2025-2026学年沪教版（上海）九年级数学第一学期期中考试考点汇编

2025-2026学年九年级期中考点汇编 考点一：比例线段和相似形 1、下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. 2cm，3cm，4cm，6cm D. 3cm，4cm，6cm，9cm 2、下列各组的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 3、用一个4倍放大镜照，下列说法错误的是（ ） A. 放大后，∠B是原来的4倍 B. 放大后，边AB是原来的4倍 C. 放大后，周长是原来的4倍 D. 放大后，面积是原来的4倍 4、下列命题中正确的是（ ） A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个正方形都相似 5、若，则　　． 6、已知实数满足，则____________ 7、已知，那么的值是____________ 8、如果，那么____________ 9、 已知，那么____________ 10、实际距离是100千米的A、B两地在地图上的距离是4厘米，那么实际距离是40千米的甲、乙两地在这幅地图上的距离是____________厘米 11、地图上的比例尺为1:100000，A、B两地的实际距离是30千米，则图上AB两地的距离是____________厘米 12、在比例尺为1:500000的地图上，图上距离为4cm的线段的实际长度为____________km 13、在近期上映的电影《嫦娥》对我国航事业予以了巨大肯定，在一比例尺是的卫星地图上，测得上海和南京的距离大约是2厘米．那么上海和南京的实际距离大约 是 　 　千米． 14、 已知线段cm，b=8cm，那么线段和b的比例中项为____________cm 15、已知线段cm，c=9cm，那么线段和c的比例中项b的长是____________cm 16、已知、、是线段．且是、的比例中项，若，，则　　． 17、如图，直线////，AB=4，BC=3，DF=14，则DE=____________ 18、如图，已知////，CH=1.2cm，DH=2.4cm，AB=3cm，那么AG=____________cm 19、如图3，直线//b//c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，那么BF等于____________ 20、如图7，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且////. （1）如果AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长； （2）如果DE:EF=2:3，AC=25，求AB的长. 考点二：黄金分割 1、设点P是线段AB的黄金分割点（AP<BP），AB=4cm，那么线段BP的长是____________cm 2、如果点P把线段AB分割成AP和PB两端（AP>PB），AP是AB与PB的比例中项，若线段AP长为4cm，那么线段AB的长为____________ 3、已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足，则AP长为____________ 4、已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________ 5、已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，如果，那么AP=____________ 6、将长为的线段进行黄金分割，则较短的线段是 　 　． 考点三：重心 1、 如图4，已知的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF//BC交AD于点F，那么的值为____________ 2、 如图，点G是的重心，点E为BC上一点，如果GE//AC，那么BE:EC=____________ 考点四：相似三角形性质与判定 1、在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，如果被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2、如图1，中，∠A=76°，AB=8，AC=6，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） 3、在中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的条件是（ ） A. B. C. D. 4、下列判断中，不正确的有（ ） A. 三边对应成比例的两个三角形相似 B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 5、如果两个相似三角形对应边之比，那么它们的对应中线之比是　　 A． B． C． D． 6、在中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有，BC=18，那么DE的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7、下列说法中，错误的是（ ） A. 两个等边三角形的高的比等于它们的边长比 B. 两个相似三角形的周长比是1:3，则它们的面积比是1:6 C. 一条直线平行于三条角形一边，且将三角形分成面积相等的两部分，则直线截得的三角形面积与原三角形面积之比为1:2 D. 相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比 8、已知AD、CF是锐角的两条高，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 9、下列各组条件中，一定能够判定与相似的是（ ） A. ∠A=∠B, ∠D=∠E B. ∠B=∠E, AB=3，AC=4，DE:DF=3:4 C.三边长分别为6,18,21，的三边之比为2:7:6 D. ∠C=90°，∠E=91°，DE:AB=EF:AC 10、如图1，已知AD//BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE//BC交AC于点E，如果AD=1，BC=4，那么GE:BC等于（ ） A. 3:8 B. 1:4 C. 3:5 D. 2:3 11、如图2，在中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠C=90°的选项是（ ） A. B. C. D. 12、和，和是和边上的中线，且，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D． 13、如图，已知在纸板中，AC=4，BC=8，AB=11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 14、已知，它们的周长分别为20和15，且DE=6cm，那么DE的对应边AB的长是____________ 15、在中，，，垂足，，的周长是，那么的周长是 　　． 16、如图，中，点在边上，满足，若，，则　　． 