3.3.2 第2课时 抛物线的标准方程及性质的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线标准方程及性质的应用，核心涵盖直线与抛物线的位置关系、弦长计算及中点弦问题。课堂导入通过“问题初探”结合椭圆、双曲线与直线位置关系的已有知识，搭建类比学习支架，引导学生预习思考，构建知识脉络。 其亮点在于“探究-典例-反思-应用”闭环设计，通过分类讨论直线斜率情况培养逻辑推理，多解法（点差法、传统法）提升数学运算能力，阅读材料拓展圆锥曲线几何背景增强直观想象。学生能深化理解，教师可高效开展教学。

第三章 圆锥曲线的方程 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 [学习目标]　 1．了解抛物线的简单应用．(逻辑推理、数学运算) 2．掌握直线与抛物线的位置关系及相关问题．(直观想象、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．直线与抛物线的位置关系有哪几种？ 问题2．当直线与抛物线相交于两个点时，如何求相交弦的弦长？ 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 探究建构 关键能力达成 探究1　直线与抛物线的位置关系 问题1　类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系． [提示]　如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [新知生成] 直线与抛物线有三种位置关系：____、____和____． 设直线y＝kx＋m，抛物线y2＝2px(p＞0)，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0． 相离 相切 相交 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 (1)k＝0时，直线与抛物线只有__个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． (2)k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线____⇔有__个公共点． Δ＝0⇔直线与抛物线____⇔只有__个公共点． Δ＜0⇔直线与抛物线____⇔____公共点． 一 相交 两 相切 一 相离 没有 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 【教用·微提醒】　(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． (2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)已知抛物线C：y2＝2x，直线l过定点(0，－2)．讨论直线l与抛物线的公共点的情况． [解]　(Ⅰ)若直线l的斜率存在，记为k．又直线过定点(0，－2)，可设直线l的方程为y＝kx－2． ① 由方程组 ② 消去y，并整理得 k2x2－(4k＋2)x＋4＝0． ③ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 (1)当k＝0时，由方程③得x＝2．代入方程①，得y＝－2． 这时，直线l与抛物线只有一个公共点(2，－2)． (2)当k≠0时，方程③的判别式 Δ＝[－(4k＋2)]2－4·k2·4＝16k＋4． 若Δ>0，解得k>－． 于是，当k>－，且k≠0时，方程③有两个不相等的实数解，从而方程组②有两组实数解．这时，直线l与抛物线相交，有两个公共点． 若Δ＝0，解得k＝－． 于是，当k＝－时，方程③有两个相等的实数解，从而方程组②只有一组实数解．这时，直线l与抛物线有一个公共点． 若Δ<0，解得k<－． 于是，当k<－时，方程③无实数解，从而方程组②无实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点． (Ⅱ)若直线l的斜率不存在，这时直线l即y轴所在直线，它与抛物线y2＝2x相切，即有一个公共点． 综上可得： 当k＝0，或k＝－，或直线的斜率不存在时，直线l与抛物线只有一个公共点； 当k>－，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点； 当k<－时，直线l与抛物线没有公共点． 反思领悟　判断直线与抛物线的位置关系的方法：联立方程组消元，当二次项系数不等于零时，用判别式Δ来判定；当二次项系数等于零时，直线与抛物线相交于一点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [学以致用]　【链接教材P139习题3.3T12】 1．已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是____________． [－1，1] [－1，1]　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y并整理，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意； 当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1．因此直线l的斜率的取值范围是[－1，1]．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 【教材原题·P139习题3.3T12】 已知抛物线的方程为y2＝4x，点P(－2，1)在直线l上，直线l绕点P旋转，讨论直线l与抛物线y2＝4x的公共点个数，并回答下列问题： (1)画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？ (2)y2＝4x与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [解]　(1)图略；直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点时，直线l与抛物线相切，或平行于抛物线的对称轴． (2)方程组解的个数与公共点的个数相等． 讨论直线l的方程与抛物线y2＝4x的方程联立组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的公共点个数． 若直线l有斜率k，设l的方程为y－1＝k(x＋2)． 由方程组可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0．① (Ⅰ)当k＝0时，由方程①得y＝1．把y＝1代入y2＝4x，得x＝． 从而方程组只有一组实数解这时， 直线l与抛物线只有一个公共点． (Ⅱ)当k≠0时，方程①的根的判别式Δ＝－16·(2k2＋k－1)． (ⅰ)由Δ＝0，即2k2＋k－1＝0，解得k＝－1，或k＝．于是，当k＝－1，或k＝时，方程①有两个相等的实数根，从而方程组只有一组实 数解．这时，直线l与抛物线只有一个公共点． (ⅱ)由Δ＞0，即2k2＋k－1＜0，解得－1＜k＜．于是，当－1＜k＜，且k≠0时，方程①有两个不等的实数根，从而方程组 有两组实数解．