5.5.2 第2课时 三角恒等变换的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（人教A版）

第五章 三角函数 5.5　三角恒等变换 5.5.2　简单的三角恒等变换 第2课时　三角恒等变换的应用 [学习目标]　1．能够利用三角恒等变换对三角函数进行化简、合并．(数学运算) 2．能够利用三角恒等变换解决几何中的问题以及生活中的实际问题．(数学建模) 第2课时　三角恒等变换的应用 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何把y＝a sin x＋b cos x转化成y＝A sin (x＋φ)的形式？ 问题2．应用三角函数解决实际问题时应注意哪些问题？ 第2课时　三角恒等变换的应用 探究建构 关键能力达成 探究1　辅助角公式及应用 问题1　利用和差角的正弦公式，如何化简三角函数式sin 20°－cos 20°． 提示：sin 20°－cos 20°＝sin 20°cos 60°－cos 20°·sin 60°＝sin (20°－60°)＝－sin 40°． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 问题2　根据两角和、差的正弦公式对下面几个式子进行化简： sin x±cos x，sin x±cos x，cos x±sin x． 提示：sin x±cos x＝sin ，sin x±cos x＝2sin ，cos x±sin x＝2sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 问题3　如何将三角函数式：y＝a sin x＋b cos x化简成y＝A sin (x＋φ)的形式？ 提示：第一步：提常数，提出， 得到y＝a sin x＋b cos x＝； 第二步：引入辅助角φ，使其满足cos φ＝，sin φ＝； 第三步：逆用公式，得a sin x＋b cos x＝(cos φsin x＋ sin φcos x)＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [新知生成] 辅助角公式 a sin x＋b cos x＝_________________(ab≠0)，其中tan φ＝，φ所在象限由a和b的符号确定． 【教用·微提醒】　a sin x＋b cos x＝·cos (x－θ)也是常用的化简形式． sin(x＋φ) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [典例讲评]　1．化简下列各式： (1)y＝3sin x－cos x； (2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)； (3)y＝sin ＋sin ． [解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2＝2＝sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x) ＝sin 2x cos 2x＋cos22x ＝sin4x＋ ＝sin 4x＋cos 4x＋ ＝ ＝ ＝sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (3)y＝sin ＋sin ＝sin cos ＋cos sin ＋sin ＝sin cos ＝ ＝sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 反思领悟　将三角函数y＝f (x)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的措施 (1)将sin x cos x运用二倍角公式化为sin 2x，对sin2x，cos2x运用降幂公式，对sin(x±α)，cos (x±α)运用两角和与差的公式展开． (2)将(1)中得到的式子利用a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化为f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋m的形式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [学以致用]　【链接教材P229习题5.5T12】 1．用辅助角公式化简下列式子： (1)sin －cos ； (2)sin 4x－cos 4x； (3)sin x＋cos x． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1)sin －cos ＝2sin ． (2)sin 4x－cos 4x＝ ＝＝sin ． (3)sin x＋cos x＝3 ＝3(sin x cos θ＋cos x sin θ)＝3sin (x＋θ)， 其中cos θ＝，sin θ＝，即tan θ＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 【教材原题·P229习题5.5T12】化简： (1)3sin x＋3cos x； (2)cos x－sin x； (3)sin ＋cos ； (4)sin cos ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1)3sin x＋3cos x＝6＝6sin ． (2)cos x－sin x＝＝sin ． (3)sin ＋cos ＝． (4)sin cos ＝ ＝sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 探究2　恒等变换与三角函数的性质 [典例讲评]　【链接教材P227例9】 2．设函数 f (x)＝cos x cos ＋sin2x－． (1)求 f (x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈时，求函数 f (x)的最大值及此时的x值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1) f (x)＝cos x cos ＋sin2x－＝cos x＋·sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以f (x)的最小正周期为＝π， 由2kπ－≤2kπ＋(k∈Z)⇒kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)， 所以函数的单调递增区间为(k∈Z)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (2)当x∈时，2x－∈， 所以当2x－， 即x＝时，函数 f (x)有最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 【教材原题·P227例9】 例9　求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y＝sin x＋ cos x； (2)y＝3sin x＋4cos x． 