第3章 微专题6 破解圆锥曲线的离心率问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦圆锥曲线离心率问题，系统梳理定义法、几何法等五种求解方法，通过椭圆与双曲线性质回顾导入，衔接圆锥曲线方程知识，以方法分类为支架帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于结合数学思维与几何直观，通过典型例题（如椭圆焦点三角形余弦定理应用、双曲线齐次式方程转化）培养推理能力与符号表达。强化练习覆盖选择填空解答题，助力学生掌握解题策略，也为教师提供结构化教学资源，提升课堂效率。

微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 第三章 圆锥曲线的方程 离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，求离心率的方法主要有： (1)通过已知条件列出方程组，解出a，c的值，进而求出离心率． (2)由a，b的关系求离心率e＝(椭圆)或e＝(双曲线)． (3)由已知条件得关于a，c的齐次式，再转化为关于e的一元二次方程． (4)通过特殊值或特殊位置求离心率． (5)在焦点三角形内求离心率． 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 类型1　定义法 【例1】　(多选)已知椭圆C：＝1的离心率为，则k的值可以为(　　) A．2 B．3 C．16 D． √ √ 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 BD　[已知椭圆C：＝1的离心率为， 当焦点在x轴上时，a2＝k，b2＝4，c2＝k－4， 由e2＝＝＝，解得k＝； 当焦点在y轴上时，a2＝4，b2＝k，c2＝4－k， 由e2＝＝＝，解得k＝3． 综上，k＝或k＝3．故选BD．] 类型2　几何法 【例2】　已知F是椭圆E：＝1(a＞b＞0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝3|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(　　) A． C． √ 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 C　[设椭圆E的右焦点为F′，连接PF′，QF′， 根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形， 则|QF|＝|PF′|，且由∠PFQ＝120°，可得∠FPF′＝60°， ∴|PF|＋|PF′|＝4|PF′|＝2a，则|PF′|＝a，|PF|＝a， 由余弦定理可得(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF|·|PF′|cos 60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF|·|PF′|， 即4c2＝4a2－a2＝a2， ∴椭圆E的离心率e＝＝． 故选C．] 类型3　齐次式法 【例3】　已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，MF2与y轴交于点P，以MN为直径的圆经过点P，则C的离心率为(　　) A． B．2 C． √ 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 C　[由已知，不妨设M在第二象限， 易知M，N，P，PM⊥PN， 所以＝＝c2－＝0， 化简得3b4－4a2c2＝3(c2－a2)2－4a2c2＝3c4－10a2c2＋3a4＝0， 即3e4－10e2＋3＝0，(3e2－1)(e2－3)＝0， 因为e＞1，故e＝．故选C．] 类型4　求离心率的取值范围 【例4】　已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的右顶点到其渐近线的距离不大于a，则离心率e的取值范围为(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．(1，] D．(1，] √ 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 D　[依题意得，点(a，0)到渐近线bx＋ay＝0的距离不大于a，∴a， 即a， ∴，即1－，解得e2≤5． 又e＞1，∴1＜e≤．] 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 一、选择题 1．(多选)已知双曲线E的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为y＝±2x，则双曲线E的离心率为(　　) A． C． 微专题强化练(六)　破解圆锥曲线的离心率问题 √ √ 11 AB　[若双曲线的焦点在x轴上， 由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝＝＝； 若双曲线的焦点在y轴上， 由渐近线方程为y＝±2x，得＝2，∴e＝＝＝．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．如果椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线＝1的离心率为(　　) A． C． D．2 √ A　[由椭圆的离心率为，得＝，∴a2＝4b2．∴在双曲线中，e2＝＝＝，∴双曲线的离心率e＝．] 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 13 3．已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A是椭圆短轴的一个顶点，且cos ∠F1AF2＝，则椭圆的离心率e等于 (　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 14 D　[设椭圆＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0)， 则椭圆＝1(a>b>0)的左焦点F1的坐标为(－c，0)，右焦点F2的坐标为(c，0)． 依题意，不妨设点A的坐标为(0，b)，在△F1AF2中，由余弦定理得 |F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|·cos ∠F1AF2． ∵cos ∠F1AF2＝，∴4c2＝2a2－2a2×＝a2， ∴e2＝＝，解得e＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 15 4．若过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线交y轴于点(0，3c)(c为双曲线的半焦距)，则此双曲线的离心率是(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 16 C　[不妨设双曲线的一个焦点为F(c，0)，渐近线方程为y＝x， 则过点F(c，0)且与直线y＝x垂直的直线方程为y＝－(x－c)， 令x＝0，得y＝，则＝3c，∴＝， ∴双曲线的离心率是＝＝＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 17 5．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆上且位于第一象限，满足＝0，∠AF1F2的角平分线与AF2相交于点B，若＝，则椭圆的离心率为(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 18 D　[设|AF1|＝n，|AF2|＝8m，由＝得|AB|＝3m，|BF2|＝5m， 因为＝0，所以∠F1AF2＝， 在Rt△AF1F2中，由勾股定理，得(8m)2＋n2＝(2c)2，① 由椭圆的定义得8m＋n＝2a，② 因为F1B平分∠AF1F2，所以＝，即＝＝，③ 联立①②③并化简得7c2＋30ac－25a2＝0， 则7e2＋30e－25＝0，得e＝(负值舍去)．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 19 二、填空题 6．已知直线y＝a与双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2．若|PA2|＝|A1A2|，则双曲线C的离心率为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 或 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 20 或　[若渐近线的方程为y＝x，则点P的坐标为． 因为|PA2|＝|A1A2|，所以＋a2＝5a2， 则＝4，所以＝3(负值舍去)，从而e＝＝． 若渐近线的方程为y＝－x，则点P的坐标为，同理可得e＝．故答案为或．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 21 7．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F1(－c，0)，坐标原点为O，若在双曲线右支上存在一点P满足|PF1|＝c，且|PO|＝c，则双曲线C的离心率为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ＋1 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 22 ＋1　[因为|PO|＝|F1O|＝|F2O|＝c，所以∠PF1O＝∠OPF1，∠PF2O＝∠OPF2， 此时∠OPF1＋∠OPF2＝∠F1PF2＝， 所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，|PF1|－|PF2|＝2a， 即3c2＋(c－2a)2＝4c2，整理得c2－2ac＋2a2＝0，① 又e＝且e＞1，② 联立①②，解得e＝＋1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 23 8．已知F1(－c，0)，F2(c，0)为椭圆＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且＝c2，则此椭圆离心率的取值范 围是________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 24 　[设P(x，y)，－a≤x≤a， 则＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2， 将y2＝b2－x2代入上式， 解得x2＝＝． 又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 25 三、解答题 9．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若双曲线上存在一点P，使＝，求双曲线的离心率的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题6　破解圆锥曲线的离心率问题 26 [解]　由题知P不是双曲线的顶点．在△PF1F2中，由正弦定理，得 ＝．又＝， 所以＝，即|PF1|＝|PF2|， 所以点P在双曲线的右支上， 由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a， 即|PF2|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 27 由双曲线的几何性质，知|PF2|>c－a， 则>c－a， 即c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0， 解得－＋1<e<＋1． 又e>1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，＋1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 28 $$