模块综合测评-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦解析几何与立体几何核心知识点，系统梳理直线倾斜角、圆锥曲线焦点准线、直线与圆位置关系等解析几何内容，以及空间向量共面、异面直线所成角、二面角计算等立体几何知识，形成从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料特色在于通过典型例题培养数学思维与眼光，如空间向量共面判断体现逻辑推理，反射问题抽象对称点发展几何直观，解答题规范步骤强化数学语言表达。课中例题适合课堂讲解，课后解析详细助力学生查漏补缺，有效提升核心素养。

(时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线x＋y－2 025＝0的倾斜角等于(　　) A．45° B．60° C．120° D．150° C　[直线x＋y－2 025＝0可化为y＝－x＋2 025，则直线的斜率为－，所以直线的倾斜角等于120°．故选C．] 2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆＝1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为(　　) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 D　[因为椭圆＝1的右焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的焦点坐标为(2，0)，所以抛物线的准线方程为x＝－2．故选D．] 3．直线l：ax＋y－2＝0与圆C：＋＝1的公共点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．1或2 C　[由直线l：ax＋y－2＝0，可得直线l过定点， 又由圆C：＋＝1，可得点在圆C上，因为直线l的斜率显然存在，所以公共点的个数为2． 故选C．] 4．一入射光线经过点M(2，6)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(－3，4)，则反射光线所在的直线方程为(　　) A．2x－y＋13＝0 B．6x－y＋22＝0 C．x－3y＋15＝0 D．x－6y＋27＝0 D　[∵光线经过点M(2，6)，设M关于直线l：x－y＋3＝0的对称点K(x，y)， ∴即 ∴K(3，5)． ∵N(－3，4)，∴直线NK的斜率为＝， ∴反射光线所在直线的方程为y－4＝(x＋3)，即x－6y＋27＝0．故选D．] 5．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B(3，0)，若|AF|＝|BF|，则△ABF的面积为(　　) A．1 B．2 C．4 D． B　[由题意得，F(1，0)，则|AF|＝|BF|＝2，即点A到准线x＝－1的距离为2，所以点A的横坐标满足xA＋1＝2，可得xA＝1，所以A(1，±2)，由各点坐标易知∠AFB＝90°，所以S△ABF＝|BF|×|yA|＝×2×2＝2．故选B．] 6．(2024·上海卷)定义一个集合Ω，其元素是空间内的点，任取P1，P2，P3∈Ω，存在不全为0的实数λ1，λ2，λ3，使得λ1＋λ2＋λ3＝0(其中O为坐标原点)．已知(1，0，0)∈Ω，则(0，0，1)∉Ω的充分条件是(　　) A．∈Ω B．∈Ω C．∈Ω D．∈Ω C　[由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 对于A，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1)∉Ω，故A错误； 对于B，由空间直角坐标系易知，(1，0，0)，(0，0，1)三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1)∉Ω，故B错误； 对于C, 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由∈Ω能推出∉Ω，故C正确； 对于D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，(1，0，0)∈Ω时，无法推出(0，0，1)∉Ω，故D错误． 故选C．] 7．若点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上，则的取值范围为(　　) A． C．[0，4] D． B　[因为点A(m，n)在圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 上， 则的几何意义为圆上点与定点P(－4，0)的斜率， 圆C：x2＋y2－2x－8y＋1＝0 化为标准方程为(x－1)2＋(y－4)2＝16，如图所示， 由题意可知过点P的圆的切线的斜率存在且PB的斜率为0，设过点P的圆C的切线方程为y＝k(x＋4)， 则＝4，解得k＝0或k＝，故k的取值范围为．故选B．] 8．在平面直角坐标系Oxy中，F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．2 C． C　[设|AF1|＝m，∴|AF2|＝m＋2a，∵＝3， ∴＝＝＝， ∴|AB|＝2m，|BF2|＝3m－2a，|BT|＝3m＋6a，|F2T|＝4c， ∵BF2经过△BF1T的内切圆圆心，∴BF2是∠F1BT的平分线， ∴＝＝，∴3m＋6a＝2×3m，∴m＝2a， ∴|AB|＝|BF2|＝|AF2|，∴△ABF2是正三角形， 在△BF1F2中，由余弦定理有(2c)2＝(6a)2＋(4a)2－2×6a×4a×， ∴4c2＝28a2，∴e＝＝．故选C．