这时，直线l与抛物线有两个公共点． (ⅲ)由Δ＜0，即2k2＋k－1＞0，解得k＜－1，或k＞．于是，当k＜－1，或k＞时，方程①没有实数根，从而方程组没有实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点． 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－2，从而方程组没有实数解．这时，直线l与抛物线没有公共点． 综上可得：当k＝－1，或k＝，或k＝0时，直线l与抛物线只有一个公共点；当－1＜k＜，且k≠0时，直线l与抛物线有两个公共点；当k＜－1，或k＞，或l的斜率不存在时，直线l与抛物线没有公共点． 探究2　弦长问题 [典例讲评]　2．已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x． (1)若直线l与抛物线C相切，求实数b的值； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且|AB|＝8，求直线l的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [解]　(1)已知直线l：y＝x＋b与抛物线C：y2＝4x， 联立消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0， ∵直线l与抛物线C相切，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝16－16b＝0， 即b＝1． (2)联立消去y得x2＋(2b－4)x＋b2＝0， 由Δ＝(2b－4)2－4b2＝16－16b＞0，可得b＜1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4－2b，x1x2＝b2， ∵|AB|＝8， 且|AB|＝， ∴8＝＝4⇒1－b＝2⇒b＝－1， 又b＝－1满足b＜1，即直线l的方程为y＝x－1． 发现规律　试完成下列求弦长问题的方法 斜率为k的直线和抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点时， (1)对斜率存在的直线才能使用弦长公式，斜率不存在的直线|AB|＝|y1－y2|．弦长公式：|AB|＝|x1－x2|＝或 |AB|＝|y1－y2|＝． (2)当直线经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点时，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (θ为直线的倾斜角)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [学以致用]　2．已知抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x＋t与抛物线W相交于A，B两点． (1)将|AB|表示为t的函数； (2)若|AB|＝3，求△AFB的周长． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [解]　(1)联立直线与抛物线的方程可得消去y整理得4x2＋4(t－1)x＋t2＝0，Δ＝16t2－32t＋16－16t2＝16－32t＞0，t＜． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 所以|AB|＝＝＝． (2)由|AB|＝3，可得＝3，解得t＝－4． 经检验，此时Δ＝16－32t＞0， 所以x1＋x2＝1－t＝5． 由抛物线的定义，有|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝5＋2＝7．又|AB|＝3，所以△AFB的周长为7＋3． 探究3　抛物线的中点弦问题 [典例讲评]　3．过点P(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，弦AB恰被点P平分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度． [解]　法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＝＝8x2， 两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)． ∵P是AB的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2， 则kAB＝＝＝4， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 ∴所求直线AB的方程为y－1＝4(x－4)， 即4x－y－15＝0． 由消去x并整理得y2－2y－30＝0，Δ＝124＞0， 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30． 由弦长公式得|AB|＝|y1－y2|＝＝． 法二：由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0． 设AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1(k≠0)， 由消去x并整理得ky2－8y－32k＋8＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝， ∵P是AB的中点， ∴＝1，∴＝2，∴k＝4． ∴所求直线AB的方程为4x－y－15＝0． 由消去x并整理得y2－2y－30＝0， 则y1＋y2＝2，y1y2＝－30， 由弦长公式得|AB|＝|y1－y2| ＝＝． 反思领悟　解决中点弦问题的常用方法 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 [学以致用]　3．斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝9相切于点M，且M为线段AB的中点，则k＝(　　) A．±　　　　　　 B．± C．± D．± √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则＝＝4x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， 则k＝＝＝． 设圆心C(5，0)，则kCM＝，直线l与圆C相切，切点为M，所以＝－1，解得x0＝3，将x0＝3代入(x－5)2＋y2＝9，得y0＝±，所以k＝＝±．故选A．] 应用迁移 随堂评估自测 1．已知直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，则直线l与抛物线的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 D　[当直线l与y轴平行或重合时，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点，此时直线l与抛物线相交；当直线l的斜率存在，直线l与抛物线x2＝2py(p>0)只有一个公共点时，直线l与抛物线相切．故选D．] 2．