分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函数式是y＝A sin (x＋φ)，利用和角公式将其展开，可化为y＝a sin x＋b cos x的形式．反之，利用和(差)角公式，可将y＝a sin x＋b cos x转化为y＝A sin (x＋φ)的形式，进而就可以求得其周期和最值了． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1)y＝sin x＋cos x ＝2 ＝2＝2sin ． 因此，所求周期为2π，最大值为2，最小值为－2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (2)设3sin x＋4cos x＝A sin (x＋φ)，则 3sin x＋4cos x＝A sin x cos φ＋A cos x sin φ． 于是A cos φ＝3，A sin φ＝4， 于是A2cos2φ＋A2sin2φ＝25，所以A2＝25． 取A＝5，则cos φ＝，sin φ＝． 由y＝5sin (x＋φ)可知，所求周期为2π，最大值为5，最小值为－5． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 反思领悟　应用公式解决三角函数综合问题的步骤 (1)降幂将解析式化为f (x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式：如将sin x cos x运用二倍角公式化为利用降幂公式sin2x＝，cos2x＝析式化为一次式． (2)利用辅助角公式a sin α＋b cos α＝·sin (α＋φ)化成f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式． (3)将“ωx＋φ”看作一个整体研究函数的性质． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [学以致用]　【链接教材P228练习T1】 2．求下列函数的最大值和最小值： (1)y＝cos x＋sin x； (2)y＝sin x－cos x； (3)y＝sin 2x－cos 2x． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1)∵y＝cos x＋sin x＝sin ， ∴函数y＝cos x＋sin x的最大值为1，最小值为－1． (2)∵y＝sin x－cos x＝sin ， ∴函数y＝sin x－cos x的最大值为，最小值为． (3)∵y＝sin 2x－cos 2x＝2sin ， ∴函数y＝sin 2x－cos 2x的最大值为2，最小值为－2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 【教材原题·P228练习T1】求下列函数的周期，最大值和最小值： (1)y＝5cos x－12sin x； (2)y＝cos x＋2sin x． [解]　(1)y＝5cos x－12sin x＝13＝13cos (x＋φ)，其中tan φ＝， ∴函数y＝5cos x－12sin x的最小正周期为T＝2π，ymax＝13，ymin＝ －13． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (2)y＝cos x＋2sin x＝＝cos (x－φ)，其中tan φ＝2， ∴函数y＝cos x＋2sin x的最小正周期为T＝2π，ymax＝，ymin＝ －． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 【教用·备选题】　(源自湘教版教材)已知函数f (x)＝2sin cos ＋cos ，求函数f (x)的周期、最大值和最小值． [解]　因为f (x)＝sin ＋cos ＝ ＝2sin ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 所以f (x)的最小正周期T＝＝4π． 当sin ＝1时，f (x)取得最大值2； 当sin ＝－1时，f (x)取得最小值－2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 探究3　三角函数在实际问题中的应用 [典例讲评]　【链接教材P227例10】 3．在校园美化、改造活动中，某校决定在半径为30 m，圆心角为的扇形空地OPE内修建一个矩形的花坛ABCD，如图所示，请你确定B点的位置，使花坛的面积最大，并求出最大面积． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　如图所示，设CD的中点为M，连接OM，交AB于N，连接OC，记∠COM＝α， ，且OM＝30cos α(m)，CM＝30sin α(m)， BN＝CM＝30sin α(m)，ON＝＝sin α(m)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 所以S矩形ABCD＝2·BN·BC＝2×30sin α×(30cos α－10sin α)＝ 1 800sin αcos α－600sin2α＝900sin 2α－300(1－cos 2α)＝600－300＝600sin －300(m2)，0＜α＜， 由0＜α＜，得＜2α＋＜，故当2α＋，即α＝时，(S矩形ABCD)max＝600－300＝ (m2) ，此时OB＝2ON＝20sin ＝(m)． 故当OB＝10 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为300 m2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 【教材原题·P227例10】 例10　如图5.5-2，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，C是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．记∠POC＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积． 分析：可先建立矩形ABCD的面积S与α之间的函数 关系S＝f (α)，再求函数S＝f (α)的最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　在Rt△OBC中，OB＝cos α，BC＝sin α． 在Rt△OAD中， ＝tan ＝． 所以OA＝sin α， AB＝OB－OA＝cos α－sin α． 设矩形ABCD的面积为S，则 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 S＝AB·BC ＝sin α ＝sin αcos α－sin2α ＝sin 2α－(1－cos 2α) ＝sin 2α＋cos 2α－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 ＝ ＝sin ． 