17、如图，在中，AB=4，AC=3，D在边AB上，∠ADC=∠ACB，那么BD=____________ 18、已知：在中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，点E在边AC上，AD=2，当AE=____________时，和相似 19、图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=____________ 20、如图3，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，正方形DEFG的面积为9，那么的面积为____________ 21、如图，中，DE//BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若与四边形BDEC的面积比是9:16，则与的周长比是____________ 22、如图，和的相似比是1:2，且的面积是1，则四边形DBCE的面积是____________ 23、如图4，矩形DEFG的边DE在的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么边BC上的高的长是____________cm 24、如图5，在中，D是AB上一点，∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm，如果，那么的面积是____________ 25、如图6，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B，如果，AD=4，AE=2，那么AF的长为____________ 26、 如图，在中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，交DE于M，DG:DE=1:3，BC=12cm，AH=8cm，则DE=____________cm 27、在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，∠E=B，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD=____________ 28、如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，，则____________ 29、如图，，且AB=6，CD=4，DB=14，点P是线段DB上一动点，当DP=____________时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似 30、如图所示，AB//CD，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为____________ 31、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知中，，，点、在边上，且，为中点，过点的优美线交过点的优美线于，那么线段的长等于 　　． 考点五：向量 1、已知，且与方向相反，如果用向量表示向量，那么结果是（ ） A. B. C. D. 2、已知点、分别在的边、的延长线上，，若，则向量等于　　 A． B． C． D． 3、下列命题错误的是（ ） A. 零向量与任何一个向量都是平行向量 B. 如果（为非零向量），那么// C. 如果，那么或 D. 如果非零向量//，那么一定存在唯一的实数m，使 4、已知和都是非零向量，在下列选项中，不能判定//的是（ ） A. //// B. C. D. 5、下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 是非零向量，是单位向量，那么 D. 6、已知四边形ABCD满足，且，那么四边形ABCD的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 7、 化简：____________ 8、已知向量和满足关系式，那么用向量的线性组合表示向量____________ 9、如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么____________（用表示） 10、 中，AD是中线，G是重心，向量，向量，那么向量____________（用向量表示） 11、 如图，在中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，如果用表示，那么____________ 12、 如图7，已知向量，求作向量，满足 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 13、如图6，已知向量及满足. （1）用向量表示向量___________； （2）求作向量（不要求写作法，但要说明表示结论的向量） 14、如图，梯形ABCD中，AB//CD，且，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，若. （1）请用来表示； （2）请在图中画出在方向上的分向量.（不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 15、如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设. （1）求向量（用向量表示）； （2）在图中求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）. 16、如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且，BF、CD的 延长线交于点G，设. （1）用向量表示向量； （2）求作关于向量的分向量. 17、如图，在中，点、分别在边、上，，，已知，． （1）用向量、分别表示向量、； （2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 考点六：锐角三角比 1、 在Rt中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么∠B的余弦值是（ ） A. B. C. D. 2、已知中，AB=m，∠ACB=90°，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3、如图，在Rt中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 4、已知在Rt中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为（ ） A. B. C. 5、中，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 6、在Rt中，∠C=90°，AC:BC=1:2，则∠A的正弦值为（ ） A. B. C. 2 D. 7、如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8、若，则____________ 9. 要使二次根式有意义，则的取值范围为____________ 10. 