3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦抛物线的简单几何性质及焦点弦问题，通过“问题初探”引导学生结合抛物线定义预习几何性质与焦点弦长求解，以具体方程探究为支架，连接前后知识脉络。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理为核心，通过y²=2x方程探究范围、对称性等性质，结合典例总结焦点弦规律，分层练习提升数学运算能力。助力学生深化理解，教师教学更高效。

第1课时　抛物线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 3.3　抛物线 3.3.2　抛物线的简单几何性质 [学习目标]　 1．掌握抛物线的几何性质．(数学抽象) 2．能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．抛物线有哪些几何性质？ 问题2．如何求过抛物线的焦点的弦的弦长？ 第1课时　抛物线的简单几何性质 探究建构 关键能力达成 探究1　抛物线的几何性质 问题1　已知抛物线C的方程为y2＝2x，根据这个方程完成下列任务． (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出抛物线C是否具有对称性； (3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [提示]　(1)由y2＝2x知y∈R，x≥0，抛物线C位于y轴及y轴右侧． (2)抛物线C关于x轴对称，不关于y轴对称，也不关于原点对称． (3)抛物线C与x轴、y轴都只有一个交点，交点都是原点(0，0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [新知生成] 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 图形 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) 性 质 焦点 准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0， y∈R x≤0， y∈R __________ ___________ 对称轴 ____ ____ 顶点 _______ 离心率 e＝__ y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 (0，0) 1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 【教用·微提醒】　(1)抛物线没有渐近线，在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状，因为双曲线的开口越来越开阔，而抛物线的开口越来越扁平． (2)抛物线的顶点只有一个，抛物线的焦点总在对称轴上，抛物线的准线始终与对称轴垂直． (3)影响抛物线开口大小的量是参数p，p值越大，抛物线的开口越大，反之，开口越小． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [典例讲评]　【链接教材P134例3】 1．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程． (1)焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)； (2)关于y轴对称，与直线y＝－12相交所得线段的长为12． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [解]　(1)由题意知，可设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，F，准线方程为y＝－． 因为焦点F关于准线的对称点为M(0，－9)， 所以＝－，解得p＝6， 所以所求抛物线的标准方程为x2＝12y，焦点坐标为(0，3)，准线方程为y＝－3． (2)设所求抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，设直线y＝－12与抛物线交于M，N两点，将点N(6，－12)代入抛物线方程可得p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－3y，焦点坐标为，准线方程为y＝． 【教材原题·P134例3】 例3　已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2， －2)，求它的标准方程． [解]　因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2， －2)，所以可设它的标准方程为 y2＝2px(p＞0)． 因为点M在抛物线上，所以(－2)2＝2p×2，解得p＝2． 因此，所求抛物线的标准方程是y2＝4x． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 反思领悟　把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 (1)开口：由抛物线的标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [学以致用]　1．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． [解]　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2．由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px(p＞0)上，可得p＝，所以所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 探究2　抛物线的焦点弦长 [典例讲评]　【链接教材P135例4】 2．经过抛物线x2＝4y的焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|＝4，则△OAB(O为坐标原点)的面积为________． 2　[由题意知，直线的斜率存在，抛物线x2＝4y的焦点F(0，1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB：y＝kx＋1，联立方程消去x可得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，Δ＝(2＋4k2)2－4＝16k4＋16k2≥0，则y1＋y2＝2＋4k2，y1y2＝1， 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 因为|AB|＝|AF|＋|FB|＝y1＋y2＋2＝2＋4k2＋2＝4，所以k2＝0，即k＝0， 所以直线AB：y＝1，所以点O到直线AB的距离为|OF|＝1， 所以S△OAB＝|OF|·|AB|＝×1×4＝2．] 【教材原题·P135例4】 例4　斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长． [分析]　由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A，B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出|AB|．这种方法思路直接，具有一般性．请你用此方法求|AB|． 下面介绍另外一种方法——数形结合的方法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 在图3.3-4中，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线的距离|AA′|．由p＝2，＝1，得|AA′|＝x1＋＝x1＋1，于是|AF|＝x1＋1．同理，|BF|＝|BB′|＝x2＋＝x2＋1，于是得 |AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2． 由此可见，只要求出点A，B的横坐标之和x1＋x2，就可以求出|AB|． [解]　由题意可知，p＝2，＝1，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1．