第7章 培优课9 立体几何中的动态、轨迹问题-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

培优课9　立体几何中的动态、轨迹问题 第七章　立体几何与空间向量 内容索引 培优　随堂演练 2 [例1]　(2025·湖南长沙模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和线段BC1上的动点,则满足与AD1垂直的直线MN(　　) A.有且仅有1条　　　　 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 D 考点一　平行、垂直中的动态问题 [解析]　以D为原点,,,分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,如图, 设正方体棱长为1,M(0,0,a),N(x,1,1-x),则A(1,0,0),D1(0,0,1), 所以=(x,1,1-x-a),=(-1,0,1),若AD1⊥MN,则·=-x+1-x-a=0, 即2x=1-a(0≤x≤1,0≤a≤1),方程有无数组解. 方法总结 动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理,结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹,有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程. 跟踪训练 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA=AB=1,M为空间中一动点,G为PC的中点,PA⊥平面ABCD.若·=0,则点M的轨迹围成的 封闭图形的体积为　　　　.  解析:连接AG,AC(图略).由·=0可知MA⊥MG,即点M在以AG为直径的球面上. 因为底面ABCD为正方形,AB=1,AC=,而G为PC的中点,PA⊥平面ABCD, 则△PAC为直角三角形,所以AG===, 故点M的轨迹围成的封闭图形的体积为×π×=. [例2]　(1)(2025·湖北宜昌模拟)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=3,M是矩形ABCD内(含边界)的动点,且AB=,AD=2,直线PM与平面ABCD所成的角为,则点M的轨迹长度为(　　) A. B.π C.π D. A 考点二　距离、角度有关的动态轨迹问题 [解析]　由于PA⊥平面ABCD,AM⊂平面ABCD,所以PA⊥AM, 则∠PMA是直线PM与平面ABCD所成的角,即∠PMA=, tan===,AM=∈,所以点M的轨迹是以点 A为圆心,半径为的圆在矩形ABCD内的部分,如图, 设圆与BC,AD分别交于E,F两点, BE==,所以∠BAE=,∠EAF=,所以点M的轨迹长为×=. (2)在△ABC中,BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,将△ABC绕AB旋转至△ABP处,使平面ABP⊥平面ABC,则在旋转的过程中,点C的运动轨迹长度至少为(　　) A.π B. C.2π D. A [解析]　如图,延长AB,过点C作CD⊥AB,交AB的延长线于点D, 根据旋转的知识可知PD⊥AB, 由于平面ABP⊥平面ABC,且交线为AB,PD⊂平面ABP, ∴PD⊥平面ABC.又CD⊂平面ABC,∴PD⊥CD. 又BC=,AB=1,tan∠ABC=-2,∴tan∠CBD=2,∠CBD为锐角. ∵=2,PD2+BD2=BC2=5,∴PD=2. 在旋转的过程中,点C的运动轨迹是以点D为圆心,半径为2的圆的,其长度为×π×22=π. 方法总结 距离、角度有关的轨迹问题 1.距离:可转化为在一个平面内的距离关系,借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹. 2.角度:直线与面成定角,可能是圆锥侧面;直线与定直线成等角,可能是圆锥侧面. 跟踪训练 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=,BC=AA1=2,点P满足=m+,其中m∈,则直线AP与平面BCC1B1所成角的最大值为(　　) A. B. C. D. B 解析:如图,分别取BC,B1C1的中点为D,D1,则DD1∥BB1,则DD1⊥平面ABC,连接AD,因为AB=AC,所以AD⊥BC. 以D为坐标原点,DA,DB,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz. 易得AD=,则A(,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0), C1(0,-1,2),从而=(-,-1,0),=(0,2,0),=(0,0,2). 因为=m+=(0,2m,3-2m), 所以=+=(-,2m-1,3-2m). 易知平面BCC1B1的一个法向量是n=(1,0,0),设直线AP与平面BCC1B1所成角为θ,θ∈,则sin θ=|cos<n,>|== =,所以m=1时, sin θ取得最大值,(sin θ)max=,即θ的最大值是. 2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,动点P满足= a+b,且a,b∈(0,1).