在中，∠A、∠B都是锐角，如果，那么∠C=____________ 11. 如图，Rt中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=____________ 12、 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为____________ 13、以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果AO与y轴正半轴的夹角为，那么的余弦值为____________ 14、如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦为 　　． 15、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15°时，如图，在Rt中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以，类比这种方法，计算的值为____________ 16、如图2，在平面直角坐标系中，射线OA与轴正半轴的夹角为，如果，那么点A的坐标是____________ 17、 计算： 18、计算： 19、计算： 20、计算： 21、计算：． 考点七：解三角形及应用 1、如图，在中，，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 2、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.5m，BC=12.5m，则建筑物CD的高是（ ） A. 10m B. 11.2m C. 12m D. 12.2m 3、已知中，∠ABC=90°，如果AC=5，，那么AB的长是____________ 4、如图，在Rt中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，，AC=12，则BC=____________ 5、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度为　 　米． 6、如图，在Rt中，∠BAC=90°，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求tan∠CAD的值 7、学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度，如图9，小明站立在地 面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上），已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，又BD=2.3米，FB=2米. （1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）? （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米，那么相对第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米? 8、上海某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图，身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°，如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距离地面的高度约为多少米?（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 9、交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点是栏杆转动的支点．点是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中，，，米． （1）求当车辆经过时，栏杆段距离地面的高度（即直线上任意一点到直线的距离）． （2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后减小，则改进后栏杆平行地面时，图1中向右移动的距离是多少？ （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：，，． 考点八：相似三角形综合证明题 1、如图，在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°. （1）求证：； （2）若的边长为9，BD=3，求CE的长. 2、如图，已知中，，．线段的垂直平分线分别交边、、所在的直线于点、、． （1）求线段的长； （2）求的值． 3、如图，在中，、分别在边、上，、交于，且． （1）求证：； （2）求证：为与的比例中项． 4、如图8，已知BE、CF分别是的边AC、AB上的高，联结EF. （1）求证：； （2）如果，求的值. 5、如图10，已知中，AB=AC=5，BC=8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF=∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q. （1）如果BP=3，求CF的长； （2）当是等腰三角形时，求BP的长. 6、 如图，和均为等腰直角三角形，E在内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF. （1）求证：； （2）若BE=2，AE=2，求CE的长. 7、如图，在中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3,. 求：（1）的面积； （2）sin∠ACD的值. 8、 梯形ABCD中，AD//BC，对角线，点E是BC边上一个点，∠B=∠AEF，EF交AC于点P，交DC于点F，AF交BC延长线于点G，且∠BAE=∠CAF. （1）求证：； （2）求证：. 9、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC,BD交于点E，过点E作MN//AD，分别交AB,CD于点M,N. （1）求证：； （2）求证：； （3）若AD=5，BC=7，求MN的长. 10、 如图，中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，，垂足为H，交GF于I，求证： 11、 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E，求证： （1）； （2）. 12、 已知：如图，在中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且. （1）求证：AE=AD； （2）若点F在线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，的面积为3，求的面积. 13、如图8，已知MN//BC，A是MN上一点，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE. （1）求证：DE//BC； （2）设MC与BN的交点为点G，如果DE=1，BC=4，求的值. 14、如图9，在等腰直角中，∠ACB=90°，且∠DAE=45°，AC与DE交于点O. （1）求证：； （2）如果CD=CE，求证：. 