1.1.2 空间向量的数量积运算 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

高二数学讲义 2025～2026学年上学期高二数学讲义 教材：人教A版高中数学选择性必修第一册 章节：1.1.2 空间向量的数量积运算 part1 知识清单 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. Part2 教材重点例题与习题 1.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解答】 解：，， ， 设，则， 所以，   所以， 于是得到与所成角的大小为． 故选B． 2.如图，在平行六面体中，，，，，． 求：的长精确到． 【答案】解：， ， 所以． 3.如图，，是平面内的两条相交直线如果，，求证：． 【答案】证明：在平面内作任意一条直线，分别在直线，，，上取非零向量． 因为直线与相交，所以向量，不平行由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对，使 ． 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ． 因为，所以． 所以 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以．  4.如图，正方体的棱长为，设，，，求： ；  ；  ． 【答案】解：． ．  5.如图，在平行六面体中，，，，，求： ；  的长；  的长． 【答案】解： ．  6.如图，线段，在平面内，，，且，，求，两点间的距离． 【答案】解：，， ， ， ，． ， ， ， 即，两点间的距离为．  Part3 综合练习 一、单选题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为(    ) A.   B.    C.   D. 2.已知空间向量、满足，，，则在上的投影向量(    ) A. B. C. D. 3.三棱锥中，，，，则等于(    ) A. B. C. D. 4.在棱长为的正四面体中，，分别是，的中点，则(    ) A. B. C. D. 5.下列式子对于空间向量也正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，若，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.已知长方体，下列向量的数量积一定不为的是(    ) A. B. C. D. 8.已知空间向量，满足，，且，则在上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为(    ) A. B. C. D. 10.已知正四面体中，，则与夹角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 11.设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(    ) A. B. C. D. 三、填空题 12.如图，平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则等于           13.正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是          ． 14.如图，四面体的每条棱长都等于，点，分别为棱，的中点，则          ，与所成的角为          ． 四、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.如图，正方体的棱长为，设，，，求： ；  ；  ． 16.如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点．求： ；  ；  ； ；  ；  ． Part4 综合练习答案及解析 1.【答案】  【解答】 解：设与的夹角为由，得，两边平方，得， 所以，解得，又，所以， 故选：． 2.【答案】  【解答】解：由， 且， 可知． 则在上的投影向量为， 故选C． 3.【答案】  【解答】 解：， ． 故选：． 4.【答案】  【解答】 解：如图所示， 棱长为的正四面体中， 因为分别是的中点，易得， 所以 ， 故选． 5.【答案】  【解答】 解：由题意，可知：，故D正确， 可知：、、都不正确； 故选D． 6.【答案】  【解答】 解：； ； 即 ； ， ． 故选A． 7.【答案】  【解答】 解：选项A，当四边形为正方形时，可得， 而，可得，此时有； 选项B，当四边形为正方形时，可得， 又，，可得平面， 故有，此时有； 选项C，由长方体的性质可得平面， 可得，此时必有； 选项D，由长方体的性质可得平面， 可得，为直角三角形，为直角， 故BC与不可能垂直，即． 故选：． 8.【答案】  【解答】 解：因为向量，满足，，且， 所以，可得， 所以，在上的投影向量为， 故选：． 9.【答案】  【解答】 解：，， ， 设，则， 所以，   所以， 于是得到与所成角的大小为． 故选B． 10.【答案】  【解答】 解：设正四面体的棱长为，，，两两夹角为， 因为正四面体中，， 所以，等式平方求出， 同理求出， 则， ， 设与的夹角为， 则， 即与所成角的余弦值为， 故选B． 11.【答案】  【解答】 解：设向量，的夹角为， 对于，，正确； 对于，，显然不成立，故错误； 对于，，故错误； 对于，，正确， 故选AD． 12.【答案】  【解答】 解：如图： 平行六面体中， 向量、、两两的夹角均为， 且，，，  ， ， ． 故答案为． 13.【答案】  【解答】 解：依题意，设，其中， ， 因此的取值范围是． 故答案为． 14.【答案】   【解答】 解：， ， 故， 故． 又因为， 故    ， 因为，， 所以，． 故答案：；． 15.【答案】解：． ．  16.【答案】解： ； ；  ； ； ；  ．  第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$