如图3.3-4，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB．由抛物线的定义，可知 |AF|＝dA＝x1＋1，|BF|＝dB＝x2＋1， 于是|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2． 因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为 y＝x－1． ① 将①代入方程y2＝4x，得(x－1)2＝4x，化简，得x2－6x＋1＝0． 所以x1＋x2＝6，|AB|＝x1＋x2＋2＝8．所以，线段AB的长是8． 发现规律　抛物线焦点弦长 1．AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点的弦，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝______________． 2．抛物线的通径 (1)定义：过抛物线的焦点作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点，线段AB被称为抛物线的通径．如图所示， 对于抛物线y2＝2px(p＞0)，由A，B， 可得|AB|＝____，所以抛物线的通径长为____． (2)通径是所有焦点弦中长度最__的弦． x1＋x2＋p 2p 2p 短 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [学以致用]　2．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)，直线l：y＝k(x－2)与抛物线C相交于不同的两点A，B． (1)求抛物线C的方程； (2)若|AB|＝9，求k的值． [解]　(1)由抛物线的焦点(2，0)，∴＝2，∴p＝4， ∴抛物线C的方程为y2＝8x． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直线l过抛物线的焦点， 得|AB|＝x1＋x2＋4＝9，∴x1＋x2＝5， 联立方程消去y得k2x2－(8＋4k2)x＋4k2＝0，Δ＝64(k2＋1)＞0， ∴x1＋x2＝＝5，∴k＝±2． 故k的值为2或－2． 探究3　抛物线焦点弦的性质 [典例讲评]　3．(1)已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若＝ －12，则抛物线C的方程为(　　) A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝8x D．y2＝4x √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 (2)经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝________． 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 (1)C　(2)2　[(1)设抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 设直线AB的方程为x＝my＋，联立 消去x，得y2－2pmy－p2＝0，Δ＞0， 则y1y2＝－p2，x1x2＝＝， 得＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12， 解得p＝4或p＝－4(舍去)， 即抛物线C的方程为y2＝8x．故选C． (2)法一：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，直线l的方程为y ＝，联立 可得＝2px，整理得4x2－28px＋p2＝0，Δ＝(－28p)2－4×4p2＝768k2＞0． 设A，B的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝7p， 由线段AB的中点M的横坐标为7，可得p＝7，解得p＝2． 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14， ∴14＋p＝，∴p＝2．] 【教材原题·P136例5】 例5　经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． [分析]　我们用坐标法证明这个结论，即通过建立抛物线及直线的方程，运用方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系．建立如图3.3-5所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [证明]　如图3.3-5，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy．设抛物线的方程为 y2＝2px(p＞0)，　　① 点A的坐标为(y0≠0)，则直线OA的方程为y＝x，　　② 抛物线的准线方程是x＝－．　　③ 联立②③，可得点D的纵坐标为－． 因为焦点F的坐标是，当≠p2时，直线AF的方程为 y＝．④ 联立①④，消去x，可得－p2)y－y0p2＝0，即(y－y0)(y0y＋p2)＝0， 可得点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴． 当＝p2时，易知结论成立． 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴． 【教材原题·P137例6】 例6　如图3.3-6，已知定点B(a，－h)，BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC于点E，OE与MD相交于点P，求点P的轨迹方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [解]　设点P(x，y)，M(x，m)，其中0≤x≤a，则点E的坐标为(a，m)． 由题意，直线OB的方程为y＝－x．　　① 因为点M在OB上，将点M的坐标代入①，得m＝－x，　　② 所以点P的横坐标x满足②． 直线OE的方程为y＝x，　　③ 因为点P在OE上，所以点P的坐标(x，y)满足③． 将②代入③，消去m，得 x2＝－y(0≤x≤a)， 即点P的轨迹方程． 发现规律　抛物线焦点弦的性质 如图，AB是抛物线y2＝2px(p＞0)过焦点F的一条弦，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，相应的准线为l． (1)x1·x2＝____，y1·y2＝______． (2)以弦AB为直径的圆与准线相切． (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2＝(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)． (4)＝____为定值． －p2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 [学以致用]　3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A(4，n)(n＞0)为C上一点，且|AF|＝5，直线AF交C于另一点B，记坐标原点为O，则＝(　　) A．5 B．－4 C．3 D．－3 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 D　[由抛物线的定义可得，|AF|＝4＋＝5，∴p＝2， ∴抛物线C的方程为y2＝4x，∵A(4，n)为C上一点， 令x＝4，得n2＝16，∵n＞0，∴n＝4，∴A(4，4)， ∵＝＝1，∴|BF|＝， ∴xB＝|BF|－＝－1＝＝1， ∵点A在第一象限，∴点B在第四象限， ∴yB＝－1，∴B， ∵＝(4，4)，＝，∴＝4×－4×1＝－3．故选D．] 应用迁移 随堂评估自测 1．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 √ B　[抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，解得p＝2或p＝－6(舍去)．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 2．