15、 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，∠MPN=90°，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上 滑动，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线 BC于点F. （1）求证：； （2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗? 如果能重合，求AP的长； （3）当的面积等于面积的2倍时，求tan∠APE的值. 16、直线分别交轴、y轴于A、B两点. （1）求出点A、B的坐标； （2）已知点G的坐标为（2,7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值； （3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似? 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 考点九：翻折与旋转 1、如图5，已知Rt中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，联结BD，将绕着点A逆时针 旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC，如果AB=1，BC=2时，那么∠CFD的正切值是____________ 2、如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合，如果，那么的值是____________ 3、在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG=90°，EG=6，GF与AC交于点M，若，则MF=____________ 4、如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上，AE=2，则____________ 5、如图，中，AB=10，BC=12，AC=8，BD:CD=2:1，M是AD中点，过M的线段EF平分 的周长，那么线段BE的长是____________ 6、在Rt中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，点D、E分别在边BC、AB上，且，BD=2，将绕点B旋转至，点D、E分别对应点，当三点共线时，的长为____________ 7、如图，已知中，，，，点为边的中点，关于的对称点是，联结，若直线与的一条边垂直，则　　． 考点十：压轴题 1、如图11，已知中，AD是∠BAC的平分线. （1）求证：； （2）如图12，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD=9，CD=6. ①如果，求CE的长； ②设，求y关于的函数关系式. 2、 如图1，在中，AB=AC=20，，点D为BC边上的动点（点D不与点B,C重合）以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作交射线DE于点F，连接CF. （1）求证：； （2）当DE//AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF? 若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由. 3、如图（1），在四边形ABCD中，AB//DC，，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度为2cm/s，点P和点Q同时出发，设运动时间为t(s),0<t<s. （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值. 4、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC、BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动；联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD与点F，设运动时间为t(s)(0<t<6). （1）当t为何值时，是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP? 若存在求出t的值；若不存在，请说明理由. 5、矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G. （1）如图11，当点G在BC延长线上时，求的值； 在点E的运动过程中，的值是否发生改变? （2）设BE=m，用含m的代数式表示线段CG的长； （3）如果点G在BC延长线上，当与相似时，求DF的长. 6、如图，在中，，，，射线，为线段上的一动点且和、不重合，连接，过作交射线于，联结，作，交的延长线于，设． （1）当求； （2）若，求关于的数解析式，并写出定义域； （3）作，交于，若与相似，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级期中考点汇编 考点一：比例线段和相似形 1、下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1cm，2cm，3cm，4cm B. 2cm，3cm，4cm，5cm C. 2cm，3cm，4cm，6cm D. 3cm，4cm，6cm，9cm 【答案】C 2、下列各组的四条线段是成比例线段的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、用一个4倍放大镜照，下列说法错误的是（ ） A. 放大后，∠B是原来的4倍 B. 放大后，边AB是原来的4倍 C. 放大后，周长是原来的4倍 D. 放大后，面积是原来的4倍 【答案】A 4、下列命题中正确的是（ ） A. 任意两个等腰三角形都相似 B. 任意两个直角三角形都相似 C. 任意两个菱形都相似 D. 任意两个正方形都相似 【答案】D 5、若，则　　． 【答案】 6、已知实数满足，则____________ 【答案】 7、已知，那么的值是____________ 【答案】 8、如果，那么____________ 【答案】 9、 已知，那么____________ 【答案】1:3 10、实际距离是100千米的A、B两地在地图上的距离是4厘米，那么实际距离是40千米的甲、乙两地在这幅地图上的距离是____________厘米 【答案】 11、地图上的比例尺为1:100000，A、B两地的实际距离是30千米，则图上AB两地的距离是____________厘米 【答案】30 12、在比例尺为1:500000的地图上，图上距离为4cm的线段的实际长度为____________km 【答案】20 13、在近期上映的电影《嫦娥》对我国航事业予以了巨大肯定，在一比例尺是的卫星地图上，测得上海和南京的距离大约是2厘米．