第7章 滚动检测(7)-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

滚动检测(七) 第七章　立体几何与空间向量 一、单项选择题 1.若集合A=,B=,则A∩B=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析:依题意得A=={x|0≤x≤4},则A∩B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 2.已知复数z满足(1+i)z=2i,则||=(　　) A. B.1 C. D.2 解析:由已知条件,z===1+i,共轭复数=1-i,所以||=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 3.已知等差数列的前n项和为Sn,且S13=91,则a4+a6+a11的值为(　　) A.24 B.21 C.16 D.14 解析:由S13==13a7=91,解得a7=7,所以a4+a6+a11=a6+a7+a8=3a7=21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 18 4.已知平面向量a=(1,m),b=(2,-2m),则下列结论一定错误的是(　　) A.a∥b B.a⊥b C.|b|=2|a| D.a-b=(1,-3m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 18 解析:对于A:若a∥b,则1×(-2m)=2m,解得m=0,故A正确; 对于B:若a⊥b,则a·b=1×2-2m2=0,解得m=±1,故B正确; 对于C:因为|a|=,|b|===2,显然|b|=2|a|,故C正确; 对于D:a-b=(1,m)-(2,-2m)=(-1,3m),故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.有一圆锥形建筑,底面直径为8 m,高为30 m,则该建筑的侧面积为(　　) A.160π m2 B.4π m2 C.8π m2 D.240π m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 解析:如图,由题底面直径AB=8 m,高AO=30 m,   所以底面半径r=OC=4 m,母线长l=AB==2(m). 所以圆锥的侧面积为πrl=8π m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过函数f(x)=x+图象的对称中心,则+的最小值为(　　) A.9 B.8 C.6 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 解析:因为y=x+为奇函数,所以函数图象关于(0,0)中心对称,函数图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位可得函数f(x)=x+的图象,所以f(x)的对称中心为(1,1),所以a+b=1,所以+=(a+b)=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即a=2b=时,等号成立,所以+的最小值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.已知sin(α-β)=2cos(α+β),tan(α-β)=,则tan α-tan β=(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 18 解析:sin(α-β)=2cos(α+β),所以sin αcos β-cos αsin β= 2(cos αcos β-sin αsin β),两边同除cos αcos β,得到 tan α-tan β=2-2tan αtan β,即tan αtan β=1-. tan(α-β)===,∴tan α-tan β=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.已知正方形ABCD的顶点均在表面积为4π的球O的球面上,则当四棱锥O -ABCD的体积取得最大值时,点O到平面ABCD的距离为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 18 解析:设正方形ABCD的中心为E,连接OE,由球的性质可知OE⊥平面ABCD. 设球O的半径为R,所以4πR2=4π,解得R=1.设正方形ABCD的边长为x, 因为正方形ABCD的顶点均在表面积为4π的球O的球面上,且不在大圆上,所以x∈(0,),所以OE===, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以四棱锥O -ABCD的体积为V=S四边形ABCD·OE=x2·.令x2=t∈(0,2),则V=t·= ,令y=t2-t3,则y'=2t-t2,令y'=2t-t2=t=0,解得t=0或t=, 所以当t∈时,y'=2t-t2>0,y=t2-t3在上单调递增, 当t∈时,y'=2t-t2<0,y=t2-t3在上单调递减, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 所以当t=时,y=t2-t3有最大值ymax=-×=, 所以V=≤=,当且仅当x=时等号成立, 此时OE==,即点O到平面ABCD的距离为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 二、多项选择题 9.已知函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x,则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的值域为[-2-,2-] B.f(x)的对称中心为,k∈Z C.f(x)在上的单调递减区间为 D.f(x)在上的极值点个数为1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 AD 解析:f(x)=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-=2sin-. 对于A:由sin∈[-1,1],则f(x)∈[-2-,2- ],故A正确; 对于B:令2x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z, 故f(x)的对称中心为,k∈Z,故B错误; 对于C:令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 则f(x)在上的单调递减区间为,故C错误; 对于D:令2x-=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,则f(x)在上的极值点只有x=一个,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.