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝________． 0　[因为抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称，直线x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0．] 0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 3．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为________． 2　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB的斜率为－2，且过点(1，0)，得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，与抛物线方程y2＝8x联立，整理，消去y得x2－4x＋1＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|AB|＝＝＝2．] 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 1．知识链：     2．方法链：数形结合法、设而不求、整体代换． 3．警示牌：(1)在设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况．(2)直线与抛物线有一个公共点，易忽略直线与抛物线的对称轴重合或平行的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．直线与抛物线有几种位置关系？如何判断？ [提示]　设直线l：y＝kx＋b，抛物线：y2＝2px(p＞0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0． ①若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． ②若k≠0，当Δ＞0时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点； 当Δ＜0时，直线与抛物线相离，无公共点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 2．求弦长问题有哪几种方法？ [提示]　(1) 一般弦长：|AB|＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|． (2)焦点弦长：在抛物线y2＝2px(p＞0)中，设过焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p． 3．只要是弦中点问题，就可以应用“点差法”吗？ [提示]　不一定．应用“点差法”的前提是知道中点坐标或直线的斜率． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 圆锥的截线 如图所示，空间中的两条相交直线l，m(交点为S，夹角为锐角θ)绕直线l旋转一周形成圆锥面．其中，S称为圆锥面的顶点，l称为圆锥面的轴，圆锥面上过点S的任意一条直线都称为圆锥面的母线． 用一个不经过点S的平面β去截这个圆锥面，随着平面β与轴l所成角α的不同，截线的形状也随之变化(如图所示)． 阅读材料 拓展数学视野 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 (1)当α＝，即平面β与轴l垂直时，截线是圆． (2)当θ<α<时，截线是椭圆． (3)当α＝θ时，截线是抛物线． (4)当0<α<θ时，截线是双曲线． 圆、椭圆、抛物线、双曲线都可以由平面截圆锥面得到，因此把它们统称为圆锥曲线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则(　　) A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点 C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点 课时分层作业(三十四)　抛物线的标准方程及性质的应用 √ 42 C　[∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过点(1，0)． 又点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部， ∴当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知抛物线C：y2＝4x，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为(　　) A．y＝2x－3 B．y＝3x－5 C．y＝x－3 D．y＝x－1 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 44 A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝＝4x2， 两式相减可得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)， 又y1＋y2＝2，则＝＝2， 即直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 45 3．已知抛物线y2＝4x，则抛物线上一点P到直线x－y＋5＝0的最小距离为(　　) A．2 B．4 C． D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 46 A　[根据题意可知，当平行于x－y＋5＝0的直线与抛物线相切，并且P为切点时，P点到直线x－y＋5＝0的距离最小，如图所示， 设切线方程为x－y＋m＝0，y＝x＋m， 联立消去x得y2－4y＋4m＝0， Δ＝16－16m＝0，解得m＝1， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 因此所以点P(1，2)， 因此点P到直线x－y＋5＝0的最小距离d＝＝2． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 4．已知O为坐标原点，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与E交于A，B两点，若S△OAB＝，则线段AB的中点的横坐标为 (　　) A．3 B．4 C．5 D．6 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 49 B　[如图所示，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，其坐标为(1，0)，由题意知直线l的斜率不为0， 直线l过点F(1，0)，设l：x＝ty＋1，联立抛物线方程得y2－4ty－4＝0，显然Δ＞0， 所以yA＋yB＝4t，yAyB＝－4，则|yA－yB| ＝＝4， 所以S△OAB＝|OF||yA－yB|＝2＝，可得t2＝， 又xA＋xB＝t(yA＋yB)＋2＝4t2＋2＝8，故线段AB中点的横坐标为4．