那么上海和南京的实际距离大约是 　　千米． 【答案】300 14、 已知线段cm，b=8cm，那么线段和b的比例中项为____________cm 【答案】 4 15、已知线段cm，c=9cm，那么线段和c的比例中项b的长是____________cm 【答案】 6 16、已知、、是线段．且是、的比例中项，若，，则　　． 【答案】． 17、如图，直线////，AB=4，BC=3，DF=14，则DE=____________ 【答案】 8 18、如图，已知////，CH=1.2cm，DH=2.4cm，AB=3cm，那么AG=____________cm 【答案】1 19、如图3，直线//b//c，它们依次交直线m、n于点A、C、E和B、D、F，已知AC=4，CE=6，BD=3，那么BF等于____________ 【答案】 20、如图7，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且////. （1）如果AB=3，BC=6，DE=4，求EF的长； （2）如果DE:EF=2:3，AC=25，求AB的长. 【答案】（1）8 （2）10 考点二：黄金分割 1、设点P是线段AB的黄金分割点（AP<BP），AB=4cm，那么线段BP的长是____________cm 【答案】 2、如果点P把线段AB分割成AP和PB两端（AP>PB），AP是AB与PB的比例中项，若线段AP长为4cm，那么线段AB的长为____________ 【答案】 3、已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足，则AP长为____________ 【答案】 4、已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP=____________ 【答案】cm 5、已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，如果，那么AP=____________ 【答案】2 6、将长为的线段进行黄金分割，则较短的线段是 　　． 【答案】 考点三：重心 1、 如图4，已知的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF//BC交AD于点F，那么的值为____________ 【答案】 2、 如图，点G是的重心，点E为BC上一点，如果GE//AC，那么BE:EC=____________ 【答案】2:1 考点四：相似三角形性质与判定 1、在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，如果被DE分割成两个面积相等的图形，那么下列结论中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2、如图1，中，∠A=76°，AB=8，AC=6，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） 【答案】 C 3、在中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD=2，BD=4，那么由下列条件能够判断DE//BC的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4、下列判断中，不正确的有（ ） A. 三边对应成比例的两个三角形相似 B. 两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似 C. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 D. 有一个角是100°的两个等腰三角形相似 【答案】B 5、如果两个相似三角形对应边之比，那么它们的对应中线之比是　　 A． B． C． D． 【答案】C 6、在中，点D、E分别是边AB、AC上的点，且有，BC=18，那么DE的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 7、下列说法中，错误的是（ ） A. 两个等边三角形的高的比等于它们的边长比 B. 两个相似三角形的周长比是1:3，则它们的面积比是1:6 C. 一条直线平行于三条角形一边，且将三角形分成面积相等的两部分，则直线截得的三角形面积与原三角形面积之比为1:2 D. 相似三角形的周长比等于它们对应的角平分线的比 【答案】B 8、已知AD、CF是锐角的两条高，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 9、下列各组条件中，一定能够判定与相似的是（ ） A. ∠A=∠B, ∠D=∠E B. ∠B=∠E, AB=3，AC=4，DE:DF=3:4 C.三边长分别为6,18,21，的三边之比为2:7:6 D. ∠C=90°，∠E=91°，DE:AB=EF:AC 【答案】C 10、如图1，已知AD//BC，AC与BD相交于点O，点G是BD的中点，过点G作GE//BC交AC于点E，如果AD=1，BC=4，那么GE:BC等于（ ） A. 3:8 B. 1:4 C. 3:5 D. 2:3 【答案】A 11、如图2，在中，CD是边BC上的高，那么下列条件不一定能推出∠C=90°的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 12、和，和是和边上的中线，且，则下列结论中不正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】B 13、如图，已知在纸板中，AC=4，BC=8，AB=11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 14、已知，它们的周长分别为20和15，且DE=6cm，那么DE的对应边AB的长是____________ 【答案】 8 15、在中，，，垂足，，的周长是，那么的周长是 　　． 【答案】15 16、如图，中，点在边上，满足，若，，则　　． 