由0<α<，得<2α＋<，所以当2α＋，即α＝时， S最大＝． 因此，当α＝时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 反思领悟　用三角函数解实际问题应注意以下三点 (1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系． (2)注意实际问题中变量的范围． (3)重视三角函数有界性的影响． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [学以致用]　【链接教材P228练习T2、T3】 3．如图，已知扇形MON所在圆半径为1，∠MON＝，扇形内接矩形ABOC，设∠AON＝θ．   (1)将矩形面积S表示为θ的函数，并指出θ的取值范围； (2)当θ取何值时，矩形面积S最大，并求S的最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 [解]　(1)由条件OA＝1，∠AON＝θ， ∴OC＝cos θ，AC＝sin θ． ∴S＝sin θcos θ＝sin 2θ，其中0<θ<． (2)∵0<θ<，∴0<2θ<π， 故当2θ＝，即θ＝时，Smax＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 1．【教材原题·P228练习T2】要在半径为R的圆形场地内建一个矩形的花坛，应怎样截取，才能使花坛的面积最大？ [解]　如图，设圆心为O，长方形面积为S， 设∠AOB＝α，则AB＝R sin α，OB＝R cos α， ∴S＝2AB·2OB＝2R sin α·2R cos α＝2R2sin 2α， ∴当α＝时，花坛的面积最大，Smax＝2R2．此时， AB＝R． ∴截取矩形的长为R，宽为R时，花坛面积最大，最大值为2R2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 2．【教材原题·P228练习T3】已知正n边形的边长为a，内切圆的半径为r，外接圆的半径为R． 求证R＋r＝． [证明]　设O是内切圆圆心，OB，OA分别是内切圆半径、外接圆半径，则OB＝r，OA＝R，∴α＝． 在Rt△OAB中， sin α＝，即sin ，∴R＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 cos α＝，即cos ， ∴r＝R·cos ， ∴R＋r＝ ＝＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 应用迁移 随堂评估自测 1．(多选)cos α－sin α的化简结果是(　　) A．sin 　 B．cos C．sin 　 D．cos √ √ AD　[cos α－sin α＝＝cos ＝ sin ． 故选AD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 √ 2．函数 f (x)＝cos2，x∈R，则 f (x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数，也是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数 D　[ f (x)＝cos2 ＝(1－sin 2x)＝sin 2x， 此函数既不是奇函数也不是偶函数．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 √ 3．(教材P228练习T2改编)把截面半径为5的圆形木头锯成面积为y的矩形木料，如图，点O为圆心，OA⊥AB，设∠AOB＝θ，把面积y表示为θ的表达式，则有(　　) A．y＝50cos 2θ 　 B．y＝25sin θ C．y＝25sin 2θ 　 D．y＝50sin 2θ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 D　[由题知OB＝5，∠AOB＝θ，OA⊥AB， 所以，在Rt△AOB中，OA＝5cos θ，AB＝5sin θ， 所以，其矩形木料的面积为y＝2OA×2AB＝4×25sin θcos θ＝100sin θ cos θ＝50sin 2θ． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 4．(2024·全国甲卷)函数 f (x)＝sin x－cos x在[0，π]上的最大值是________． 2　[由题意知，f (x)＝sin x－cos x＝2sin ，当x∈[0，π]时，x－∈， sin ∈，于是 f (x)∈[－，2]，故 f (x)在[0，π]上的最大值为2．] 2　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 1．知识链： 2．方法链：转化与化归． 3．警示牌：易忽视实际问题中的定义域． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试总结解决三角函数综合问题的步骤． [提示]　应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤： ↓ ↓ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 2．用三角函数解决实际问题时，通常选什么作为自变量?求定义域时应注意什么? [提示]　通常选角作为自变量，求定义域时要注意实际意义和正弦、余弦函数有界性的影响． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业(五十七)　三角恒等变换的应用 √ 一、选择题 1．(2021·全国乙卷)函数 f (x)＝sin ＋cos 的最小正周期和最大值分别是(　　) A．3π和 　 B．3π和2 C．6π和 　 D．6π和2 50 C　[因为函数f (x)＝sin ＋cos ＝＝＝sin ，所以函数 f (x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．已知函数 f (x)＝sin (x＋φ)＋cos (x＋φ)是奇函数，则tan φ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 D　[由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos (x＋φ)＝2sin ， 又函数为奇函数，则φ＋＝kπ，k∈Z， 解得φ＝－＋kπ，k∈Z， 所以tan φ＝tan ＝－tan ＝－．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．已知sin θ＋cos θ＝1，则cos ＝(　　) A． 　 B．－ C． 　 D．－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[由sin θ＋cos θ＝1， 得＝1，即sin ． 又cos ＝1－2sin2， 所以cos ．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 55 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4．设m＝cos 6°－sin 6°，n＝sin 26°，p＝，则它们的大小关系是(　　) A．p<n<m 　 B．n<p<m C．m<p<n 　 D．m<n<p 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 56 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[cos 6°－sin 6° ＝ sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6° ＝sin (30°－6°) ＝sin 24°， p＝ ＝ ＝＝cos 20°－sin 20° 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 57 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＝sin 45°cos 20°－cos 45°sin 20° ＝sin (45°－20°)＝sin 25°， ∵y＝sin x在上单调递增， ∴sin 24°<sin 25°<sin 26°，∴m<p<n．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 58 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．(多选)函数f (x)＝sin2x＋sin x cos x，则(　　) A．f (x)图象的一条对称轴方程为x＝ B．f (x)图象的一个对称中心为 C．f (x)的最小值是 D．f (x)的最大值是 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 59 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 AD　[ f (x)＝sin2x＋sin x cos x＝sin 2x＝sin ． 对于A，令2x－＋kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z， 令k＝0，得f (x)图象的一条对称轴方程为x＝，故A正确； 对于B，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝，k∈Z， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 令k＝0，得f (x)图象的一个对称中心为，故B错误； 对于C，当sin ＝－1时，f (x)的最小值是－1＋，故C错误； 对于D，当sin ＝1时，f (x)的最大值是1＋，故D正确．故选AD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 61 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．若3sin x－cos x＝2sin (x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝_____． －　[因为3sin x－cos x＝2＝2sin ，因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－．] －　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 62 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．已知A为三角形的内角，则sin A＋cos A的取值范围为__________． (－1，]　[∵A为三角形的内角，∴0＜A＜π． sin A＋cos A＝＝sin ， 又＜A＋＜，∴－＜sin ≤1， ∴－1＜sin ≤， 即－1＜sin A＋cos A≤．] (－1，]　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．如图是半径为1的半圆，且PQRS是半圆的内接矩形，设∠SOP＝α，则其值为________时，矩形的面积最大，最大面积为________． 　1　[∵OP＝1，∠SOP＝α，∴PS＝sin α，SR＝2cos α， ∴矩形PQRS的面积S＝SR·PS＝2cos α·sin α＝sin 2α， 由题意知0＜α＜，则0＜2α＜π，∴当2α＝，即α＝时，Smax＝1．] 　 1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．已知函数 f (x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1． (1)求函数 f (x)的单调递增区间； (2)设α∈，求sin α的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 65 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1) f (x)＝2sin x(cos x－sin x)＋1 ＝sin 2x＋cos 2x＝sin ， 令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f (x)的单调递增区间为，k∈Z． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 66 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)因为f ＝sin ，所以sin ， 又α∈，所以α＋∈， 所以cos ， 所以sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．若f (x)＝cos x－sin x在[0，a]上单调递减，则a的最大值是(　　) A． 　B． C． 　D．π √ C　[ f (x)＝cos x－sin x＝cos ． 当x∈[0，a]时，x＋∈，所以结合题意可知，a>0，a＋≤π，即0<a≤，故所求a的最大值是．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 68 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是(　　) A． 　B．－ C． 　D．4 √ B　[y＝2cos x－3sin x＝＝(sin φcos x－cos φsin x)＝其中sin φ＝，cos φ＝．当 sin (φ－x)＝1，即φ－x＝2kπ＋(k∈Z)时，y取到最大值．∴φ＝2kπ＋＋x(k∈Z)，∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－，∴tan x＝－．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 69 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．(多选)已知函数f (x)＝sin 2x＋cos 2x＋1，则(　　) A．f (x)的最小正周期是π B．f (x)的图象关于点对称 C．f 是偶函数 D．f (x)在上恰有4个零点 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 70 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ABD　[ f (x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin ＋1， 对于A，f (x)的最小正周期是＝π，所以A正确； 对于B，因为f ＝2sin ＋1＝1， 所以f (x)的图象关于点对称，所以B正确； 对于C，f ＝2sin ＋1＝＋1， 令g(x)＝f ＝2sin ＋1， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 71 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则g(－x)＝2sin ＋1＝－2sin ＋1≠g(x)， 所以f 不是偶函数，故C错误； 对于D，由f (x)＝2sin ＋1＝0， 得sin ， 所以2x＋＋2kπ，k∈Z，或2x＋＋2kπ，k∈Z， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 72 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 得x＝－＋kπ，k∈Z或x＝＋kπ，k∈Z， 因为x∈，所以x＝－， 所以f (x)在上恰有4个零点，所以D正确．故选ABD．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 73 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 13．设函数 f (x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a为实常数)在区间上的最小值为－4，那么a的值是________． －4　[ f (x)＝2cos2x＋sin 2x＋a ＝1＋cos 2x＋sin 2x＋a ＝2sin ＋a＋1． 当x∈时，2x＋∈， ∴f (x)min＝2×＋a＋1＝－4，∴a＝－4．] －4　 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 74 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．已知函数 f (x)＝2cos ωx·sin ωx＋cos 2ωx，其中ω>0． (1)若函数 f (x)的最小正周期为π，求函数 f (x)在的值域； (2)若 f (x)在区间上单调递增，求ω的最大值，并求ω取最大值时函数y＝f (x)图象的对称轴． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 75 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1) f (x)＝2cos ωx·sin ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin ， 若函数f (x)的最小正周期为π，且ω＞0，则＝π，可得ω＝1， 所以f (x)＝2sin ， 由x∈， 可得2x＋∈， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 76 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 所以sin ∈， 所以2sin ∈[－，2]， 即函数f (x)在上的值域为[－，2]． (2)因为x∈， 所以－， 因为f (x)在区间上单调递增， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 77 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 所以(k∈Z)， 所以(k∈Z)， 又ω>0，所以取k＝0，可得ω≤2， 所以ω的最大值为2， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 78 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 此时f (x)＝2sin ， 令4x＋＝kπ＋，k∈Z， 解得x＝，k∈Z， 所以函数y＝f (x)图象的对称轴为直线x＝，k∈Z． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 79 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．如图，在扇形OPQ中，半径OP＝1，圆心角∠POQ＝，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且OA＝OD． (1)若∠BOP＝α，求线段AB的长； (2)求矩形ABCD面积的最大值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 80 [解]　(1)∵∠POQ＝且OA＝OD， ∴△AOD为等边三角形，∴∠DAO＝， 又四边形ABCD为矩形， ∴∠DAB＝，∴∠BAP＝， 在扇形OPQ中，半径OP＝1， 过点B作OP的垂线，垂足为N， ∴BN＝OB sin α＝sin α， 在Rt△ABN中，AB＝＝2sin α． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 (2)矩形ABCD面积S＝AB·AD， 设∠BOP ＝α，由(1)可知AB＝2sin α， BN＝sin α， ON＝OB cos α＝cos α， AN＝AB cos ＝sin α， ∴OA＝ON－AN＝cos α－sin α， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 ∴S矩形ABCD＝AB·AD＝AB·OA ＝2sin α(cos α－sin α) ＝sin 2α＋cos 2α－＝2sin －， ∵α∈， ∴2α＋∈， ∴当2α＋，即α＝时，矩形ABCD面积有最大值，最大值为2－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　三角恒等变换的应用 $$