精品解析：河北省衡水市河北冀州中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025-2026学年高三上学期开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（ ） A. B. C. D. 5. 某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 240 B. 270 C. 300 D. 330 6. 已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（ ） A. 与圆O相切 B. 是两条平行的直线 C. 的最大值为 D. 上的点到原点O的距离的最大值为6 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个极值点 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称 11. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则_______. 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为______. 14. 记为中最小的数.设，，.则的最大值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值. 16. 激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态，，等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系. 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 解密信息的单光子的偏振状态 ，， ，， ，， 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现. （1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率. （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在直三棱柱中，,，为的中点. （1）证明:. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. （1）求抛物线E的方程； （2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 19. 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数字的个数记为. （1）求的值. （2）对于，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）记表示不超过的最大整数，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期开学考试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的性质，逐一将中元素代入集合中验证即可. 【详解】因为且，所以,， 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即； 当时，代入集合可得到：，即. 因为，所以. 故选：B. 2. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法及除法计算求解. 【详解】因为 所以，即得， 所以. 故选：C. 3. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 4. 设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则能确定的一组条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A,若，则可能平行，也可能相交或者异面，故A错误， 对于B,若，则，故B错误， 对于C, ,则可能平行，可能异面，也可能相交，故C错误， 对于D, ，又，故，故D正确， 故选：D 5. 某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 240 B. 270 C. 300 D. 330 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，选取的3人中至少有1名程序员和1名科学家，有两种情况:有1名程序员和2名科学家；有2名程序员和1名科学家；根据排列组合求解即可. 【详解】选取的3人中有1名程序员和2名科学家的组合有种； 选取的3人中有2名程序员和1名科学家的组合有种； 由题意，不同的安排方法有种. 故选：. 6. 已知A，B是圆O:与x轴的两个交点，动点满足，记点M的轨迹为，则（ ） A. 与圆O相切 B. 是两条平行的直线 C. 的最大值为 D. 上的点到原点O的距离的最大值为6 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，设，利用先求出动点M的轨迹方程，得到是圆心在点，半径为的圆，结合作图，利用圆与圆之间位置关系判断，圆的切线性质以及圆上的点到定点距离的最值求解逐一判断各选项即可. 【详解】 设，由题意，，因，代入坐标可得：， 两边取平方，整理得：，即， 故点M的轨迹为是圆心在点，半径为的圆. 对于A，因圆与圆的圆心距满足，故两圆相交，即A错误； 对于B，由上分析知是圆心在点，半径为的圆，故B错误； 对于C，如图，当与圆相切时，取得最大值，此时记切点为， 因，则，故得的最大值即，故C正确； 对于D，由上分析，因圆的圆心与原点O都在轴上， 故圆与轴的右交点到原点O的距离最大，且距离最大为，故D错误. 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平方关系，把余弦、正弦化为正切，解方程可得的值，再利用二倍角公式即可求解. 【详解】， 即，且， 得， 解得或（舍去）， . 故选：. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，若，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，可得，由双曲线定义得到，结合勾股定理可求出，在中，可得，即可求出离心率. 【详解】如图，，， 所以， 由双曲线的定义知， 又，则在中，， 在中，， 即，可得. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据，，，是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数变大 B. 中位数没变 C. 方差变小 D. 极差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由平均数，中位数以及方差的计算公式，逐一检验，即可得到结果. 【详解】对于A，原数据的平均数，去掉首末两项后的平均数， 即平均数不变，A项错误； 对于B，原数据的中位数为，去掉首末两项后的中位数为， 即中位数不变，B项正确； 对于C，原数据的方差， 去掉首末两项后的方差， 即方差变小，C项正确； 对于D，原数据的极差，去掉首末两项后的极差， 即极差变小，D项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 在区间上单调递减 C. 在区间上有3个极值点 D. 将的图象向左平移个单位长度，所得函数图象关于原点对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合函数图象求得函数解析式，即可判断A；由，可得，结合余弦函数单调性判断B；结合余弦函数的最值情况判断C；根据三角函数图象的平移变换以及函数的奇偶性判断D。 【详解】由图象得，，解得，， 由，得，，解得，， 而，故，，则，A项正确； ，则，函数在上不单调， 故在区间上不单调，B项错误； 由，得，则时，取到极值， 此时在区间上有3个极值点，C项正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， 该函数是奇函数，图象关于原点对称，D项正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】令，可判断A；令，求，再令可判断B；令，，判断的大小关系可判断C；令，，利用构造法求通项，然后分组求和可判断D. 