【答案】3 17、如图，在中，AB=4，AC=3，D在边AB上，∠ADC=∠ACB，那么BD=____________ 【答案】 18、已知：在中，AB=5，AC=4，点D在边AB上，点E在边AC上，AD=2，当AE=____________时，和相似 【答案】或 19、图1是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB=____________ 【答案】3 20、如图3，正方形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，正方形DEFG的面积为9，那么的面积为____________ 【答案】18 21、如图，中，DE//BC，DE分别交边AB、AC于D、E两点，若与四边形BDEC的面积比是9:16，则与的周长比是____________ 【答案】 22、如图，和的相似比是1:2，且的面积是1，则四边形DBCE的面积是____________ 【答案】3 23、如图4，矩形DEFG的边DE在的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，已知BC=6cm，DE=3cm，EF=2cm，那么边BC上的高的长是____________cm 【答案】4 24、如图5，在中，D是AB上一点，∠B=∠ACD，AB=6cm，AC=4cm，如果，那么的面积是____________ 【答案】16 25、如图6，在平行四边形ABCD中，过点A作，垂足为E，联结DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B，如果，AD=4，AE=2，那么AF的长为____________ 【答案】 26、 如图，在中，有矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，交DE于M，DG:DE=1:3，BC=12cm，AH=8cm，则DE=____________cm 【答案】 27、在中，点D、E分别在边BC、AC的延长线上，∠E=B，AC=2，BC=3，CE=6，那么CD=____________ 【答案】4 28、如图，梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC与BD相交于点O，，则____________ 【答案】49 29、如图，，且AB=6，CD=4，DB=14，点P是线段DB上一动点，当DP=____________时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、A、B三点为顶点的三角形相似 【答案】 30、如图所示，AB//CD，AC、BD相交于点E，若面积为3，的面积为5，则梯形的面积为____________ 【答案】 31、如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知中，，，点、在边上，且，为中点，过点的优美线交过点的优美线于，那么线段的长等于 　　． 【答案】 考点五：向量 1、已知，且与方向相反，如果用向量表示向量，那么结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2、已知点、分别在的边、的延长线上，，若，则向量等于　　 A． B． C． D． 【答案】D 3、下列命题错误的是（ ） A. 零向量与任何一个向量都是平行向量 B. 如果（为非零向量），那么// C. 如果，那么或 D. 如果非零向量//，那么一定存在唯一的实数m，使 【答案】C 4、已知和都是非零向量，在下列选项中，不能判定//的是（ ） A. //// B. C. D. 【答案】B 5、下列关于向量的说法中，不正确的是（ ） A. B. 如果，那么 C. 是非零向量，是单位向量，那么 D. 【答案】C 6、已知四边形ABCD满足，且，那么四边形ABCD的形状是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】A 7、 化简：____________ 【答案】 8、已知向量和满足关系式，那么用向量的线性组合表示向量____________ 【答案】 9、如果向量与单位向量方向相反，且长度为，那么____________（用表示） 【答案】 10、 中，AD是中线，G是重心，向量，向量，那么向量____________（用向量表示） 【答案】 11、 如图，在中，点G是两条中线AD、BE的交点，设，如果用表示，那么____________ 【答案】 12、 如图7，已知向量，求作向量，满足 （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论） 【答案】，作图如图所示：，为所求向量 13、如图6，已知向量及满足. （1）用向量表示向量___________； （2）求作向量（不要求写作法，但要说明表示结论的向量） 【答案】（1） （2）作图略 14、如图，梯形ABCD中，AB//CD，且，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，若. （1）请用来表示； （2）请在图中画出在方向上的分向量.（不要求写出作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1） （2）如图所示： 和即为所求分向量 15、如图，已知平行四边形ABCD，点M、N是边DC、BC的中点，设. （1）求向量（用向量表示）； （2）在图中求作向量在方向上的分向量（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）. 【答案】（1） （2）如图所示： 和为所求分向量 16、如图，已知：点E、F分别是平行四边形ABCD的边CD、AD上的点，且，BF、CD的 延长线交于点G，设. （1）用向量表示向量； （2）求作关于向量的分向量. 【答案】（1）， （2）如图所示： ，和即为所求分向量 17、如图，在中，点、分别在边、上，，，已知，． （1）用向量、分别表示向量、； （2）作出向量分别在、方向上的分向量（写出结论，不要求写作法）． 【答案】 【解答】解：（1），， ， ，（2分） 与方向相同， ，（2分） ， ．（2分） ， ．（2分） （2）作出的图形中，在方向上的分向量， ， 方向上的分向量． 考点六：锐角三角比 1、 在Rt中，∠C=90°，AC=4，BC=3，那么∠B的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2、已知中，AB=m，∠ACB=90°，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3、如图，在Rt中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则cosA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 4、已知在Rt中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则tanA的值为（ ） A. B. C. 【答案】B 5、中，若，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】B 6、在Rt中，∠C=90°，AC:BC=1:2，则∠A的正弦值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 7、如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 8、若，则____________ 【答案】90° 9. 要使二次根式有意义，则的取值范围为____________ 【答案】 10. 在中，∠A、∠B都是锐角，如果，那么∠C=____________ 【答案】105° 11. 如图，Rt中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则cosA=____________ 【答案】 12、 已知一个锐角的正切值比余切值大，且两者之和是，则这个锐角的正切值为____________ 【答案】3 13、以O为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果AO与y轴正半轴的夹角为，那么的余弦值为____________ 【答案】 14、如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦为 　　． 