第24章圆 易错精选题-2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一．选择题（共10小题） 1．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 2．（2025•江津区模拟）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数是（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 3．（2025•伊川县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC．若AB＝BC，∠BAC＝36°，则∠D的度数是（　　） A．36° B．48° C．54° D．72° 4．（2025•遵义二模）如图，⊙O的半径为10，AB＝16，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的OP的值不可能是（　　） A．7.5 B．6.5 C．6 D．5.5 5．（2025•滨州模拟）如图，△ABC的角平分线CD交其外接圆O于点D，以下说法不正确的是（　　） A．若∠ACB＝60°，则 B．若∠ACB＝90°，则 C．若∠ACB＝120°，则CD＝CA+CB D．若∠ACB＝150°，则 6．（2025•渭源县校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，连接OA，OD．若∠ABC＝100°，∠DCE＝30°，则∠AOD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 7．（2025•川汇区一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝5，OP＝10，则∠C等于（　　） A．60° B．20° C．30° D．45° 8．（2025•南陵县二模）在正五边形ABCDE中，连接对角线AC、AD、CE，其中AD、CE相交于点F，连接BF，交AC于点G，则下列说法不正确的是（　　） A．AC＝AE+EF B．AD2+BF2＝4DE2 C．S△CDE＝2S△AFG D．∠ABF＝∠AFE 9．（2025•费县二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，18．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　） A．（14+4π，18） B．（14+4π，16） C．（14+5π，18） D．（14+5π，16） 10．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•蓬江区校级三模）如图，点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，则点O到边AB的距离为：　 　 ． 12．（2025•安庆模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　 　 ． 13．（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 14．（2025•凉州区校级二模）如图，点A、B、C、P都在⊙O上，若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为　 　 ． 15．（2025•宁夏一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　 　 ． 16．（2025•费县二模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，若用扇形ABE围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•安庆模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⊥CD，垂足为点M，AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8，求⊙O的半径． 18．（2025•襄城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线： （2）若AB＝10，DE＝4，求AE的长． 19．（2025•金凤区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求阴影部分的面积． 20．（2025•凉州区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA的延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交直线DC于点E． （1）求证：DE⊥BE； （2）若，DA＝2，求⊙O的半径． 21．（2025•济南模拟）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接DE交AB于点F，连接AE交CD于点G，． （1）求证：CD⊥AE； （2）过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点H．