是一元二次方程的一个根， ，解得， ，解得． 方程的另一个根为，的值为． 变式1（5）.已知关于的一元二次方程若是这个方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 【答案】解：是关于的方程的一个根， ，解得． 和为的两个根，则有，解得， 方程的另一个根是．  考点02 利用根与系数的关系求两个根的和与积 例题2.不解方程，求下列方程两个根的和与积： ； ； ； ． 【答案】(1)设x1，x2是方程x2－3x＝15的两个根， 整理x2－3x＝15，得x2－3x－15＝0， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝－15  (2) 设,是方程+2=1-4x的两个根, 整理+2=1-4x,得+4x+1=0, +=-,=.  (3)设x1，x2是方程5x2－1＝4x2＋x的两个根，整理5x2－1＝4x2＋x，得x2－x－1＝0， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝－1．  (4)设,是方程-x+2=3x+1的两个根,整理-x+2=3x+1,得-4x+1=0, +=2,=.  变式2（1）.不解方程，求下列方程两个根的和与积： ；  ； ；  ． 【答案】解：设，是方程的两个根，  整理，得， ，． 设，是方程的两个根，  整理，得． ，． 设，是方程的两个根， 整理， 得， ，． 设，是方程的两个根， 整理，得， ，．   变式2（2）.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积． ； ； ； ． 【答案】(1)，  (2)，  (3)，  (4)，  考点03 利用根与系数的关系求某些代数式的值 例题3.已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ；；；． 【答案】(1)解：x1+x2＝3．  (2)x1x2＝-1．  (3)．  (4)．  变式3（1）.已知，是一元二次方程的两个实数根，求下列各式的值． ；；． 【答案】(1)由一元二次方程的根与系数的关系，得，.   (2)  (3)  变式3（2）.已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： ；；． 【答案】(1)解：，. 原式； (2)原式；  (3)原式.  变式3（3）.若，是方程的两实数根，求下列各式的值． ；；． 【答案】(1)解：，是一元二次方程的两根，，，​​​​​​​；  (2)；  (3)，.  变式3（4）.已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． ． 【答案】解：根据根与系数的关系得，． 原式； 原式． 原式．  【解析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． 先利用根与系数的关系得到，． 利用因式分解法变形得到原式，然后利用整体代入的方法计算； 利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算． 直接利用完全平方公式得出结果． 考点04 利用根与系数的关系确定待定字母的值或取值范围 例题4.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)解：∵关于x的方程  x2+2mx+m2+m＝0有实数根，∴Δ＝(2m)2-4×1×(m2+m)≥0，  即-4m≥0．∴m≤0；  (2)由一元二次方程的根与系数的关系，得x1+x2＝-2m，x1·x2＝m2+m．∴​​​​​​​，  即m2-m-6＝0．  解得m1＝3，m2＝-2．  由（1）知m≤0，∴m＝3应舍去．∴m的值为-2．  变式4（1）.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－（2k－3）]2－4（k2＋1）＝4k2－12k＋9－4k2－4＝－12k＋5>0，解得．  (2)∵，∴ x1＋x2＝2k－3<0．又∵x1·x2＝k2＋1>0，∴x1<0，x2<0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－（x1＋x2）＝－2k＋3．∵|x1|＋|x2|＝2|x1x2|－3，∴－2k＋3＝2k2＋2－3，即k2＋k－2＝0，∴k1＝1，k2＝－2．又∵，∴ k＝－2．  变式4（2）.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，， ， 解得：， 的取值范围为． 关于的一元二次方程有两个实数根，， ，． ， 当时，有， 联立解得：，， ，； 当时，有， 联立解得：，不合题意，舍去． 符合条件的的值为．  【解析】本题考查的是根的判别式和根与系数的关系． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； 由根与系数的关系可得、，分和可找出或，联立或求出、的值，进而可求出的值． 变式4（3）.已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求实数的取值范围： 若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】解：有两个实数根， ， ， ； ，是该方程的两个根， ，， ， ， 或． ， ．   【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系是解题关键． 直接根据根的判别式列出不等式求解即可； 根据根与系数的关系列方程求解即可． 变式4（4）.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． 求的取值范围； 判断，的符号； 若求的值． 【答案】(1)∵Δ＝b2－4ac＝（－2k）2－4×1×（k2＋k＋1）≥0，解得k≤－1；  (2)x1＋x2＝2k＜0，；  (3)由（2）得x1＜0，x2＜0，∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝2，∴－2k＝2，解得k＝－1．  变式4（5）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若此方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】解：根据题意得， 解得； 根据根与系数的关系得，， ， ， 解得， ， ． 故的值是．  【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； 利用根与系数的关系得到，，再利用得到，接着解关于的方程，然后利用的范围确定满足条件的的值． 本题考查了根与系数的关系：一元二次方程的两根分别为，，则，也考查了根的判别式． 变式4（6）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 【答案】(1)解：Δ＝36-4(2m+1)≥0，解得m≤4．  (2)2x1x2+x1+x2＝2(2m+1)+6≥20，解得m≥3．  又m≤4，∴3≤m≤4．  变式4（7）.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 设方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)解：根据题意，得Δ＝(2m-1)2-4m2＞0，解得．  (2)根据根与系数的关系，得α+β＝-(2m-1)，αβ＝m2．∵α2+β2＝1，∴(α+β)2-2αβ＝1．∴[-(2m-1)]2-2m2＝1．整理，得m2-2m＝0，解得m1＝0，m2＝2．∵，∴m的值为0．  一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  2.已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D  【解析】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ，， 即，， 故选：。 先根据根与系数的关系可得，，而，，那么，，解即可。 本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的等量关系的公式。 