13.3.1三角形的内角 课件 　2025－2026学年人教版 数学八年级上册

第十三章　三角形 第1课时 三角形的内角 数学人教版新教材八年级上册 1.理解三角形内角和定理的内容，能应用平行线的性质证明这一定理，应用它解决简单的实际问题； 2.通过探究证明三角形内角和定理的活动，了解三角形内角和定理的证明过程，提高推理能力； 3.在操作活动中，培养动手操作能力和运用新知解决问题的能力，渗透转化的数学思想，发展空间观念. 学习目标 17 世纪巴黎街头，一位少年在地板上画满三角形.这是 12 岁的帕斯卡，他被父亲禁止学数学，却偷偷用粉笔探索奥秘. “如果长方形内角和是 360°，那三角形……” 他作高分割任意三角形，数字如魔法般重组为 180°. 今天，我们将沿着他的思路，像小侦探一样揭开三角形内角和的推理密码. 情境导入 活动一：探究三角形的内角和 在小学四年级我们已经知道任意一个三角形的内角和是180°，还记得你是怎样得到这个结论的吗？接下来请大家拿出学习袋中的三角形纸片进行探究. 度量 60° 48° 72° 60°＋48°＋72°＝180° 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 剪拼 三角形的三个内角拼在一起恰好构成一个平角. 在小学四年级我们已经知道任意一个三角形的内角和是180°，还记得你是怎样得到这个结论的吗？接下来请大家拿出学习袋中的三角形纸片进行探究. 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 以上两种方法获得的结论可靠吗？ 　　由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°,不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°． 　　因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°． 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？ 在图(1)中将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上． 直线 l 与△ABC的边BC平行. 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180°的方法吗？ 过△ABC的顶点A作直线 l 平行于△ABC的边BC．由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论． 你能写出已知和求证，并进行证明吗？ 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 已知：△ABC 求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°． 证明：如图，过点A作直线 l，使l∥BC． ∵ l∥BC， ∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）． 同理 ∠3＝∠5． ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角， ∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）． ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）． 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180° 总结 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 你能根据图（2）给出这个定理的其他证法吗? 证明：如图，过点C作直线l，使l∥AB，延长BC． ∵ l∥AB ∴∠1＝∠4， ∠2＝∠5 ∵ ∠3，∠4，∠5组成平角， ∴ ∠3＋∠4＋∠5＝180°. ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°. 5 A B C 1 2 3 4 l 三角形三个内角的和等于180° 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 你还有其他方法证明三角形内角和等于180°吗？ 证明：过D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F. ∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°， ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. C B A F E D ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 探究新知 活动一：探究三角形的内角和 多种方法证明三角形内角和是180°的核心是什么？ 为了证明的需要，在原来的图上添加的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角． 探究新知 例1 如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC 的角平分线. 求∠ADB的度数. 教材 例题 应用新知 教材 例题 例1 如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC 的角平分线.求∠ADB的度数. 应用新知 例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A=50°，∠B=70°，求∠EDC，∠BDC的度数. 经典例题 分析：CD是∠ACB的平分线，则∠3=∠4. DE∥BC，根据平行线的性质，∠1=∠3，可求出∠1即∠EDC的度数，再根据三角形的内角和是180°，可求出∠BDC的度数. A C B E D 2 1 3 4 应用新知 经典例题 解：∵∠A=50°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°. ∵ CD是∠ACB的平分线， ∴∠3=∠4=30°． ∵DE∥BC， ∴∠1=∠3=30°，即∠EDC=30°． 在△BDC中，∠2=180°-∠B-∠3=80°． 即∠BDC=80°． A C B E D 2 1 3 4 应用新知 例3 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？ 教材 例题 分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB. 应用新知 教材 例题 解：∠CAB＝∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. 由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180° 所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°， ∠ABC＝∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°. 在△ABC中，∠ACB =180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°. 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 你还能给出其他解法吗？ 应用新知 教材 例题 方法二：可根据平行线的性质解题.过点C作CF平行AD交AB于F，则CF∥BE，先求出∠ACB的度数，再根据三角形内角和为180°，可求出∠ABC的度数. 解：过点C作CF平行AD交AB于F，则CF∥BE. ∴∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°. ∴∠ACB=∠ACF＋∠BCF=50°＋40°=90°. ∵∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°. ∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB =180°-30°-90°=60° F 应用新知 经典例题 例4 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度? 分析：A，B，C的连线构成△ABC，所求的∠BAC是△ABC的一个内角.可以根据直角和平角的定义，求出∠ABC，∠BCA，就能求出∠BAC. 应用新知 经典例题 解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴∠ABD=60°. 又∵∠DBE=90°, ∴∠ABC=90°-∠ABD=90°-60°=30°. ∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向， ∴∠ACE=90°-40°=50°. ∴∠BCA=180°-∠ACE=130°. ∴∠BAC= 180°-∠ABC-∠BCA=180°-30°-130°=20°. 答：在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°. 应用新知 教材 练习 1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵∠CBD+∠ABC=180°，∠CAD+∠ACB+∠ABC=180° ∴ ∠CBD=∠CAD+∠ACB， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=45°-30°=15°. 分析：由平角的定义和三角形△ABC的内角和等于180°进行等量代换，可得∠CBD=∠CAD+∠ACB，就可求得∠ACB ． C B D A 课堂练习 2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数. 教材 练习 分析：由三角形内角和是180°分别求出在△ABC中∠B+∠C的值和在 △ADE中∠ADE+∠AED的值，就能求得∠B+∠C+∠ADE+∠AED. 解：根据三角形内角和定理：三角形内角和等于180°. ∴ △ABC和 △ADE内角和是180°. ∵∠A=40°, ∴ ∠B+∠C= ∠ADE+∠AED=180°-∠A =180°-40°=140°. ∴ ∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°. A E D B C 课堂练习 1.计算出图中∠1的度数. 解：(1)∠1=180°-80°-50°=50° (2)∠1=180°-105°-30°=45° (3)∠1=180°-90°-22°=68° 限时训练 课堂练习 2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE// BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( ) A.44° B.40° C.39° D.38° C 限时训练 课堂练习 3.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC. 求∠ADC的度数. 解：∵∠B=42°，∠C=78°， ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60° ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD=∠BAC=30°， ∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°. 分析：AD平分∠BAC，可以先求出∠CAD的度数，根据三角形内角和180°，可以算出∠ADC的度数. 限时训练 课堂练习 4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数. C B A P 分析：由角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，就能求得∠BPC. 限时训练 课堂练习 内角和定理 证明方法 三角形的三个内角和等于180°. 三角形的内角 转化思想：将三个角转化成一个平角或者同旁内角互补等. 总结归纳 准备： 若干张不同类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的三角形纸片、剪刀、量角器、胶水、A4纸. 要求: 1.使用量角器分别测量三角形的三个内角，记录下每个角的度数，然后将三个角的度数相加，从数值上验证三角形内角和定理； 2.把三角形的三个角分别剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，利用角的拼接转化，展示三角形内角和与平角的关系； 3.通过折叠改变角的位置，实现角的组合，体现三角形内角和为180°. 实践作业：验证三角形的内角和 $$