若，，求BH的长． 22．（2025•邯郸二模）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形ABCD中，宽BC为，高AB为，点O是AC，BD的交点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，地面BC与矩形门洞对角线AC的夹角∠ACB约为52.5°，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． （1）求⊙O的半径； （2）求改造后圆弧形门洞的高度（即弧AD的中点到地面的距离）； （3）直接写出阴影部分的面积．（结果保留π） 23．（2025•丰泽区校级模拟）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． （1）如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点M和点N，且半径MA和NC分别为10米和4米，圆心角都为90°，求比长多少（结果保留π）？ （2）如图4，已知五边形ABCDE是一个商场，DE为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线G﹣H﹣I﹣J﹣K的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知GH和IJ为笔直道路，且GH＝IJ＝700米，左转弯导向线和的圆心分别为点C和点D，且半径CH和DJ均为10米，圆心角分别为∠HCI＝90°，∠JDK＝135°，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米/秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米/秒，求该小汽车沿着标线G﹣H﹣I﹣J﹣K从G行驶到车库门口K的行驶时间为多少秒（π取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 第24章圆易错精选题-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D D D C C D C A 一．选择题（共10小题） 1．（2025•自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°， 综上所述：∠ACB的度数是50°或130°， 故选：D． 2．（2025•江津区模拟）如图，点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°，C为劣弧BD上一点，则∠BCD的度数是（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【解答】解：∵点A是⊙O中优弧BAD的中点，∠ABD＝70°， ∴， ∴AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°， 又∵C为劣弧BD上一点， ∴∠BCD＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°， 故选：D． 3．（2025•伊川县一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接AC．若AB＝BC，∠BAC＝36°，则∠D的度数是（　　） A．36° B．48° C．54° D．72° 【解答】解：∵AB＝BC，∠BAC＝36°， ∴∠B＝180°﹣2×36°＝108°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D＝180°， ∴∠D＝180°﹣108°＝72°， 故选：D． 4．（2025•遵义二模）如图，⊙O的半径为10，AB＝16，P是弦AB上的一个动点（不与A，B重合），符合条件的OP的值不可能是（　　） A．7.5 B．6.5 C．6 D．5.5 【解答】解：如图，取AB的中点C，分别连接OC、OB，则OC⊥AB，且BCAB16＝8， 在Rt△OBC中，OB＝10， ∴， 点P线段BC上（不与B重合），则OC≤OP＜OB，即6≤OP＜10， ∵5.5＜6， ∴选项D符合题意； 故选：D． 5．（2025•滨州模拟）如图，△ABC的角平分线CD交其外接圆O于点D，以下说法不正确的是（　　） A．若∠ACB＝60°，则 B．若∠ACB＝90°，则 C．若∠ACB＝120°，则CD＝CA+CB D．