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆A的半径为4 B．圆A截y轴所得的弦长为2 C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1 D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离 BC　[把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4， 所以圆A的圆心坐标为(1，0)，半径r＝2，A错误； 圆A的圆心(1，0)到y轴的距离d＝1，所以圆A截y轴所得的弦长为2＝2＝2，B正确； 圆心(1，0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为＝3， 故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－r＝3－2＝1，C正确； 圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4，4)，半径R＝3， 因为|AB|＝＝5＝r＋R， 所以圆A与圆B相外切，D错误． 故选BC．] 10．已知α∈(0，π)，关于曲线C：x2sin α＋y2cos α＝1，下列说法正确的是(　　) A．曲线C不可能是圆 B．曲线C可能是焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C不可能是焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可能是双曲线 BD　[曲线方程整理为＝1， 当α＝时，sin ＝cos ＝，方程化简为x2＋y2＝，即为圆的方程，故A错误； 当α∈时，>>0，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，故B正确； 当α∈时，>>0，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，故C错误； 当α∈时，<0，>0，曲线C表示双曲线，故D正确．故选BD．] 11．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M为BC的中点，下列结论正确的有(　　) A．AM与D′B′所成角的余弦值为 B．AM与平面AB′C′所成角的正弦值为 C．过点A，M，D′的正方体ABCD­A′B′C′D′的截面面积为 D．四面体A′C′BD的内切球的表面积为 AD　[以A′为坐标原点，A′D′，A′B′，A′A所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，1)，M，D′(1，0，0)，B′(0，1，0)，C′(1，1，0)， ∴＝＝(－1，1，0)， ∴cos 〈〉＝＝， ∴AM与D′B′所成角的余弦值为，故A正确； ∵＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)， 设平面AB′C′的法向量n＝(x，y，z)， 则∴令y＝1，得n＝(0，1，1)为平面AB′C′的一个法向量． 设AM与平面AB′C′所成角为α， 则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝，故B错误； 取CC′的中点N，连接MN，D′N，AD′，则MN∥BC′∥AD′，故梯形MND′A为过点A，M，D′的该正方体的截面， ∵MN＝，AD′＝，AM＝D′N＝， ∴梯形MND′A的高为＝， ∴梯形MND′A的面积为＝，故C错误； 四面体A′C′BD的体积为VABCD­A′B′C′D′－4VD­A′C′D′＝1－4××1×1×1＝， 又四面体A′C′BD的所有棱长均为， ∴四面体A′C′BD的表面积为4××()2＝2， 设四面体A′C′BD的内切球半径为r，则×2×r＝，解得r＝， ∴四面体A′C′BD的内切球的表面积为4πr2＝，故D正确．故选AD．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图所示，已知双曲线以矩形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________． x2－＝1　[设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)．由题意得B(2，0)，C(2，3)， 所以解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1．] 13．如图所示，在三棱锥S­ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝，M，N分别是AB，SC的中点．则异面直线SM与BN所成角的余弦值为________． 　[因为在三棱锥S­ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝， M，N分别是AB，SC的中点． 所以以S为原点，SA，SB，SC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设SA＝SC＝2SB＝2，则S(0，0，0)，N(0，0，1)，A(2，0，0)，B(0，1，0)，M， ＝＝(0，－1，1)， 设异面直线SM与BN所成角为θ， 则cos θ＝＝＝． 所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为．] 14．直线mx＋y－2＝0(m∈R)与圆C：x2＋y2－2y－1＝0相交于A，B两点，则弦长|AB|的最小值为________，若△ABC的面积为，则m的值为________． 