2.4　解直角三角形 课件　2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

解直角三角形的类型 直角三角形除直角外的五个元素中,如果知道　　　条边和　　　个锐角,那么这个三角形的所有元素就可以被确定下来.  过教材　要点概览 第2课时　已知一边一锐角解直角三角形 一 一 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点一　已知斜边和一个锐角解直角三角形 [典例1] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,∠B=25°,求∠A,BC和AC的值.(参考数据:sin 25°≈0.423,cos 25°≈0.906,tan 25°≈ 0.466,结果精确到0.1) 2 3 4 探究点二　已知一条直角边和一个锐角解直角三角形 5 [变式2] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线,AD=20,求BC的长. 6 已知一锐角及一边解直角三角形的方法: (1)利用两锐角互余求出另一角; (2)利用一锐角及一边所对应的两个三角函数求出另两边. 7 谢谢观赏！ 8 解:∵∠C=90°,∠B=25°, ∴∠A=90°-25°=65°. ∵cos B=, ∴BC=cos B·AB=cos 25°×4≈0.906×4≈3.6. ∵sin B=, ∴AC=sin B·AB=sin 25°×4≈0.423×4≈1.7. [变式1] 如图所示,在△ABC中,∠B=30°,tan C=,AD⊥BC于点D.若AB=8,求BC的长. 解:∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵在Rt△ADB中,∠B=30°,AB=8, ∴AD=4,BD=4. ∵在Rt△ADC中,tan C=,AD=4, ∴CD=,∴CD=3.∴BC=BD+CD=4+3. [典例2] 在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,且∠A=30°,b=,解这个直角三角形. 解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, ∴∠B=90°-∠A=60°. ∵cos A===,∴c=2. ∵sin A===,∴a=1. ∴∠B=60°,c=2,a=1. 解:∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°. ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠CBD=∠ABD=30°, ∴∠ABD=∠A, ∴BD=AD=20,∴CD=BD=10, ∴BC===10. $$1.解直角三角形 在直角三角形中,除直角外,一共有　　个元素,即　 　条边和　　个锐角,由直角三角形中　　　　的元素,求出其他所有　　 　元素的过程,叫做解直角三角形.  2.解直角三角形的类型 直角三角形除直角外的五个元素中,如果知道　　条边,那么这 个三角形的所有元素就可以被确定下来.  过教材　要点概览 4　解直角三角形 第1课时　已知两边解直角三角形 五 三 两 已知 未知 两 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点一　已知一条直角边和斜边解直角三角形 2 3 (2)若BC=24,求斜边AB的长. 解:(2)由(1)得BC=12x. ∵BC=24,∴12x=24,即x=2, ∴AB=13x=26. 4 探究点二　已知两条直角边解直角三角形 5 6 已知两边解直角三角形的方法: (1)利用勾股定理求出第三边; (2)利用已知两边所对应的三角函数求出一个锐角; (3)利用两锐角互余求出另一个锐角. 7 谢谢观赏！ 8 解:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2, ∴BC===. ∵tan A===1,∴∠A=45°, ∴∠B=90°-∠A=90°-45°=45°. [典例1] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=,AB=2,解这个直角三角形. [变式1] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,=. (1)求tan B的值; 解:(1)∵∠C=90°,=, ∴可设AC=5x,AB=13x, ∴BC===12x, ∴tan B===. [典例2] 如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=,解这个直角三角形. 解:在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=,AC=, ∴tan A===,∴∠A=30°, ∴AB=2BC=2,∠B=90°-∠A=60°, ∴∠A=30°,AB=2,∠B=60°. [变式2] 在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3,S△ABC=,解这个直角三角形. 解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,b=3, S△ABC=,∴ab=, ∴a=3,∴tan A===, ∴∠A=60°, ∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°, ∴c=2b=6. $$将非直角三角形转化为直角三角形的技巧 对于非直角三角形问题,往往利用图形中的高或作图形一边上的　　 构造　　　　三角形来解决.  过教材　要点概览 第3课时　解非直角三角形 高 直角 初中五四制练案·数学·L J·九全 精讲练　新知探究 探究点　构造直角三角形求解斜三角形 2 求:(1)S△ABC; 3 (2)∠B的余弦值. 4 [变式1] 如图所示,在△ABC中,∠B=45°,∠C=75°,BC的长为6,求△ABC的面积. 5 6 解直角三角形的原则: (1)有斜用弦,无斜用切:当求解过程中涉及斜边时,用正弦或余弦,不涉及斜边时,用正切; (2)宁乘勿除:当求解过程中既可用乘法又可用除法时,尽量选用乘法; (3)取原避中:当求解过程中既可用原始数据又可用中间数据时,尽量用原始数据. 7 [典例2] 在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离.现测得AC=30 m,BC=70 m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离. 8 9 [变式2] 如图所示,在△ABC中,∠B=120°,AB=4,BC=2,求AC的长. 10 若图形中没有直角三角形,则往往需要添加辅助线构造直角三角形求解.其一般思路为: (1)作三角形的高,构造直角三角形; (2)构造含有特殊角的直角三角形; (3)利用图形的性质构造直角三角形,如等腰三角形“三线合一”的性质,菱形的对角线互相垂直的性质等. 11 谢谢观赏！ 12 [典例1] (2024岱岳期中)如图所示,在△ABC中,AB=AC=15,tan A=. 解:(1)如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D. 在Rt△ACD中,tan A==, ∴设CD=4k,则AD=3k, ∴AC===5k. ∵AC=15,∴5k=15,∴k=3, ∴AD=9,CD=12, ∴S△ABC=AB·CD=×15×12=90. 解:(2)在Rt△BCD中, BD=AB-AD=15-9=6,CD=12, ∴BC===6, ∴cos B===. 解:如图所示,过点C作CD⊥AB于点D. ∵∠B=45°,CD⊥AB,∴∠BCD=45°. ∵BC=6,∴CD=BD=3. 在Rt△ACD中,∠ACD=75°-45°=30°, ∴tan 30°=,∴AD=, ∴S△ABC=·AB·CD=×(3+)×3=9+3,∴△ABC的面积为9+3. 解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交BA的延长线于点D. 在Rt△CDA中,AC=30 m, ∠CAD=180°-∠CAB=180°-120°=60°. ∴CD=AC·sin∠CAD=30·sin 60°=15(m). AD=AC·cos∠CAD=30·cos 60°=15(m). 在Rt△CDB中,∵BC=70 m,BD2=BC2-CD2, ∴BD==65(m). ∴AB=BD-AD=65-15=50(m). 答:A,B两个凉亭之间的距离为50 m. 解:如图所示,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D. ∵∠ABC=120°, ∴∠CBD=180°-120°=60°. ∵BC=2, ∴sin∠CBD==,cos∠CBD=, 即sin 60°==,cos 60°==, ∴CD=,BD=1. ∵AB=4,∴AD=AB+BD=4+1=5, ∴AC===2. $$null