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 5．(多选)已知抛物线C：y2＝4x，点M(－2，0)，P(2，0)，过点P的直线l交抛物线C于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，下列说法正确的有(　　) A．y1y2＝－8 B．|AB|的最小值为4 C．以AB为直径的圆过原点 D．∠AMP＝∠BMP √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 51 ABD　[对于A，由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋2， 联立消去x并整理得y2－4my－8＝0，Δ＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，故A正确； 对于B，|AB|＝＝＝4＝4≥4，当且仅当m＝0时等号成立，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 对于C，如果以AB为直径的圆过原点，则⊥． 由于＝(x1，y1)，＝(x2，y2)， 则＝x1x2＋y1y2＝(my1＋2)(my2＋2)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝－8(m2＋1)＋8m2＋4＝－4≠0，不垂直，故C不正确； 对于D，kAM＋kBM＝＝＝＝，＝＝0，即∠AMP＝∠BMP，故D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 二、填空题 6．已知O为坐标原点，直线y＝x－2与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，则△AOB的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y得x2－6x＋4＝0，Δ＞0，所以x1＋x2＝6，x1x2＝4， 所以|AB|＝＝＝2， 因为点O到直线y＝x－2的距离d＝＝，所以S△AOB＝×2＝2．] 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 54 7．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点A(5，4)射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则|BC|＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 55 　[因为抛物线的方程为y2＝4x，可知焦点F(1，0)， 过A(5，4)平行于对称轴的入射光线为y＝4，代入抛物线的方程可得B(4，4)， 由题意可知反射光线为BF，可得kBF＝＝，所以直线BF的方程为x＝y＋1， 联立消去x并整理得y2－3y－4＝0， 可得y＝4或y＝－1，将y＝－1代入抛物线的方程可得x＝， 即B(4，4)，C， 可得|BC|＝＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 8．物理学中的凸凹透镜的表面一般都是抛物面(抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面)，由我国天文学家南仁东先生1994年提出构想，2016年9月25日落成，2020年1月11日投入正式运行的“中国天眼”——500 m口径球面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面(如图甲)，若其上边缘一点P距离底部的落差约为156.25 m，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线的一部分，放入如图乙所示的平面直角坐标系内．一条平行于对称轴的光线射到Q点，经抛物面反射后经过焦点射到P点，则△OPQ的面积为________m2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 20 500 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 57 20 500　[设抛物线方程为x2＝2py(p＞0)，由题意可得P(250，156.25)， 将点P的坐标代入抛物线方程可得p＝200，即抛物线方程为x2＝400y， 则抛物线的焦点坐标为F(0，100)，直线PF的斜率为＝， 即直线PF的方程为y＝x＋100，联立 消去y可得x2－90x－40 000＝0，则(x－250)(x＋160)＝0，即x＝250或x＝－160， 则△OPQ的面积为×|OF|×[250－(－160)]＝×100×410＝20 500(m2)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 三、解答题 9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6． (1)求抛物线C的方程； (2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点的横坐标为2，求k的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 59 [解]　(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，其准线方程为x＝－， ∵P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，∴4＋＝6，∴p＝4． ∴抛物线C的方程为y2＝8x． (2)∵直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，联立消去y得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0， Δ＝64(k＋1)＞0，解得k＞－1且k≠0，又＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)， ∴k的值为2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 10．古希腊的几何学家用一个不垂直于圆锥的轴的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，M为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高PO＝2，底面半径OA＝2，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　) A．2 B．3 C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 61 D　[由题意知|PO|＝2，|OA|＝2，所以|PA|＝2． 