(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y √ CD　[以y轴为对称轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p＞0)，排除选项A，B．又因为2p＝8，故选CD．] √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 3．(教材P136练习T4改编)抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴．若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A． C． √ A　[因为|AB|＝2，AB垂直于x轴，不妨设点A的纵坐标为，代入抛物线方程得x＝1，所以线段AB所在直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1－＝．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，则线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为________． 5　[由抛物线方程y2＝8x，得p＝4． 线段AB的中点M的横坐标为，其到准线距离为，又x1＋x2＝6，所以＝5． 故线段AB的中点M到抛物线的准线的距离为5．] 5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 1．知识链：       2．方法链：图象法(数形结合)、待定系数法． 3．警示牌：易忽略焦点位置而出错． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．抛物线有哪些几何性质？ [提示]　范围、对称性、焦点坐标、准线方程、顶点坐标、离心率． 2．利用抛物线的性质可以解决哪些问题？ [提示]　(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题． (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题． (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题． (4)焦点弦：解决焦点弦问题． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 一、选择题 1．已知点F为抛物线C：y2＝8x的焦点，M为抛物线C上一点，且|MF|＝4，则M到x轴的距离为(　　) A．4 B．4 C．8 D．16 课时分层作业(三十三)　抛物线的简单几何性质 √ 41 A　[因为F为抛物线C：y2＝8x的焦点，所以F(2，0)． 设M(x1，y1)，由抛物线的性质，得x1＝4－2＝2， 所以＝8×2＝16⇒|y1|＝4，故M到x轴的距离为4． 故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．已知抛物线C：y2＝4x，过焦点F且斜率为的直线与抛物线C交于两个不同的点A，B，则线段AB的长为(　　) A．2 B．4 C．40 D．20 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 43 D　[已知抛物线C：y2＝4x，则焦点F的坐标为(1，0)， 所以过焦点F且斜率为的直线方程为y＝(x－1)， 联立消去y可得x2－18x＋1＝0，Δ＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝18， 则|AB|＝x1＋x2＋2＝20．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 44 3．(多选)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M(x0，y0)在抛物线C上，若|MF|＝5，则(　　) A．F的坐标为(1，0) B．y0＝4 C．|OM|＝4 D．S△OFM＝2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 45 BCD　[由抛物线C：x2＝4y，可得p＝2，所以＝1，且焦点在y轴正半轴上，则焦点F(0，1)，所以A错误； 由抛物线的定义，可得|MF|＝y0＋1＝5，解得y0＝4，所以B正确； 由y0＝4，可得＝16，所以x0＝±4，则|OM|＝＝4，所以C正确； 由S△OFM＝|OF|·|x0|＝2，所以D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 46 4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若|AB|＝，则l的斜率为(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 47 B　[根据题意可知F(1，0)，p＝2， ∴设直线l的方程为y＝k(x－1)，k＞0， 联立消去y可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝＝2＋， ∴|AB|＝p＋x1＋x2＝2＋2＋＝，又k＞0， 解得k＝．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 48 5．已知P(2，4)是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，过C的焦点F的直线l与C交于A，B两点，则|AF|＋9|BF|的最小值为(　　) A．24 B．28 C．30 D．32 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 49 D　[由题意可得p＝4，故抛物线C：y2＝8x，F(2，0)，准线方程为x＝－2． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设y1＞0＞y2，直线l的斜率不为0， 设直线l的方程为x＝my＋2，联立可得y2－8my－16＝0，Δ＞0， ∴y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，x1x2＝(2＋my1)(2＋my2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4， 则|AF|＋9|BF|＝x1＋2＋9(x2＋2)＝x1＋9x2＋20≥2＋20＝32， 当且仅当x1＝9x2且x1x2＝4时取等号，∴|AF|＋9|BF|的最小值为32．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 50 二、填空题 6．设P是抛物线y2＝4x上任意一点，A(3，0)，则|PA|的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2　[设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8．当x＝1时，|PA|取得最小值，为2．] 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 51 7．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若|AB|＝12，那么x1＋x2＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 10　[由题意可得p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1， ∵过抛物线y2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， ∴|AB|＝x1＋x2＋2＝12，解得x1＋x2＝10．] 10 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 52 　[如图，A(x0，2)在抛物线上，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为G， 由|AF|＝3|OF|，得|AG|＝3|OF|， ∴x0＋＝p，即x0＝p，可得A(p，2)， 代入y2＝2px，得4＝2p2，解得p＝或p＝－(舍去)．] 