若∠ACB＝150°，则 【解答】解：连接DA，DB，延长CB至E，使得BE＝AC，连接DE， ∵△ABC的角平分线CD交其外接圆O于点D， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∵四边形ADBC是圆内接四边形， ∴∠ADB+∠ACB＝180°， ∵∠ACB＝60°， ∴∠ADB＝120°，∠ACD＝∠BCD＝30°， ∵∠CAD+∠CBD＝180°，∠CBD+∠DBE＝180°， ∴∠DBE＝∠DAC， ∵DB＝DA，BE＝AC， 在△DBE和△DAC中， ， ∴△DBE≌△DAC（SAS）， ∴∠E＝∠DCA＝∠DCE＝30°， 过点D作DF⊥CE于点F， ∴CD＝2DF，CF＝EF， ∴， ∴， 即，故A正确； 如图所示，∠ACB＝90°，同理可得△DBE≌△DAC（SAS）， ∴∠E＝∠DCE＝45°， ∴，故B正确； 如图，∠ACB＝120°，同理可得△DBE≌△DAC（SAS）， ∴∠E＝∠DCE＝60°， ∴CD＝CE＝CA+CB，故C正确； ∠ACB＝150°，同理可得△DBE≌△DAC（SAS）， ∴∠E＝∠DCE＝75°，CE＝CA+CB， 作△CDE的外接圆⊙P，连接PC，PD，PE，延长DP交CE于点Q， ∵∠CDE＝180°﹣2∠DCE＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠CPE＝2∠CDE＝60°， ∵PC＝PE， ∴△PCE是等边三角形， ∵DC＝DE，PC＝PE， ∴DQ⊥CE， ∴， ∴， 在Rt△CDQ中，， ， ∴， 即， ∴，故D不正确， 故选：D． 6．（2025•渭源县校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，连接OA，OD．若∠ABC＝100°，∠DCE＝30°，则∠AOD的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的切线交AD的延长线于点E，∠ABC＝100°，∠DCE＝30°，如图，连接OC， ∴∠OCE＝90°，∠ADC＝180°﹣100°＝80°， ∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ODA＝80°﹣60°＝20° ∵OA＝OD， ∴∠AOD＝180°﹣20°﹣20°＝140°， 故选：C． 7．（2025•川汇区一模）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接OA，OB，BC．若AO＝5，OP＝10，则∠C等于（　　） A．60° B．20° C．30° D．45° 【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，PO的延长线交⊙O于点C， ∴OB⊥PB，OA＝OB＝5， ∴∠OBP＝90°， 在Rt△OBP中，∵cos∠BOP， ∴∠BOP＝60°， ∴∠C∠BOP＝30°． 故选：C． 8．（2025•南陵县二模）在正五边形ABCDE中，连接对角线AC、AD、CE，其中AD、CE相交于点F，连接BF，交AC于点G，则下列说法不正确的是（　　） A．AC＝AE+EF B．AD2+BF2＝4DE2 C．S△CDE＝2S△AFG D．∠ABF＝∠AFE 【解答】解：∵ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC＝AD＝CE， ∴四边形ABCF为菱形， ∴EF＝DF， ∴AC＝AD＝AF+DF＝AE+EF，故A选项正确； ∵AG2+BG2＝AB2， ∴AD2+BF2＝AC2+BF2＝（2AG）2+（2BG）2＝4AB2＝4DE2，故B选项正确； ∵AB＝BC＝CD＝DE＝CF＝AF，AC＝CE， ∴△CDE≌△ABC≌△AFC， ∴S△CDE＝S△ABC＝S△ACF＝2S△AFG，故C选项正确； ∵， ∴，∠AFE＝180°﹣∠AFC＝72°， ∴∠ABF≠∠AFE，故D选项不正确， 故选：D． 9．（2025•费县二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（8，10），⊙P与x轴相切，点A，B在⊙P上，它们的横坐标分别是0，18．若⊙P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（　　） A．（14+4π，18） B．（14+4π，16） C．（14+5π，18） D．（14+5π，16） 【解答】解：如图1，设⊙P与x轴的交点为D，过点P作PC⊥y轴，交y轴于点C，连接PA，PD， ∵PD⊥x轴，PC⊥y轴，点P的坐标是（8，10）， ∴PC＝8，PD＝10， 即⊙P的半径为10， ∴PA＝PD＝10， ∴AC6， 延长CP与⊙P相交，此时交点到点C的距离为18，而点B的横坐标为18， 故交点为点B， ∴∠DPB＝90°， 如图2，当点B第一次落在x轴上时，⊙P滚动了90°， ∴点B滚动的距离为：， 点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，点B的对应点为B′，点P的对应点为P′， 此时A′C′＝AC＝6，P'C'＝PC＝8，点A′的纵坐标为P'C'+10＝18， 点A′的横坐标为PC+A'C'+5π＝14+5π， ∴点A′的坐标为（14+5π，18）， 故选：C． 10．（2025•淮南模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，点E是BC的中点，以C为圆心，CE为半径作弧，交CD于点F，连接AE、AF、EF，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AB＝BC＝4． 又∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形，∠BCD＝120°． ∵点E是BC的中点， ∴AE⊥BC． ∵BE， ∴AE， ∴， 同理可得，， ∴． ∵，， ∴中间空白部分两边形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：A． 