3.已知，是一元二次方程的两个实数根，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系得． 故选：． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程两个为，，则，． 4.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  5.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【解答】 解：， ， ， 把代入得：， 解得：，此时，符合题意， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.设，是方程的两个根，则           ． 【答案】  7.已知，是方程的两个不等的实数根，则的值为          ． 【答案】  8.已知关于的方程的两个根为，，则          ． 【答案】  9.关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为          ． 【答案】  10.若关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是          ． 【答案】  三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知关于的一元二次方程有一个实根为，求的值及方程的另一个实根． 【答案】解：把代入方程，得，解得，． 设方程的另一个实根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得， ．  12.已知关于的方程的两个实数根为，，且满足，试求这个方程的两个实数根及的值． 【答案】解：，是一元二次方程的两个根，，，，解得这个方程的两个实数根为，，的值为．  13.已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ；；；． 【答案】(1)解：x1+x2＝3．  (2)x1x2＝-1．  (3)．  (4)．  14.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求的取值范围； 若，求的值． 【答案】(1)原方程有两个实数根，，解得  (2)由一元二次方程的根与系数的关系，得，.，，解得  15.已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)，无论为何值，方程总有实数根  (2)由题意知，，.，.整理，得，解得或  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05课 第二十一章一元二次方程21.2.4解一元二次方程-根与系数的关系人教版2025-2026学年度第一学期九上数学教学学案 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1、方程的根与系数的关系 2、方程的根与系数的关系 即：一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两个根的积等于常数项与二次项系数的比 3、常见变形式求解： ； ； ； ； 。 考点01 已知一个根,利用根与系数的关系求另一个根 例题1.若是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值．  变式1（1）. 已知的一个根是，求的值及另一根．   变式1（2）. 已知关于的方程若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 变式1（3）.若是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 变式1（4）.已知是一元二次方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 变式1（5）.已知关于的一元二次方程若是这个方程的一个根，求的值和方程的另一个根． 考点02 利用根与系数的关系求两个根的和与积 例题2.不解方程，求下列方程两个根的和与积： ；；；． 变式2（1）.不解方程，求下列方程两个根的和与积： ；  ；；  ．   变式2（2）.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根，的和与积． ；；；． 考点03 利用根与系数的关系求某些代数式的值 例题3.已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ；；；． 变式3（1）.已知，是一元二次方程的两个实数根，求下列各式的值． ；；． 变式3（2）.已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： ；；． 变式3（3）.若，是方程的两实数根，求下列各式的值． ；；． 变式3（4）.已知，是方程的两实数根，求下列各式的值． ． 考点04 利用根与系数的关系确定待定字母的值或取值范围 例题4.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 变式4（1）.已知关于的方程有两个不相等的实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 变式4（2）.已知关于的一元二次方程有两个实数根，． 求的取值范围； 若，满足，求的值． 变式4（3）.已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求实数的取值范围： 若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 变式4（4）.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． 求的取值范围； 判断，的符号； 若求的值． 变式4（5）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若此方程的两实数根，满足，求的值． 变式4（6）.已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 如果方程的两个实数根为，，且，求的取值范围． 变式4（7）.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 设方程的两个实数根为，，且，求的值． 一、选择题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知：，是一元二次方程的两根，且，，则、的值分别是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知，是一元二次方程的两个实数根，则等于(    ) A. B. C. D. 4.已知，是一元二次方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 6.设，是方程的两个根，则           ． 7.已知，是方程的两个不等的实数根，则的值为          ． 8.已知关于的方程的两个根为，，则          ． 9.关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为          ． 10.若关于的一元二次方程的两实数根之积为负，则实数的取值范围是          ． 三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知关于的一元二次方程有一个实根为，求的值及方程的另一个实根． 12.已知关于的方程的两个实数根为，，且满足，试求这个方程的两个实数根及的值． 13.已知，是一元二次方程的两根，不解方程求下列各式的值： ；；；． 14.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，． 求的取值范围； 若，求的值． 15.已知关于的一元二次方程． 求证：无论为何值，方程总有实数根； 若，是方程的两个实数根，且，求的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$