【详解】对A，令，，则，又，则，A项正确； 对B，令，，则，得， 令，则，B项正确； 对C，令，，， 当时，，则，即时，， 故在上单调递增，C项正确； 对D，令，，则， ，即数列是以为首项，2为公比的等比数列，得， ，D项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知椭圆的离心率为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】将椭圆化成标准方程得，由椭圆的离心率为，利用，化简整理，可求得． 【详解】由题意得： 椭圆化成标准方程为， ∵椭圆的离心率为， ∴， ，又， ∴， 故． 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了椭圆离心率有关的问题，注意公式的运用，解题过程注意的关系．属于较易题. 13. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球的球面上，则球的表面积为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据侧面积公式求母线长，进而可得高，由体积公式可得第一空；先判断球心位置，利用勾股定理列方程求出球心到圆台下底面的距离，然后可得半径，可得第二空. 【详解】设圆台的母线长为，高为， 由题意知，解得，则易得， 圆台的体积. 设球的半径为， 由， 易知球心不在圆台的上、下底面之间， 设球心到圆台下底面的距离为，则， 得，则，球的表面积为. 故答案为：；. 14. 记为中最小的数.设，，.则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，由题意知可得，，结合，即可求得答案. 【详解】设， ∵，， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴，当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值. 【答案】（1）， （2）增区间为和，减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由题知及联立求解可得结果； （2）令求单调增区间，令求单调减区间，进而可得函数的极值. 【小问1详解】 由题意，易知，得. ， 由，解得. 【小问2详解】 由（1）知，易知， 当变化时，，的变化情况如下表所示. 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 因此，函数在和上单调递增，在上单调递减. 当时，有极大值，且极大值为； 当时，有极小值，且极小值为. 16. 激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态，，等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系. 原始信息的单光子的偏振状态 0 1 2 解密信息的单光子的偏振状态 ，， ，， ，， 已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现. （1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率. （2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由独立重复事件的概率公式求解概率即可. （2）利用分布列的定义求解分布列，再求解数学期望即可. 【小问1详解】 若窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1，则发送者原始信息的单光子的偏振状态为0，1，2的概率均为， 故所求概率. 【小问2详解】 易知发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1， 窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的概率为， 且的所有可能取值为，，，. ， ， ， ， 所以的分布列如下. 0 1 2 3 数学期望为. 17. 如图，在直三棱柱中，,，为的中点. （1）证明:. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理证明； （2）利用空间向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 连接，， ∵，∴， ∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面， ∵平面，∴， 在矩形中，易知，则，即， ∵，平面，∴平面， 又∵平面，∴； 【小问2详解】 取的中点，连接，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ∵，，∴， ∵，∴为的中点， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，即 ，令，则，，故， 则直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知F是抛物线E：的焦点，为抛物线E上一点，且. （1）求抛物线E的方程； （2）设A，B为抛物线E上的两点（不同于点P），直线AP，BP分别与y轴交于M，N两点，且原点O恰为MN的中点. （i）证明：直线AB过定点； （ii）若直线AB的斜率大于0，且的面积为，求直线AB的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义以及点在抛物线上两个条件列出方程，联立即可求解. （2）（i）设直线的方程，根据原点O恰为MN的中点，以及韦达定理化简得到m、n的关系即可求出定点；（ii）由（i）求得定点后，设出直线方程并通过弦长公式求出三角形的面积表达式，通过解方程即可求出直线方程里的参数，最终得到直线AB的方程. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点为，准线方程为，且在抛物线上，，根据抛物线定义有，， 又因为在抛物线上，所以，即， 消去，可得，即，解得， 所以抛物线的方程为. 【小问2详解】 （i）设，，直线AB方程为，联立，消得，则，， 直线AP：，令，得纵坐标；同理纵坐标， 因是MN中点，，即，化简得，将，代入，得，即， 直线AB方程为，当时，，故直线AB过定点. （ii）设直线AB：，联立，得， 由韦达定理，，， 弦长， 根据点到直线的距离公式可知，点到直线AB距离为， 由可得，，即，化简得， 因式分解得，因，得， 所以直线AB方程为. 19. 在不大于的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数字的个数记为. （1）求的值. （2）对于，是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. （3）记表示不超过的最大整数，且，求的值. 【答案】（1）； （2）不存在，原因见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）依据的定义，列举求出的值； （2）由整除数字个数，排除法得到，假设成立，转化为，整理为，根据等式两边数字特点判断； （3）由（2）知，放缩得时，的取值范围，从而得到的值，即可计算的值. 【小问1详解】 在不大于的正整数中， 所有既不能被2整除也不能被3整除的数字为，共个， 所以. 【小问2详解】 在不大于的正整数中，能被整除的数有个，能被整除的数有个，能被整除的数有个， 所以既不能被2整除也不能被3整除的数字有个， 即，所以，， 若成立，即，即，同时除以得， 因为，所以，所以是奇数，是偶数，等式不成立， 所以不存在使得成立. 【小问3详解】 由（2）知，当时，，所以，所以， 当时，， 所以，当时，， 因为，所以，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $