14.3角的平分线　讲义　2025-2026学年人教版八年级数学上册

14.3 角的平分线 【学习目标】 1．能用尺规作图：作一个角的平分线，强化学生的分析及作图能力． 2．理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理． 3．探索并证明角平分线性质定理的逆定理，会用角平分线性质定理的逆定理解决问题． 【新知探究】 知识梳理1 用尺规作已知角的平分线 知识梳理2 角的平分线的性质及应用 知识梳理3 角的平分线的判定 知识梳理4 证明几何命题的一般步骤 知识梳理1 用尺规作已知角的平分线 用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线． 作法： 1．以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． 2．分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． 3．画射线OC．射线OC即为所求． 如图所示： ★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）． 【例1】　（2025春•渠县期末）数学课上，小王同学用尺规在黑板上作∠AOB的角平分线，先以点O为圆心，适当长度为半径画弧，交OA，OB于点D，E，分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C，作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．根据全等知识我们知道△EOC≌△DOC，则△EOC≌△DOC所用到的判定定理是（　　） A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS 【例2】　（2025春•岚山区期末）如图，在▱ABCD中，用尺规作∠ABC的平分线BG，交AD于点G，若AE＝12，AB＝8，则BG的长为（　　） A．10 B．20 C． D． 【例3】　（2025春•文登区期末）用尺规作已知角的角平分线，下列作法中，射线OP是∠AOB的角平分线的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识梳理2 角的平分线的性质及应用 1．内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直； （4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论． 2．角平分线的性质可以证明两条线段相等，不需要再通过证三角形全等来证线段相等； 3．已知角的平分线及其上一点到角一边的垂线段，常添加辅助线：由角平分线上的已知点向另一边作垂线段，利用角平分线的性质，得到相等的两条垂线段． 【例4】　（2025•江城区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AD＝6，AC＝10，则DE的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【例5】　（2025春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上的一点，∠1＝∠2，BC＝10，BD＝7，则点D到AB的距离为（　　） A．3 B．4 C．6 D．10 【例6】　（2025•五华区校级三模）如图所示，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若，则PD＝（　　） A．2 B． C． D．不能确定 知识梳理3 角的平分线的判定 1．内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 2．角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上． 【例7】　（2025春•五华县期中）如图，C是∠MON内一点，CA⊥OM于点A，CB⊥ON于点B，连接AB，∠CAB＝∠CBA． 求证：OC平分∠MON． 【例8】　（2023秋•二道区校级期末）如图，E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为点C和点D． 求证：∠ECD＝∠EDC． 【例9】　（2023秋•澄城县期末）如图所示，已知∠ADC+∠ABC＝180°，DC＝BC．求证：点C在∠DAB的角平分线上． 知识梳理4 证明几何命题的一般步骤 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行： 1．明确命题中的已知和求证； 2．根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证； 3．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程． 【例10】　（2025春•新城区校级月考）如图，CA＝CB，E在BC上，且CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝90°，AE的延长线交BD于F，连接CF． （1）求证：AE＝BD； （2）求证：CF平分∠AFD． 【例11】　（2025春•广饶县期末）如图，线段AB∥CD，交CF于点E． （1）尺规作图：以点A为顶点，射线AB为一边，在AB的上方作∠BAM，使∠BAM＝∠C．（要求：不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：AM∥CF 证明：∵AB∥CD，（已知） ∴∠C＝ 　 　 ．（ 　 　 ） ∵∠BAM＝∠C，（已知） ∴　 　 ．（ 　 　 ） ∴AM∥CF． 【例12】　（2024秋•天河区校级月考）如图，△ABC中，∠ABC，∠ACB的外角平分线交于点P，PE⊥AB交AB的延长线于E，PF⊥AC交AC的延长线于F，求证：BC＝BE+CF． 【课后巩固】 一、选择题（共10小题） 1．（2025•滨海新区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠B＝50°．以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E；再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于点P，作射线AP，与边BC相交于点F，则∠AFB的大小为（　　） A．80° B．85° C．90° D．95° 2．（2025•泰兴市校级三模）如图，两把相同的直尺的一边分别与射线OB、OA重合，另一边相交于点P，则OP平分∠BOA的依据是（　　） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边距离相等 C．角平分线的性质 D．角平分线是对称轴 3．（2025春•青白江区期末）用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（　　） A． SSS B．SAS C．ASA D．AAS 4．（2025春•澧县期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠PDB＝30°，点D在边OB上，且DP＝6，则CP的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024秋•安庆期末）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　） A．70° B．120° C．125° D．130° 6．（2024秋•息县期末）如图，在△ABC中，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，△ABD的面积为15，则DE的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 7．（2025•碑林区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥CB，交AB于点E，过点D作DF⊥BC于点F，若DF＝3，AE＝4，则BE＝（　　） A．4 B．5 C．7 D．8 8．（2025•青海模拟）如图，OC平分∠AOB，在OC上取一点P，过P作PQ⊥OB，若PQ＝4cm，则点P到OA的距离为（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 9．（2024春•文山市期中）在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE⊥AB于点E．若CD＝2，AB＝5，则△ABD的面积为（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．20 10．（2024秋•广州校级期中）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB＝60°，PD⊥OA，M在线段OP上且DM＝OM＝4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（　　） A．2 B． C．4 D． 二、填空题（共8小题） 11．（2025春•金台区校级月考）如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB于点C，点F在OA，若∠AFE＝30°，EC＝3，则EF＝　 　 ． 12．（2025春•砀山县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝12cm，点D到AB的距离为5cm，则BD的长为　 　 cm． 13．（2024秋•滨海新区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AP交边BC于点D，若CD＝6，AB＝17，则△ABD的面积是　 　 ． 14．（2024秋•温州校级月考）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B＝∠ACD，AB＝6，AD＝3，则AC的长为　 　 ． 15．（2024秋•新吴区期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ADC的面积＝9，DE＝2，则AC的长是 　 　 ． 16．（2024春•苏仙区校级期中）如图，已知点P在∠AOB的平分线OC上，PF⊥OA于点F，PE⊥OB于点E，若PE＝6，则PF长 　 　 ． 17．（2024春•福鼎市期中）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE＝2cm，BC＝6cm，则△BCD的面积为 　 　 ． 18．（2023秋•伊犁州期末）如图△ABC中，∠C＝90°，AM平分∠BAC，CM＝4cm，AB＝7cm，则△ABM的面积是 　 　 cm2． 三、解答题（共7小题） 19．（2025春•北京校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°．AD平分∠BAC，交BC于点D，若DC＝6，AB＝24，求△ADB的面积． 20．（2025春•长安区月考）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC的中点，AM平分∠DAB． （1）DM是否平分∠ADC？请证明你的结论． （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． 21． （2024秋•吉林期末）已知△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，求证：AP平分∠BAC． 22．（2023秋•昌邑区校级月考）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积为84cm2，AB＝15cm，DE＝6cm，求AC的长． 23．（2023秋•汝南县期末）证明：角平分线上的点到角两边的距离相等． 已知：如图，OC平分∠AOB，点P是OC任意上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，E、F为垂足． 求证：　 　 ； 证明： 24．（2023秋•滨海县月考）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：DE＝DF． 25．（2022秋•同心县校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．求证：点D在∠BAC的角平分线上． 学科网（北京）股份有限公司 $$