【答案】 15、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计算tan15°时，如图，在Rt中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到点D，使BD=AB，连接AD，得∠D=15°，所以，类比这种方法，计算的值为____________ 【答案】 16、如图2，在平面直角坐标系中，射线OA与轴正半轴的夹角为，如果，那么点A的坐标是____________ 【答案】（1,2） 17、 计算： 【答案】 18、计算： 【答案】 19、计算： 【答案】1 20、计算： 【答案】 21、计算：． 【答案】 考点七：解三角形及应用 1、如图，在中，，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 2、如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.5m，BC=12.5m，则建筑物CD的高是（ ） A. 10m B. 11.2m C. 12m D. 12.2m 【答案】B 3、已知中，∠ABC=90°，如果AC=5，，那么AB的长是____________ 【答案】4 4、如图，在Rt中，∠ACB=90°，CD垂直于AB，，AC=12，则BC=____________ 【答案】9 5、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度为　 　米． 【答案】 6、如图，在Rt中，∠BAC=90°，延长斜边BC到点D，使，联结AD，如果，求tan∠CAD的值 【答案】 7、学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度，如图9，小明站立在地 面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”AB，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上），已知小明的身高EF=1.5米，“标杆”AB=2.5米，又BD=2.3米，FB=2米. （1）求大楼的高度CD为多少米（CD垂直地面BD）? （2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米，那么相对第一次测量，标杆AB应该向大楼方向移动多少米? 【答案】（1）14米 （2）米 8、上海某中学为检测师生体温，在校门安装了测温门，如图为该“测温门”截面示意图，身高1.6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；当他在地面N处时，“测温门”停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°，如果测得小聪的有效测温区间MN的长度是1米，求测温门顶部A处距离地面的高度约为多少米?（注：额头到地面的距离以身高计，最后结果精确到0.1米） 【答案】约2.5米 9、交大二附中地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点是栏杆转动的支点．点是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中，，，米． （1）求当车辆经过时，栏杆段距离地面的高度（即直线上任意一点到直线的距离）． （2）为了增加安全性，在保持车辆经过时栏杆段距离地面的高度不变的前提下．在图2中把连接点向右移动．若移动后减小，则改进后栏杆平行地面时，图1中向右移动的距离是多少？ （结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：，，． 【答案】【解答】解：（1）如图，过点作的平行线，过点作于，则，． ，， ． 在中，，，米， （米，（米， 米， 栏杆段距离地面的高度为：（米． 故栏杆段距离地面的高度约为2.2米； （2）在图2中把连接点向右移动．若移动后减小，则， （米， 图1中向右移动的距离是：（米． 考点八：相似三角形综合证明题 1、如图，在等边中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°. （1）求证：； （2）若的边长为9，BD=3，求CE的长. 【答案】（1）证明略 （2）2 2、如图，已知中，，．线段的垂直平分线分别交边、、所在的直线于点、、． （1）求线段的长； （2）求的值． 【答案】【解答】解：（1）作于，如图， ， ， 在中，， 垂直平分， ， ， ， ，即， ，； （2）作交于，如图， ，， ， ， ， ， ． 3、如图，在中，、分别在边、上，、交于，且． （1）求证：； （2）求证：为与的比例中项． 【答案】【解答】证明：（1）， ， 又， ， ， ， ， 又， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 为与的比例中项． 4、如图8，已知BE、CF分别是的边AC、AB上的高，联结EF. （1）求证：； （2）如果，求的值. 【答案】（1）证明略（2） 5、如图10，已知中，AB=AC=5，BC=8，点P在边BC上（点P与点B、C不重合），∠APF=∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q. （1）如果BP=3，求CF的长； （2）当是等腰三角形时，求BP的长. 【答案】（1）3 （2）5和 6、 如图，和均为等腰直角三角形，E在内，∠CAE+∠CBE=90°，连接BF. （1）求证：； （2）若BE=2，AE=2，求CE的长. 【答案】（1）证明略（2） 7、如图，在中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3,. 求：（1）的面积； （2）sin∠ACD的值. 【答案】（1）6 （2） 8、 梯形ABCD中，AD//BC，对角线，点E是BC边上一个点，∠B=∠AEF，EF交AC于点P，交DC于点F，AF交BC延长线于点G，且∠BAE=∠CAF. （1）求证：； （2）求证：. 【答案】（1）证明略（2）证明略 9、如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC,BD交于点E，过点E作MN//AD，分别交AB,CD于点M,N. （1）求证：； （2）求证：； （3）若AD=5，BC=7，求MN的长. 【答案】(1）证明略（2）证明略 （3） 10、 如图，中有内接正方形DEFG，DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，，垂足为H，交GF于I，求证： 【答案】证明略 11、 已知：如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E，求证： （1）； （2）. 