二．填空题（共6小题） 11．（2025•蓬江区校级三模）如图，点O是△ABC的内心，连接OA，OC，若△OCA的高OD＝3，则点O到边AB的距离为：　3　 ． 【解答】解：作OH⊥AB于点H， ∵OD是△OCA的高， ∴OD⊥AC于点D， ∵点O是△ABC的内心， ∴AO平分∠BAC， ∵点O在∠BAC的平分线上，且OH⊥AB于点H，OD⊥AC于点D， ∴OH＝OD＝3， ∴点O到边AB的距离为3， 故答案为：3． 12．（2025•安庆模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝　60°　 ． 【解答】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β； ∵四边形ABCO是平行四边形， ∴∠ABC＝∠AOC； ∵∠ADCβ，∠AOC＝α； 而α+β＝180°， ∴， 解得：， ∴∠ADC＝60°， 故答案为：60°． 13．（2025•成都）如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 　　 ． 【解答】解：如图，连接OB． ∵四边形OABC为平行四边形， ∴AB＝OC， ∵OA＝OC， ∴OA＝AB， ∴▱OABC是菱形， ∵OA＝OB＝AB， ∴△AOB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴S阴影＝S扇形AOBπ×12． 故答案为：． 14．（2025•凉州区校级二模）如图，点A、B、C、P都在⊙O上，若∠AOB＝100°，∠AOC＝30°，则∠P的度数为　35°　 ． 【解答】解：由条件可知∠BOC＝70°， ∴， 故答案为：35°． 15．（2025•宁夏一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝4，AD＝5，则⊙O的半径为　　 ． 【解答】解：如图，延长BC，AD交于点E，连接AC， 由条件可知∠BAD＝60°，∠ADC＝90°，AC是直径， ∴∠CDE＝90°，∠E＝30°， ∵AB＝4， ∴AE＝2AB＝8，CE＝2CD， ∵AD＝5， ∴DE＝3， ∵， ∴， ∴， ∴⊙O的半径为． 故答案为：． 16．（2025•费县二模）如图，正五边形ABCDE的边长为4，以A为圆心，以AB为半径作弧BE，若用扇形ABE围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为 　1.2　 ． 【解答】解：设该圆锥的底面半径为r， 由题意得， 由题意得，， ∴r＝1.2， ∴该圆锥的底面半径为1.2， 故答案为：1.2． 三．解答题（共7小题） 17．（2025•安庆模拟）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB⊥CD，垂足为点M，AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8，求⊙O的半径． 【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB，如图所示： 则CF＝DFCD，AE＝BEAB， ∵AM＝4，BM＝6，CM＝3，DM＝8 ∴AB＝10，CD＝11， ∴CF＝DF＝5.5，AE＝BE＝5， ∴MF＝5.5﹣3＝2.5， ∵OE⊥AB，OF⊥CD，AB⊥CD， ∴四边形MEOF是矩形， ∴OE＝MF＝2.5， 在Rt△BOE中，OB， 即⊙O的半径为． 18．（2025•襄城区模拟）如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线： （2）若AB＝10，DE＝4，求AE的长． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠EAD， ∴EA∥OD， ∴∠AED+∠ODE＝180°， ∵DE⊥EA， ∴∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴直线DE与⊙O相切． （2）解：如图，过点D作DF⊥AB于点F， ∴∠DFA＝∠DEA＝90°， 在Rt△EAD和Rt△FAD中，AD＝AD，DE＝DF， ∴Rt△EAD≌Rt△FAD（HL）， ∴DF＝DE＝4，AF＝AE， ∵AB为⊙O的直径，且AB＝10， ∴OA＝OD＝5， 在Rt△DOF中，， ∴AE＝AF＝OA+OF＝5+3＝8． 19．（2025•金凤区校级三模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点C作⊙O的切线CD交BA延长线于点D，点E为上一点，且． （1）求证：DC∥AE； （2）若EF垂直平分OB，DA＝6，求阴影部分的面积． 