若直线BP与BD所成的角为,则动点P的轨迹长 为　　　　.  解析:由题可知,BA,BC与BD所成角都为.由=a+b可知,点P在矩形A1ACC1内.若直线BP与BD所成的角为,在线段OO1上取点P1,使OP1=OB,则直线BP1与BD所成的角为,故点P的轨迹是以点O为圆心,半径为r=,且在矩形A1ACC1内的半圆弧所以动点P的轨迹长为πr=. [例3]　已知△ABC的边长都为2,在边AB上任取一点D,沿CD将△BCD折起,使平面BCD⊥平面ACD.在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD,垂足为点P,那么随着点D的变化,点P的轨迹长度为(　　) A. B. C. D.π C 考点三　与翻折有关的动态、轨迹问题 [解析]　由题意,在平面BCD内作BQ⊥CD(图略),交CD于点Q,因为平面BCD⊥平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以BQ⊥平面ACD.又BP⊥平面ACD,所以P,Q两点重合,于是随着点D的变化,BP⊥CD始终成立,可得在平面ABC中,BP⊥CP始终成立,即得点P的轨迹是以BC为直径的圆的一部分,由题意知随着点D的变化,∠BCD的范围为,可得点P的轨迹是以BC为直径(半径为1)的圆的,即得点P的轨迹长度为×2π×1=. 翻折有关的轨迹问题 1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹. 2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹. 3.可以利用空间坐标运算求轨迹. 方法总结 (2025·河南郑州模拟)如图,正方形ABCD的中心为O,边长为4,将其沿对角线AC折成直二面角,设M为AD的中点,N为BC的中点,则三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为(　　)   A.π B.π C.π D.π C 跟踪训练 解析:由题意可得OM=ON=CD=2, 过点M作MP⊥AO于点P,连接PN,MN,取MN的中点H,连接OH(图略), 由二面角D-AC-B为直二面角,故平面DAC⊥平面ACB. 又平面DAC∩平面ACB=AC,MP⊂平面DAC, 故MP⊥平面ACB.又PN⊂平面ACB,故MP⊥PN, 则MP=CD=,CP=CD-CD=3,CN=BC=2, 在△CNP中,利用余弦定理得NP==, 在△MPN中,MN==2, 在△MON中,OM=ON=2,MN=2, 则点O到MN的距离为OH==1. 根据圆锥的定义知:三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体为两个相同圆锥的组合体,故圆锥的半径为OH,所以旋转体的体积为V=π×12×2=π. 培优　随堂演练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,Q是正方形B1BCC1内的动点,A1Q⊥BC1,则点Q的轨迹是(　　) A.点B1 B.线段B1C C.线段B1C1 D.平面B1BCC1 B 解析:如图,连接A1C.   因为BC1⊥A1Q,BC1⊥A1B1,A1Q∩A1B1=A1,A1Q,A1B1⊂平面A1B1Q, 所以BC1⊥平面A1B1Q.又B1Q⊂平面A1B1Q,所以BC1⊥B1Q.又BC1⊥B1C,所以点Q在线段B1C上. 2.如图,在梯形ABCD中AB∥CD,四边形A'B'C'D'是梯形ABCD在平面α内的投影(AA'∥BB'∥CC'∥DD'),则对四边形A'B'C'D'的判断正确的是(　　)   A.可能是平行四边形不可能是梯形 B.可能是任意四边形 C.可能是平行四边形也可能是梯形 D.只可能是梯形 D 解析:由题意,∵AA'∥BB'∥CC'∥DD',∴AA'与BB'确定平面AA'B'B, CC'与DD'确定平面CC'D'D, AA'⊄平面CC'D'D,DD'⊂平面CC'D'D,∴AA'∥平面CC'D'D. 又在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊄平面CC'D'D,CD⊂平面CC'D'D,∴AB∥平面CC'D'D.又AA'∩AB=A,AA'⊂平面AA'B'B,AB⊂平面AA'B'B, ∴平面AA'B'B∥平面CC'D'D.易知平面AA'B'B∩α=A'B', 平面CC'D'D∩α=C'D',∴A'B'∥C'D'.在平面ABCD中,AB与CD长度不相等,BC,AD必然会相交于一点,则平面BB'C'C与平面AA'D'D相交,B'C',A'D'必然会相交于一点, 则四边形A'B'C'D'只可能是梯形. 3.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1内的动点,且MN∥平面ABC1,则点N的轨迹的长度为(　　) A. B.2 C. D.4 B 解析:如图,取B1C1的中点D,取BB1的中点E,连接MD,DE,ME,则DE∥BC1. 又DE⊄平面ABC1,BC1⊂平面ABC1,所以DE∥平面ABC1.又M为A1C1的中点, 所以MD∥A1B1∥AB.又MD⊄平面ABC1, AB⊂平面ABC1,所以MD∥平面ABC1. 