8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，且C经过点A(x0，2)，O为坐标原点，若|AF|＝3|OF|，则p的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 53 三、解答题 9．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点． (1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 54 [解]　(1)法一：因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F， 所以直线l的方程为y＝．联立 消去y得x2－5x＋＝0，Δ＝16＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5， 而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，∴|AB|＝5＋3＝8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 55 法二：由抛物线方程y2＝6x，得p＝3， 又直线l过焦点且倾斜角为60°， 则|AB|＝＝＝8． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 56 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6， 于是线段AB的中点M的横坐标是3， 又准线方程是x＝－， 所以中点M到准线的距离等于3＋＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 57 10．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，若|AF|＝4|BF|，则直线AB的斜率为(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 58 D　[法一：过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦AB，其中点A在第一象限，F， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＜0)， 由|AF|＝4|BF|，可得＝4， 即＝4， 所以y1＝－4y2， 由题意知，直线AB的斜率存在． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 59 设直线AB的方程为y＝k， 联立 消去x得y2－y－p2＝0，Δ＞0，所以y1·y2＝－p2， 即y2＝－，x2＝，所以y1＝2p，x1＝2p，可得A(2p，2p)，B，所以直线AB的斜率k＝＝．故选D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 60 法二：由|AF|＝4|BF|及＝， 得|BF|＝p，|AF|＝p， 所以|AB|＝p＝(其中α为AB的倾斜角)， 所以sinα＝，cos α＝(|AF|＞|BF|)， 所以直线AB的斜率k＝．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 61 11．(多选)在直角坐标系Oxy中，已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F的倾斜角为的直线l与C相交于A，B两点，且点A在第一象限，△OAB的面积是2，则(　　) A．p＝2 B．|AB|＝9 C．＝1 D．|AF|＝2＋ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 62 AC　[抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F， 则直线l的方程为y＝x－，代入抛物线方程消去y得x2－3px＋＝0，Δ＝8p2＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p， 根据抛物线定义|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4p． 坐标原点O到直线l的距离d＝＝，所以△OAB的面积为×4p×＝2， 解得p＝2，所以选项A正确；又因为|AB|＝4p＝8，所以选项B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 63 由p＝2得x2－6x＋1＝0，解得x1＝3＋2，x2＝3－2， 所以＝＝1，选项C正确； |AF|＝4＋2，所以选项D错误． 故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 64 12．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________ ． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 6　[抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－． 将y＝－代入＝1得|x|＝．要使△ABF为等边三角形，则tan ＝＝＝，解得p2＝36，p＝6．] 6 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 65 [解]　如图所示，依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋． 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 过A，B两点分别作准线的垂线，垂足分别为C，D， 13．已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 66 则由抛物线定义得|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝x1＋＋x2＋，即x1＋x2＋p＝8．① 由消去y得x2－3px＋＝0，Δ＝8p2＞0，所以x1＋x2＝3p． 将其代入①，得p＝2．故所求的抛物线的方程为y2＝4x． 当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时， 同理可求得抛物线的方程为y2＝－4x． 综上，抛物线的方程为y2＝±4x． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 67 14．(多选)已知点F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率k>0，B，C两点在x轴上方，O为坐标原点，则下列结论中正确的是(　　) A．＝－p2 B．四边形ACBD面积的最小值为16p2 C．＝ D．若|AF|·|BF|＝4p2，则直线CD的斜率为－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　抛物线的简单几何性质 68 ACD　[如图所示， F，设直线AB的方程为x＝y＋(k＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为θ， ∴y1y2＝－p2，x1x2＝，|AB|＝， 设C(x3，y3)，D(x4，y4)，同理可得y3y4＝－p2，x3x4＝，|CD|＝． 对于A，＝x3x4＋y3y4＝－p2＝－，故A正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 69 对于B，四边形ACBD的面积S＝|CD|·|AB|＝＝，故其最小值为8p2，故B错误； 对于C，＝＝，故C正确； 对于D，若|AF|·|BF|＝＝x1x2＋(x1＋x2)＋＝4p2， 则(x1＋x2)＝，∴x1＋x2＝7p，即7p＋p＝， ∴sin2θ＝，sinθ＝(负值舍去)，又k>0，∴θ＝， 则直线CD的倾斜角为，其斜率为－，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 70 $$