【解答】（1）证明：连接OC，BE，OC交AE于G， ∵⊙O的切线CD， ∴∠OCD＝90°， ∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴OC⊥AE， ∴∠AGO＝90°， ∴∠AGO＝∠OCD＝90°， ∴DC∥AE（同位角相等，两直线平行）； （2）解：连结OE、BE， ∵EF垂直平分OB， ∴OE＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∵OE＝OB， ∴△OEB为等边三角形（三边相等的三角形是等边三角形）． ∴∠BOE＝60°， ∴∠AOE＝180°﹣60°＝120°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°． ∵DC∥AE， ∴∠D＝∠OAE＝30°． ∵∠OCD＝90°， ∴OD＝2OC＝OA+AD， ∵OA＝OC，DA＝6， ∴OC＝OA＝AD＝6， ∴AO＝OE＝OC＝6，， ∴， ∴． 20．（2025•凉州区二模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，过点C的直线与⊙O相切，与BA的延长线交于点D，点F为上一点，且，连接BF并延长交直线DC于点E． （1）求证：DE⊥BE； （2）若，DA＝2，求⊙O的半径． 【解答】（1）证明：如图所示，连接OC， ∵， ∴∠ABC＝∠EBC， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠OCB＝∠EBC， ∴OC∥BE， ∵ED为⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∴∠OCD＝90°， ∴∠E＝∠OCD＝90°， ∴DE⊥BE； （2）解：∵， 设DC＝5a，则EC＝3a， ∴DE＝8a， 设⊙O的半径为r， 则DO＝DA+OA＝2+r，DB＝DO+OB＝2+2r， ∵OC∥BE， ∴△DCO∽△DEB， ∴， ∴， ∴r＝3，即⊙O的半径为3． 21．（2025•济南模拟）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接DE交AB于点F，连接AE交CD于点G，． （1）求证：CD⊥AE； （2）过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点H．若，，求BH的长． 【解答】（1）证明：连接AD， 则， ∵， ∴∠CDE＝∠ADC，， ∵OA＝OE， ∴CD⊥AE； （2）解：由（1）知CD⊥AE， ∴， ∴， 设OF＝3k（k＞0），则BF＝4k，OA＝OD＝OB＝7k， ∵DH是⊙O的切线，CD是⊙O的直径， ∴CD⊥DH， ∴AE∥DH， ∴△DOH∽△GOA，△DHF∽△EAF， ∴，， 即，， ∴，DH， ∴， 整理得70k+10BH＝56k+14BH， 解得BHk， ∴DH，， 在Rt△ODH中，由勾股定理得OD2+DH2＝OH2， 即， 整理得k2， ∵k＞0， ∴k， ∴BH， 即BH的长为． 22．（2025•邯郸二模）如图1，公园计划将一个矩形门洞修改成为圆弧形门洞，如图2，在矩形ABCD中，宽BC为，高AB为，点O是AC，BD的交点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，地面BC与矩形门洞对角线AC的夹角∠ACB约为52.5°，阴影部分为门洞改造后扩大的部分． （1）求⊙O的半径； （2）求改造后圆弧形门洞的高度（即弧AD的中点到地面的距离）； （3）直接写出阴影部分的面积．（结果保留π） 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°． ∴（m）， ∴， ∴⊙O的半径为； （2）设弧AD的中点为E，作EF⊥BC于F， 由对称性可知，EF过圆心O， 则EF＝OE+OF， ∵，， ∴EF＝2.7m， ∴圆弧形门洞的拱高为2.7m； （3）∵⊙O的面积（m2）， ∵（m2）， ∴（m2）， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠ABC＝52.5°， ∴∠BOC＝180°﹣52.5×2＝75°， ∴S扇形BOC， ∴阴影部分的面积． 23．（2025•丰泽区校级模拟）路口导向线是一个交通指示，是指车辆转弯时必须沿导向线有序行驶．如图1中的虚线，就是一个左转弯导向线． （1）如图2，车辆在一个十字路口时，既有左转弯导向线，也有右转弯导向线．如图3，已知左转弯导向线和右转弯导向线的圆心分别为点M和点N，且半径MA和NC分别为10米和4米，圆心角都为90°，求比长多少（结果保留π）？ （2）如图4，已知五边形ABCDE是一个商场，DE为地下车库入口，一个小汽车沿道路标线G﹣H﹣I﹣J﹣K的方向驶向车库入口，途中没有红绿灯．已知GH和IJ为笔直道路，且GH＝IJ＝700米，左转弯导向线和的圆心分别为点C和点D，且半径CH和DJ均为10米，圆心角分别为∠HCI＝90°，∠JDK＝135°，汽车在笔直道路上的行驶速度为14米/秒，在左转弯时，为了安全起见，速度降为5米/秒，求该小汽车沿着标线G﹣H﹣I﹣J﹣K从G行驶到车库门口K的行驶时间为多少秒（π取3.14，汽车加速和减速的时间忽略不计）？ 【解答】解：（1）的长为：（米）， 的长为：（米）， ∵5π＞2π 且 5 π﹣2π＝3π（米）， ∴比长3π米； （2）的长为：（米）， 的长为：（米）， 则该小汽车沿路线G﹣H﹣I﹣J﹣K行驶的时间为：100+2.5π≈100+2.5×3.14＝107.85（秒）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$