【答案】证明略 12、 已知：如图，在中，BD平分∠ABC，点E为BD延长线上一点，且. （1）求证：AE=AD； （2）若点F在线段BD上一点，CF=CD，BF=2，BE=6，的面积为3，求的面积. 【答案】（1）证明略（2）9 13、 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，∠MPN=90°，将∠MPN的顶点P在矩形ABCD的边AD上 滑动，射线PN经过点C，射线PM交直线AB于点E，交直线 BC于点F. （1）求证：； （2）在点P的运动过程中，点E与点B能重合吗? 如果能重合，求AP的长； （3）当的面积等于面积的2倍时，求tan∠APE的值. 【答案】（1）证明略 （2）能，2或8 （3） 14、如图8，已知MN//BC，A是MN上一点，AM=AN，MC交AB于D，NB交AC于E，联结DE. （1）求证：DE//BC； （2）设MC与BN的交点为点G，如果DE=1，BC=4，求的值. 【答案】（1）证明略 （2） 15、如图9，在等腰直角中，∠ACB=90°，且∠DAE=45°，AC与DE交于点O. （1）求证：； （2）如果CD=CE，求证：. 【答案】证明略 16、直线分别交轴、y轴于A、B两点. （1）求出点A、B的坐标； （2）已知点G的坐标为（2,7），过点G和B作直线BG，连接AG，求∠AGB的正切值； （3）在（2）的条件下，在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与相似? 若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）A（3,0），B（0,1） （2） （3）存在， 考点九：翻折与旋转 1、如图5，已知Rt中，∠ABC=90°，点D是AC边的中点，联结BD，将绕着点A逆时针 旋转，点B恰好落在射线BD上的点E处，点C落在点F处，联结FD、FC，如果AB=1，BC=2时，那么∠CFD的正切值是____________ 【答案】 2、如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合，如果，那么的值是____________ 【答案】 3、在矩形ABCD中，E、F、G分别是边AB、BC、AD上点，且∠FEG=90°，EG=6，GF与AC交于点M，若，则MF=____________ 【答案】 4、如图，一张矩形纸片ABCD，点E在AB边上，把沿直线CE，使点B落在对角线AC上的点F处，联结DF，若点E、F、D在同一直线上，AE=2，则____________ 【答案】 5、如图，中，AB=10，BC=12，AC=8，BD:CD=2:1，M是AD中点，过M的线段EF平分 的周长，那么线段BE的长是____________ 【答案】2 6、在Rt中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，点D、E分别在边BC、AB上，且，BD=2，将绕点B旋转至，点D、E分别对应点，当三点共线时，的长为____________ 【答案】2或4 7、如图，已知中，，，，点为边的中点，关于的对称点是，联结，若直线与的一条边垂直，则　　． 【答案】综上所述，满足条件的的值为6或或． 考点十：压轴题 1、如图11，已知中，AD是∠BAC的平分线. （1）求证：； （2）如图12，过点C作射线，与AD交于点M，与边AB交于点E，又知BD=9，CD=6. ①如果，求CE的长； ②设，求y关于的函数关系式. 【答案】（1）证明略（2）①10 ② 2、 如图1，在中，AB=AC=20，，点D为BC边上的动点（点D不与点B,C重合）以D为顶点作∠ADE=∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作交射线DE于点F，连接CF. （1）求证：； （2）当DE//AB时（如图2），求AE的长； （3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF=CF? 若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明略 （2） （3）存在，18 3、如图（1），在四边形ABCD中，AB//DC，，AB=16cm，BC=6cm，CD=8cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度为2cm/s，点P和点Q同时出发，设运动时间为t(s),0<t<s. （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A、P、Q为顶点的三角形与相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP、BD，两延长线相交于点M，当为直角三角形时，求t的值. 【答案】（1） （2） （3） 4、已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC、BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度也为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动；联结PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD与点F，设运动时间为t(s)(0<t<6). （1）当t为何值时，是等腰三角形； （2）设五边形OECQF的面积为，求S关于t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP? 若存在求出t的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 5、矩形ABCD中，AB=2，AD=4，动点E在边BC上，不与点B、C重合，过点A作DE的垂线，交直线CD于点F，交射线BC于点G. （1）如图11，当点G在BC延长线上时，求的值； 在点E的运动过程中，的值是否发生改变? （2）设BE=m，用含m的代数式表示线段CG的长； （3）如果点G在BC延长线上，当与相似时，求DF的长. 【答案】（1），不变 （2） （3） 6、如图，在中，，，，射线，为线段上的一动点且和、不重合，连接，过作交射线于，联结，作，交的延长线于，设． （1）当求； （2）若，求关于的数解析式，并写出定义域； （3）作，交于，若与相似，求的长． 【答案】【解答】解：（1）如图1， 作于， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； （2）如图2， 作于，于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， ， ， 化简，得， ， 当时，， ， ， 此时，， ； （3）如图3， ， 点、、、共圆， ，， ， ， ， 或， 当时， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，如图4， ，， ，， 四边形是平行四边形， 由（1）（2）知， ，，，， ，，， ， ， ， 综上所述：或13． 学科网（北京）股份有限公司 $$