因为M是PB的中点，O是AB的中点， 所以AP∥OM，|OM|＝|AP|＝， 因为截圆锥的平面平行于母线PA且过母线 PB的中点M，故O也在截面上， 根据对称性可知，抛物线的对称轴为OM，焦点在OM上， 以M为坐标原点，OM为x轴，过M点的垂线为y轴，建立平面直角坐标系， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 设抛物线与底面交点为E，则xE＝|OM|＝，yE＝|OA|＝2， 设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则4＝2p×，解得p＝， 即该抛物线的焦点到准线x＝－的距离为p，即为．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 11．(多选)在平面直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2x，则 (　　) A．直线x－y－2＝0与抛物线C相交所得弦长为2 B．直线x－y－2＝0与抛物线C交于M，N两点，则OM⊥ON C．过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点 D．抛物线C上的点到直线x－y＋2＝0的最短距离为 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 64 ABD　[由抛物线C：y2＝2x， 则其焦点为F，准线方程为x＝－， 联立消去y可得x2－6x＋4＝0，Δ＞0，x1＋x2＝6，x1x2＝4， 直线x－y－2＝0与抛物线C相交所得弦长为：＝＝2，所以A正确； 联立消去x得y2－2y－4＝0，则y1＋y2＝2，y1y2＝－4，而x1x2＝＝4， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 65 由＝x1x2＋y1y2＝0，即⊥，故∠MON＝90°，所以B正确； 过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C相切，有且只有一个公共点，此外y＝0与抛物线也有一个公共点，所以有3条直线满足题意，所以C不正确； 设抛物线y2＝2x上点P的坐标为，则点P到直线x－y＋2＝0的距离 d＝＝[(m－1)2＋3]，∴当m＝1时，即点P的坐标为时， d的最小值为，所以D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 12．设直线y＝2x＋b与抛物线y2＝4x交于A，B两点，已知弦AB的长为3，则实数b的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －4　[由 消去y得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0． 由Δ＞0，解得b＜． －4 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 67 设A(x1，y1)，B， 则x1＋x2＝1－b，x1x2＝， 所以|x1－x2|＝＝， 所以|AB|＝·|x1－x2|＝＝3，所以1－2b＝9，即b＝－4．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 13．已知直线y＝－2x＋4与抛物线y2＝2px(p＞0)交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，则p＝________；△AOB的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1　　[如图所示，联立 消去x得y2＋py－4p＝0， 则Δ＝p2＋16p＞0， 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 69 则y1＋y2＝－p，y1y2＝－4p， 所以＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝4－4p＝0，解得p＝1， 所以y1＋y2＝－1，y1y2＝－4， 则|y1－y2|＝＝＝， 又直线y＝－2x＋4交x轴于点E(2，0)， 所以S△OAB＝|OE|×|y1－y2|＝×2×＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 14．已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，过点(2，0)的直线交C于A，B两点． (1)判断是否为定值，并说明理由； (2)设直线OA，OB分别与直线l：y＝x＋1交于点D，E，求|DE|的最小值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 71 [解]　(1)为定值，理由如下：∵过点(2，0)的直线交C：y2＝4x于A，B两点， ∴直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x得y2－4my－8＝0，Δ＝16m2＋32＞0，y1＋y2＝4m，y1y2＝－8， ∴＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝－8＝－4． ∴为定值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 (2)直线OA的方程为：y＝x， 由得xD＝＝＝，同理xE＝＝， 而|y1(4－y2)－y2(4－y1)|＝4|y1－y2|＝4＝4×＝16，|(4－y1)(4－y2)|＝|16－16m－8|＝|8－16m|， 若m＝，则y2－2y－8＝0，解得y1＝4，y2＝－2， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 ∴A(4，4)，B(1，－2)，此时直线OA：y＝x与直线l：y＝x＋1平行，不存在交点，∴m≠， ∴|DE|＝|xD－xE|＝＝＝＝，令t＝，则t≠0，m＝， ∴|DE|＝＝＝＝＝，当t＝－，即m＝－4时，|DE|取得最小值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 15．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_____________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (x－14)2＝－y 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 第2课时　抛物线的标准方程及性质的应用 75 (x－14)2＝－y　　[根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为x2＝ －2py(p＞0)，溢流孔ABC所在方程为(x－14)2＝－2p′y(p′＞0)，由它们均过(20，－5)，代入可得400＝10p，36＝10p′，解得p＝40，p′＝，可得桥拱所在抛物线的方程为x2＝－80y，溢流孔ABC所在抛物线方程为(x－14)2＝－y， 则由解得x＝或x＝20，又7＜x＜20，即溢流孔与桥拱交点A的横坐标为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 $$