精品解析：广东省深圳市宝安区孝德学校2024-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

2024-2025学年第一学期第一阶段随堂练习卷 九年级数学 2024.10 一．选择题（共8小题） 1. 下列各组线段中，能够组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意； C、，故此选项中四条线段成比例，符合题意； D、，故此选项中四条线段不成比例，不符合题意， 故选：C． 2. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果， 所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为， 故选：A． 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比． 3. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可． 【详解】解：A．∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故A不符合题意； B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意； C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意； D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 4. 下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二方程根与系数的关系是解答本题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：A、因为，所以，此方程无解，故A不符合题意； B、因为，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故B不符合题意； C、因为，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故C不符合题意； D、因为，移项得：，根据一元二次方程根与系数的关系得：，故D符合题意； 故选：D． 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为x米，根据草坪的面积为160平方米，列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米，根据题意得： ， 故选：A． 6. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点C的坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出是等边三角形，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出点的坐标，根据中心对称的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，设与轴交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴是等边三角形，则， ∵是菱形的对角线的中点， ∴ ∵轴，则， ∴ ∴，， ∴ ∵关于对称， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查坐标与图形，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求得点的坐标是解题的关键． 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是， 正方形的边长是， 正方形的面积为3， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题． 二．填空题（共5小题） 9. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 10. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质知识点，解题的关键是利用比例的等比性质． 根据比例的等比性质，若，则，直接代入求解． 【详解】已知，根据比例的等比性质：若，那么．在此题中，所以． 故答案为：． 11. 如图，若，，，，则长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】作点F关于AC对称点F′根据正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴,可得点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′，P为AC上的一个动点，PF=PF′，则PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值为EF′的长即可． 【详解】解：作点F关于AC对称点F′， ∵正方形ABCD是轴对称图形，AC是一条对称轴， ∴点F关于AC的对称点在线段AD上，连结EF′， ∵P为AC上的一个动点， ∴PF=PF′ 则PF+PE=PF′+PE≥EF′， PF+PE的最小值为EF′的长， ∵AB=4，AF=2， ∴AF′=AF=2， ∴EF′=． 【点睛】本题考查正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短，掌握正方形性质，轴对称性质，两点之间线段最短是解题关键． 13. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，折叠的性质等相关知识．设与的交点为，可得和是等腰三角形，设，则，在中，根据勾股定理可建立方程，求出的值，表达和的值，进而可得的长；再根据勾股定理可得的长，由平行可得，根据相似比可得最终结果． 【详解】解：设与的交点为， 在矩形中，，，， ， 由折叠可知，，，， ， ， ∵， ， ，， ，， ，， ，， ， 设，则； ，， 在中，， 由勾股定理可得， 即， 解得， ，， ， ． 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）（2x﹣1）2＝9 （2）x2﹣4x﹣12＝0 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法求解即可； （2）根据分解因式法求解． 【小问1详解】 ∵（2x﹣1）2＝9， ∴2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3， 解得：，； 【小问2详解】 x2﹣4x﹣12＝0 原方程可变形为， ∴x－6=0或x+2=0， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 15. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400； ②补全条形统计图如下： ③54° （2）980人 （3） 【解析】 【分析】本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）①由B组的人数除以所占百分比即可； ②求出A、C组的人数，可补全统计图； ③由乘以C组所占的比例即可； （2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①调查人数：（名）， 故答案为：400； ②A组的人数：（名）， C组的人数：（名）， ③扇形统计图中圆心角， 故答案为：， 【小问2详解】 解：（人）， 答：参加D组（阅读）的学生人数为980人； 【小问3详解】 解：树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种， ∴P（恰好抽中甲、乙两人）． 16. 如图，在和中，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定： （1）先证明，再根据有两组角对应相等的两三角形相似进行证明即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，据此可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明: 在中，平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证，可得，由菱形的判定可证结论； （2）过点D作，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，，进而得到即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 过点 D作 ， ∵四边形是菱形， ∴ ， ∴， 又∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． 18. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）秒或秒 （2）秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程，解一元二次方程，相似三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解题的关键． （1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段和，设经过秒钟，使的面积为，得到，，根据三角形的面积公式得出方程即可求解； （2）设经过秒钟，使和相似，根据两边成比例并且夹角相等的两三角形相似，分两种情况求出即可． 【小问1详解】 解：∵点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动， ∴，， ∴． 设经过秒钟，使的面积为， ∵，，， ∴， ∴， ∴解得：，， ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒的面积为． 【小问2详解】 解：设经过秒钟，使和相似， ∵， 当使时，和相似， 即， 解得：； 当使时，和相似， 即， 解得：． ∴如果，分别从，同时出发，经过秒或秒和相似． 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 20. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 【答案】（1）①在正方形中，， ，， ， ， ． ， ，即点是的中点． ②．理由： 如图2，连接交于点， 由折叠可知垂直平分，即点是的中点， 点是的中点， 是的中位线， ，即． （2）的最小值为． 【解析】 【分析】(1) ①根据正方形的性质，得到等角，证明即可得证． ②根据折叠的性质，正方形的性质，结合三角形中位线定理，证明即可． (2)在上截取，连接、，利用三角形不等式，结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）如图3，在上截取，连接、， ， ， ， ， 当、、三点共线时，取得最小值， ． 的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形中位线定理，三角形不等式求最值，三角形全等的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，三角形不等式，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期第一阶段随堂练习卷 九年级数学 2024.10 一．选择题（共8小题） 1. 下列各组线段中，能够组成比例的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 2. 如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中两根之和为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在宽10米、长22米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为160平方米．设道路的宽为x米，可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，是菱形的对角线的中点，轴且，，点C的坐标是( ) A. B. C. D. 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 15 二．填空题（共5小题） 9. 方程的解是______． 10. 若，则_______． 11. 如图，若，，，，则长为_____． 12. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上的一个动点，则PF＋PE 的最小值为______________ 13. 如图，四边形为矩形，，，点为边上一点，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交于点，若，则的长为___________________． 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）（2x﹣1）2＝9 （2）x2﹣4x﹣12＝0 15. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了 名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角 度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 16. 如图，在和中，，． （1）求证： （2）若，，求的长． 17. 如图，在中，平分的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． （1）求证：四边形是菱形： （2）若，求的长． 18. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，如果点分别从两点同时出发，3秒后停止运动，设运动时间为秒． （1）当为何值时，的面积为？ （2）是否存在某一时间，使得和相似？若存在，请求出此时的值，若不存在，请说明理由． 19. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 20. 【问题背景】 如图1，已知正方形的边长为3，点E是边上的一点，把沿直线对折后，点A落在点F处． 【问题探究】 （1）如图2，当时，正方形的对角线与相交于点M，与正方形另一条对角线相交于点O，连接并延长，交线段于点G． ①求的值，并说明点M是的中点； ②试探究与有怎样的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，点H是线段上的一点，且，连接、．在点E从点A运动到点B的过程中，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $