第3章 微专题4 与椭圆有关的轨迹问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆轨迹问题，系统讲解直接法、定义法、相关点法三种求轨迹方程的核心方法，通过链接教材原题（如P106例3、P108例2）构建学习支架，帮助学生衔接已有知识，实现从基础到拓展的平稳过渡。 其亮点在于以实例引导学生用数学眼光抽象轨迹特征，如例2通过三角形周长发现椭圆定义的应用，以规范步骤培养数学思维的逻辑性，如直接法中斜率之积的化简过程，通过练习题强化用数学语言表达轨迹方程，如注明x≠0等限制条件。学生能掌握方法并规范表达，教师可利用分层练习提升教学效率。

微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 第三章 圆锥曲线的方程 求轨迹方程的常用方法 (1)直接法 设出曲线上动点的坐标为(x，y)后，可根据几何条件直接转换成x，y间的关系式． (2)定义法 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可用待定系数法求出轨迹方程． 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 (3)相关点法(代入法) 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可求得动点的轨迹方程． 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 类型1　直接法求动点轨迹方程 【例1】　【链接教材P108例3】 设A，B两点的坐标分别为(0，6)，(0，－6)．直线AM，BM相交于点M． (1)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程； (2)若它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程． 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 [解]　(1)设点M的坐标为(x，y)，那么直线AM，BM的斜率分别为和，其中x≠0． 由题意知＝－， 化简得＝1(x≠0)． (2)由(1)知＝－(x≠0)， 化简得＝1(x≠0)． 【教材原题·P108例3】 例3　如图3.1-6，设A，B两点的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－，求点M的轨迹方程． [分析]　设点M的坐标为(x，y)，那么直线AM，BM的斜率就可用含x，y的关系式分别表示．由直线AM，BM的斜率之积是－，可得出x，y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程． 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 [解]　设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标是(－5，0)，所以直线AM的斜率kAM＝(x≠－5)． 同理，直线BM的斜率kBM＝(x≠5)． 由已知，有＝－(x≠±5)， 化简，得点M的轨迹方程为＝1(x≠±5)． 点M的轨迹是除去(－5，0)，(5，0)两点的椭圆． 类型2　定义法求轨迹方程 【例2】　已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18．求这个三角形的顶点A的轨迹方程． [解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 由|BC|＝8可知点B(－4，0)，C(4，0)． 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10＞8＝|BC|， 因此，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆， 这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a＝10，但点A不在x轴上． 由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9． 所以动点A的轨迹方程是＝1(x≠±5)． 类型3　相关点法(代入法)求轨迹方程 【例3】　【链接教材P108例2】 已知椭圆的左焦点为F(－，0)，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为4，点A的坐标是． (1)求该椭圆的标准方程； (2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程． 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 [解]　(1)由题意可知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)， 由题意可得 解得b＝1， 所以椭圆的标准方程为＋y2＝1． (2)设点P(x0，y0)，M(x，y)，则＝1， 由中点坐标公式可得解得 代入＝1，得＝1， 即＋4＝1， 所以线段PA的中点M的轨迹方程为＋4＝1． 【教材原题·P108例2】 例2　如图3.1-5，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合)． [分析]　点P在圆x2＋y2＝4上运动，点P的运动引起点M运动．我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足圆的方程得到点M的坐标所满足的方程． 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 [解]　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则点D的坐标为(x0，0)．由点M是线段PD的中点，得 x＝x0，y＝． 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以＝4． ① 把x0＝x，y0＝2y代入方程①，得x2＋4y2＝4， 即＋y2＝1． 所以点M的轨迹是椭圆． 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 一、选择题 1．(多选)设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝a＋(a＞0)，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 微专题强化练(四)　与椭圆有关的轨迹问题 √ √ 15 BC　[∵F1(0，－3)，F2(0，3)，∴|F1F2|＝6． ∵a＞0，∴|PF1|＋|PF2|＝a＋≥2＝6， 当且仅当a＝，即a＝3时等号成立． 当a＋＝6时，|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|， 此时点P的轨迹是线段F1F2； 当a＋＞6时，|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，此时点P的轨迹是椭圆．故选BC．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 2．设P(x，y)满足＝10，则P点的轨迹方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 17 B　[方程＝10， 表示平面内到定点F1(2，0)，F2(－2，0)的距离的和是常数10(10＞4)的点的轨迹，∴它的轨迹是以F1，F2为焦点，2a＝10，焦距2c＝4的椭圆，∴a＝5，c＝2，b＝＝，∴椭圆的方程是＝1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 18 3．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线交CQ于点M，则M的轨迹方程为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 √ 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 19 D　[圆心C(－1，0)，半径为5，设点M(x，y)， ∵线段AQ的垂直平分线交CQ于点M， ∴|MA|＝|MQ|， ∴|MA|＋|MC|＝|MQ|＋|MC|＝5＞|AC|＝2， 由椭圆的定义可得点M的轨迹是以A，C为焦点的椭圆，且2a＝5，c＝1，∴b＝， 故椭圆方程为＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 20 √ 4．设A1，A2是椭圆＝1与x轴的两个交点，P1，P2是椭圆上垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为(　　) A．＝1(x≠±3) B．＝1(x≠±3) C．＝1(x≠±3) D．＝1(x≠±3) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 21 C　[设直线A1P1与A2P2的交点为P(x，y)，A1(－3，0)，A2(3，0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， ∵A1，P1，P共线， ∴＝， ① ∵A2，P2，P共线， ∴＝． ② ①×②得＝， ③ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 22 ∵P1(x0，y0)在椭圆＝1上， ＝＝， 将代入③得＝＝， ∴点P的轨迹方程为＝1(x≠±3)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 23 5．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为(　　) A．＝1(y>0) B．＝1(y>0) C．＝1(y>0) D．＝1(y>0) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 24 A　[设点M(x0，y0)，则P(x0，2y0)， 又P在曲线C上， 所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)， 即点M的轨迹方程为＝1(y>0)．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 25 二、填空题 6．若动点P(x，y)到点(1，0)的距离与到定直线x＝3的距离之比是，则动点P的轨迹方程是____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ＝1　[由题意得＝， 整理得2x2＋3y2＝6，即＝1， 所以动点P的轨迹方程是＝1．] ＝1 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 26 7．在平面直角坐标系中，已知点A(2，0)，B(－2，0)，P是平面内一动点，直线PA，PB的斜率之积为－，则动点P的轨迹C的方程为________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ＝1(x≠±2)　[设点P的坐标为(x，y)(x≠±2)， 依题意，有＝－，化简并整理，得＝1(x≠±2)． ∴动点P的轨迹C的方程为＝1(x≠±2)．] ＝1(x≠±2) 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 27 8．一动圆过定点A(2，0)，且与定圆B：x2＋4x＋y2－32＝0内切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 ＝1　[圆B的方程化为标准方程为(x＋2)2＋y2＝36， 其圆心为B(－2，0)，半径R＝6． 设动圆圆心M的坐标为(x，y)，半径为r， ＝1 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 28 由题意可知，|MB|＝R－r，又r＝|MA|，所以|MB|＝R－|MA|，故|MB|＋|MA|＝6＞|AB|＝4．由椭圆的定义知，点M的轨迹是以B(－2，0)，A(2，0)为焦点的椭圆．设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，则a＝3，c＝2，b＝＝，所以动圆圆心M的轨迹方程是＝1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 29 三、解答题 9．椭圆＋y2＝1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，求△PF1F2的重心M的轨迹方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 [解]　设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)， ∵在已知椭圆的方程中，a＝3，b＝1， ∴c＝＝2， 微专题强化练 微专题4　与椭圆有关的轨迹问题 30 则已知椭圆的两焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)． ∵△PF1F2存在，∴y1≠0． 由三角形重心坐标公式，得即 ∵y1≠0，∴y≠0．∵点P在椭圆上＝1，∴＋(3y)2＝1(y≠0)， 故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2＋9y2＝1(y≠0)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 31 $$