又DE∩MD=D,DE⊂平面DEM,MD⊂平面DEM, 所以平面DEM∥平面ABC1. 又因为N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1, 所以点N的轨迹为线段DE,DE=×=2,所以点N的轨迹的长度为2. 4.已知球O是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,M是棱AA1的中点,P是球O的球面上的任意一点,MP⊥CD1,则动点P的轨迹长度为 (　　) A.3π B.π C.2π D.π D 解析:由正方体性质易得CD1⊥平面ADC1B1,且内切球半径R=1, 分别取A1B1,D1C1,DD1的中点N,E,F,易知平面MNEF∥平面ADC1B1, 故CD1⊥平面MNEF,则点P的轨迹为平面MNEF与内切球的交线,即为截面圆的周长, 易知球心O∈平面ADC1B1,则O到平面MNEF的距离即为平面MNEF与平面ADC1B1的距离d==,故截面圆的半径为r===,故P的轨迹长度为2πr=π. 5.边长都是为1的正方形ABCD和正方形ABEF所在的两个半平面所成的二面角为,P,Q分别是对角线AC,BF上的动点,且AP=FQ,则线段PQ的取值范围是(　　) A. B. C. D. D 解析:设AP=FQ=x(0≤x≤),则PC=BQ=-x,由题意,P,Q在AB上的投影是同一点,设为H,连接QH,PH, 则∠QHP为平面ABCD和平面ABEF所在的两个半平面所成的二面角的平面角, 则∠QHP=,由△APH∽△ACB,可得PH=,由△BQH∽△BFA,可得QH=, 在△PQH中,由余弦定理可得 PQ2=+-2×××=.因为0≤x≤,所以PQ2∈,则PQ∈. 6.(多选)在棱长为2的正方体OBCD-O1B1C1D1中,E为O1B1的中点,以O为原点,OB,OD,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.若该正方体内一动点P(x,y,z)满足则(　　) A.点P的轨迹长为2π B.·的最小值为8-2 C.EP⊥BC1 D.三棱锥O-PCD体积的最小值为 BC 解析:对于A:由(x-1)2+y2+(z-2)2=1可知,点P在以E为球心,1为半径的球上,如图1. 又由y+z-2=0可知,点P在平面CDO1B1上,所以点P为球面与平面的交线, 如图2所示,在矩形CDO1B1中,以E为圆心,1为半径的半圆, 所以点P的轨迹长为π,故A错误; 对于B:由投影法可得,当点P在CB1上投影最小时,·的值最小,此时点P位于半圆弧中点,投影长为2-1,所以·≥2(2-1)=8-2,故B正确; 对于C:因为BC1⊥平面CDO1B1,EP⊂平面CDO1B1,所以EP⊥BC1,故C正确; 对于D:因为BC1⊥平面CDO1B1,所以点O到平面CDO1B1的距离为BC1=,则VO-PCD=S△PCD,由图2可知当点P位于半圆弧中点时,△PCD的面积最小为×2×(2-1)=2-1,所以VO-PCD=S△PCD≥(2-1)=,故D错误. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=4,AD=2,P为侧面ABB1A1内一动点,且满足C1P∥平面ACD1,则C1P的最小值为　　　　,此时点P到直线 A1C1的距离为　　　　.  2 解析:如图所示,因为AB∥C1D1且AB=C1D1,故四边形ABC1D1为平行四边形,则BC1∥AD1. 因为BC1⊄平面ACD1,AD1⊂平面ACD1,所以BC1∥平面ACD1, 同理可证A1B∥平面ACD1.因为A1B∩BC1=B,A1B,BC1⊂平面A1BC1, 所以平面A1BC1∥平面ACD1.因为P∈平面AA1B1B,要使得C1P∥平面ACD1, 则C1P⊂平面A1BC1.因为平面AA1B1B∩平面A1BC1=A1B, 故点P的轨迹为线段A1B,当C1P取最小值时,C1P⊥A1B,则P为A1B的中点, 则C1P===2. 以D为原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 易知A1(2,0,4),C1(0,4,4),P(2,2,2),=(-2,4,0),=(0,2,-2), 取a==(0,2,-2),u==(-1,2,0),则a2=8,a·u=, 所以点P到直线A1C1的距离为=. 8.如图所示,在△ABC中,AC⊥BC,AC=2,BC=4,E,F分别是AB,BC边上的点,EF∥AC,将△BEF沿EF折起,点B折起后的位置记为点P,得到四棱锥 P-ACFE,则四棱锥P-ACFE体积的最大值为　　　　.  解析:当底面ACFE的面积一定时,且平面ABC⊥平面PEF,四棱锥的体积最大. 因为EF∥AC且AC⊥BC,可得EF⊥BC,即EF⊥PF. 又因为平面ABC∩平面PEF=EF,且PF⊂平面PEF,所以PF⊥平面ABC, 即PF⊥平面ABC时,四棱锥P-ACFE的体积最大. 设BF=x,即PF=x,则FC=4-x,EF=x,0<x<4, 可得VP-ACFE=×××(4-x)×x=-x3+x, 令V(x)=-x3+x,x∈(0,4),则V'(x)=-x2+, 令V'(x)=0,解得x=或x=-(舍), 当x∈时,V'(x)>0,函数V(x)单调递增; 当x∈时,V'(x)<0,函数V(x)单调递减, 所以当x=时,函数V(x)取得最大值, 即四棱锥P-ACFE体积的最大值为VP-ACFE=-×+×=. $$