已知函数f(x)的定义域为R,且f≠0,若f(x+y)+2f(x)f(y)=2xy, 则(　 　) A.f=-1 B.f=0 C.f为减函数 D.f为奇函数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ABD 解析:当x=0,y=-时,f+2f(0)f=0,f[1+2f(0)]=0, 而f≠0,∴f(0)=-,当x=-,y=时,f(0)+2ff=-, ∴ff=0,∴f=0,故B正确; 令y=,f+2ff(x)=2·x=x,f=x,令x=-1,f=-1,故A正确;f=x,是奇函数,故D正确;令x=t-1,则f=t-1,为增函数,故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=2,AA1=4,D,E分别是BC,AC1的中点,则下列判断正确的是(　 　) A.A1B∥平面AC1D B.异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 C.A1D⊥BC D.四面体B1-C1DE的体积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ACD 解析:A选项,如图,连接DE,A1C,因为图形为直三棱柱,则E为A1C的中点,DE为三角形A1BC的中位线,故A1B∥DE, 又A1B⊄平面AC1D,DE⊂平面AC1D,则A1B∥平面AC1D,故A正确; B选项,由A选项可知A1B∥DE,则异面直线A1B与C1D所成角可转化为DE与C1D的夹角,又由题意可得BC==2,BA1=AC1==2, DC1==3,DE=EC1=AC1=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 则异面直线A1B与C1D所成角θ的余弦值为cos θ=|cos∠C1DE|= ==,故B错误; C选项,由题意可得A1B=A1C=2,又D为BC的中点, 则由等腰三角形三线合一定理可知A1D⊥BC,故C正确; D选项,取B1C1的中点为F,连接A1F,由题意可得A1F⊥B1C1, CC1⊥平面A1B1C1, 则A1F⊥CC1,又B1C1,CC1⊂平面BB1C1C,B1C1∩CC1=C1, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 则A1F⊥平面BB1C1C,即点A1到平面BB1C1C的距离为A1F=B1C1=. 又E为A1C的中点,则点E到平面BB1C1C距离hE为点A1到平面BB1C1C距离的一半,即为. 则==·hE= ××2×4×=,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 三、填空题 12.已知b>0,函数f(x)=是奇函数,则a+b=　　　　.  解析:因为函数的定义域为R且f(x)=是奇函数,所以f(0)=0, 所以a=-1, 所以f(x)==2(2b-1)x-2-x,由f(-1)=-f(1)知21-2b-2=-22b-1+, 即21-2b+22b-1=.又因为b>0,所以2b-1=1,b=1,把b=1代入f(x)=2(2b-1)x-2-x= 2x-2-x,满足题意,所以a+b=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 13.已知等比数列满足:a2<|an|<a1(n=3,4,5,…),请写出符合上述条件的一个等比数列的通项公式:　　　　.  解析:设等比数列的公比为q,由a2<|an|<a1,n=3,4,5,…,得a1>0, 显然a2<|a3|,即a1q<|a1q2|<a1,于是q<q2<1,解得-1<q<0,an=a1qn-1,满足a2<|an|<a1,n=3,4,5,…,取a1=1,q=-,an=. 答案:an=(答案不唯一,an=a1qn-1(a1>0,-1<q<0)) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 18 14.如图,已知△OAB为直角三角形(O为直角),分别连接点B与线段OA的n等分点A1,A2,…,An-1得到n个三角形依次为△1,△2,…,△n,将△OAB绕着OB所在直线旋转一周,记△1,△2,…,△n旋转得到的几何体的体积依次为V1,V2,…,Vn,若V1=1,Vn=49,则△OAB旋转得到的几何体的体积V=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 625 解析:设OA=a,OB=b,则V1=πb==1,① Vn=V圆锥B-OA-Vn-1=πa2b-πb=πba2=πba2=49,② 得n=25,所以V1=×=1,可得πba2=1 875,则△OAB旋转得到的几何体的体积V=πa2b=×1 875=625. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 四、解答题 15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a(sin B+cos B)=c. (1)求A; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18   解:因为a(sin B+cos B)=c, 所以sin A(sin B+cos B)=sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 整理得sin B(sin A-cos A)=0. 因为A,B∈(0,π),所以sin A-cos A=0,则A=. (2)若c=,a=,D为BC的中点,求AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解: 因为c=,a=, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos,即5=b2+2-2b,解得b=3或b=-1(舍去). 又因为D为BC的中点,所以=(+), 则=(+2·+)= ==,所以|AD|=. 16.已知函数f(x)=a(x2-ln x). (1)若a≠0,讨论f(x)的单调性; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解:依题意,x∈(0,+∞),f'(x)=a=a·, 令f'(x)=0,解得x=. 若a>0,则当x∈时,f'(x)<0,当x∈时,f'(x)>0, 则f(x)在上单调递减,在上单调递增; 若a<0,则当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0, 则f(x)在上单调递增,在上单调递减. 综上所述,若a>0,f(x)在上单调递减,在上单调递增;若a<0,f(x)在上单调递增,在上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线x+y-2=0垂直,证明:f(x)≥x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 证明:由(1)可知,f'(1)=a,而f'(1)·(-1)=-1,解得a=1. 令h(x)=f(x)-x=x2-ln x-x,x∈(0,+∞), 故h'(x)=2x--1= =, 则当x∈(0,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增, 故h(x)min=h(1)=0,即h(x)≥0,故f(x)≥x. 17.已知正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为3,PD1=A1D1,QC1=C1D1,M为线段BD上的动点,M'是点M关于AD所在直线的对称点. (1)求证:MB1⊥PQ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 证明:连接A1C1,B1D1. 由QC1=C1D1,得QD1=C1D1.又PD1=A1D1,则有PQ∥A1C1. 在正方体ABCD -A1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,得BB1⊥A1C1. 又在正方形A1B1C1D1中,B1D1⊥A1C1, BB1∩B1D1=B1,BB1,B1D1⊂平面BB1D1D,∴A1C1⊥平面BB1D1D, 由MB1⊂平面BB1D1D,得A1C1⊥MB1. 又PQ∥A1C1,∴PQ⊥MB1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (2)求三棱锥Q -PMB1的体积; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解:D1P=D1Q=1,PQ==, A1B1=C1B1,A1P=C1Q,Rt△A1B1P≌Rt△C1B1Q, B1P2=B1Q2=A1P2+A1=22+32=13,有B1P=B1Q=, =PQ·=××=, ∴==×3×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (3)当BM=2DM时,求二面角M'-PQ-M的余弦值的绝对值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解:如图所示,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 则D(0,0,0),A(3,0,0),P(1,0,3),Q(0,1,3), 当BM=2DM时,有M(1,1,0),则M'(1,-1,0), =(-1,1,0),=(1,-2,-3), =(0,1,-3). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 设m=(x1,y1,z1)为平面QPM'的法向量,∴ 令x1=3,得y1=3,z1=-1,可得m=(3,3,-1). 设n=(x2,y2,z2)为平面QPM的法向量,∴ 令x2=3,得y2=3,z2=1,可得n=(3,3,1). 设二面角M'-PQ -M为θ, ∴|cos θ|===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 18.定义:函数f(x)满足对于任意不同的x1,x2∈[a,b],都有|f(x1)-f(x2)|<k|x1-x2|,则称f(x)为[a,b]上的“k类函数”. (1)若f(x)=+1,判断f(x)是否为[1,3]上的“2类函数”; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解:对于任意不同的x1,x2∈[1,3],不妨设x1<x2,即1≤x1<x2≤3, 则|f(x1)-f(x2)|==|x1-x2|<2|x1-x2|, 所以f(x)为[1,3]上的“2类函数”. (2)若f(x)=a(x-1)ex--xln x为[1,e]上的“3类函数”,求实数a的取值范围; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 解:因为f(x)为[1,e]上的“3类函数”, 对于任意不同的x1,x2∈[1,e],不妨设x1<x2, 则|f(x1)-f(x2)|<3|x1-x2|=3(x2-x1)恒成立, 可得3x1-3x2<f(x1)-f(x2)<3x2-3x1, 即f(x1)+3x1<f(x2)+3x2,f(x2)-3x2<f(x1)-3x1均恒成立, 构建g(x)=f(x)+3x,x∈[1,e],则g'(x)=f'(x)+3, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 由f(x1)+3x1<f(x2)+3x2可知g(x)在[1,e]内单调递增, 可知g'(x)=f'(x)+3≥0在[1,e]内恒成立,即f'(x)≥-3在[1,e]内恒成立; 同理可得:f'(x)≤3在[1,e]内恒成立, 即-3≤f'(x)≤3在[1,e]内恒成立. 又因为f'(x)=axex-x-1-ln x,即-3≤axex-x-1-ln x≤3, 整理得≤a≤,可得≤a≤, 即≤a≤在[1,e]内恒成立, 令t=x+ln x, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 因为y=x,y=ln x在[1,e]内单调递增,则t=x+ln x在[1,e]内单调递增, 当x=1时,t=1;当x=e时,t=e+1,可知t=x+ln x∈[1,e+1], 可得≤a≤在[1,e+1]内恒成立, 构建F(t)=,t∈[1,e+1],则F'(t)=, 当1≤t<3时,F'(t)>0;当3<t≤e+1时,F'(t)<0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 可知F(t)在[1,3)内单调递增,在(3,e+1]内单调递减,则F(t)≤F(3)=, 构建G(t)=,t∈[1,e+1],则G'(t)=<0在[1,e+1]内恒成立, 可知G(t)在[1,e+1]内单调递减,则G(t)≥G(e+1)=, 可得≤a≤,所以实数a的取值范围为. (3)若f(x)为[1,2]上的“2类函数”,且f(1)=f(2),证明:∀x1,x2∈[1,2],|f(x1)-f(x2)|<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 证明:①当x1=x2时,可得|f(x1)-f(x2)|=0<1,符合题意; ②当x1≠x2时,因为f(x)为[1,2]上的“2类函数”,不妨设1≤x1<x2≤2, (ⅰ)若0<x2-x1≤,则|f(x1)-f(x2)|<2|x1-x2|≤1; (ⅱ)若<x2-x1≤1,则|f(x1)-f(x2)|=|f(x1)-f(1)+f(1)-f(x2)|=|f(x1)-f(1)+f(2)-f(x2)| ≤|f(x1)-f(1)|+|f(2)-f(x2)|≤2(x1-1)+2(2-x2)=2-2(x2-x1)<1. 综上所述,∀x1,x2∈[1,2],|f(x1)-f(x2)|<1. $$