2　±1　[直线mx＋y－2＝0(m∈R)恒过圆C：x2＋(y－1)2＝2内的定点M(0，2)，又r＝，圆心C(0，1)到直线的距离d≤|CM|＝1， ∴|AB|＝2≥2， 即弦长|AB|的最小值为2． S△ABC＝r2sin ∠ACB＝，∠ACB为三角形内角，取值范围为(0，π)． 即∠ACB＝或． 若∠ACB＝，则圆心到弦AB的距离为＞1＝|CM|，故不符合题意； 若∠ACB＝， 则圆心到弦AB的距离为＜1＝|CM|，符合题意， 此时＝，解得m＝±1．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)，圆M是△ABC的外接圆． (1)求圆M的方程； (2)若直线l过点(1，－5)，且被圆M截得的弦长为6，求直线l的方程． [解]　(1)设圆M的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为圆M过A(2，1)，B(0，5)，C(1，－2)三点，所以解得 所以圆M的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0． (2)由(1)可知圆心为M(－3，1)，半径r＝5， 又直线l被圆M截得的弦长为6，所以圆心M到直线l的距离d＝＝4， 当直线l的斜率不存在时，l过点(1，－5)，所以l的方程为x＝1，圆心M到直线l的距离d＝4，故x＝1满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋5＝k(x－1)，即kx－y－k－5＝0，由点到直线的距离公式可得＝4，解得k＝－，直线l的方程为5x＋12y＋55＝0． 综上所述，直线l的方程为x＝1或5x＋12y＋55＝0． 16．(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PC⊥底面ABCD，且PC＝1． (1)证明：BD⊥PA； (2)若＝3，求二面角P­AC­E的余弦值． [解]　(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC． ∵PC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD． 又∵AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC． ∵PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA． (2)由题意知，CB，CD，CP两两垂直，如图，以C为原点，CB，CD，CP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则A(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，E＝(－1，1，0)，＝＝(1，1，0)． 由(1)知BD⊥平面PAC，则平面PAC的一个法向量为＝(－1，1，0)． 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则令x＝2，得y＝－2，z＝－1，∴n＝(2，－2，－1)为平面ACE的一个法向量， ∴|cos 〈，n〉|＝＝， 由图可知二面角P­AC­E是锐角，故二面角P­AC­E的余弦值为． 17．(15分)动点M(x，y)与定点F(，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是，动点M(x，y)的轨迹记为曲线C． (1)求动点M的轨迹； (2)已知直线x－y＋m＝0与曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上，求实数m的值． [解]　(1)设d是点M到直线l的距离， 则动点M的轨迹就是点的集合 P＝， 由此得＝，两边平方，得2x2－y2＝2，即x2－＝1， 即点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为2、虚轴长为2的双曲线． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去y并整理得x2－2mx－m2－2＝0， Δ＝8m2＋8＞0，x1＋x2＝2m， 则y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m， 则线段AB的中点坐标为(m，2m)， 因为线段AB的中点在圆x2＋y2＝20上， 所以m2＋4m2＝20， 解得m＝±2． 故实数m的值为2或－2． 18．(17分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． (1)求证D1N∥平面CB1M； (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； (3)求点B到平面CB1M的距离． [解]　(1)证明：取CB1中点P，连接NP，MP． 由N是B1C1的中点，故NP∥CC1，且NP＝CC1，由M是DD1的中点，故D1M＝DD1＝CC1，且D1M∥CC1， 则有D1M∥NP，D1M＝NP，故四边形D1MPN是平行四边形，故D1N∥MP． 又MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M， 故D1N∥平面CB1M． (2)由题意知，AA1，AB，AD两两垂直，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(2，0，0)，B1(2，0，2)，M(0，1，1)，C(1，1，0)，C1(1，1，2)， 则有＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1)，＝(0，0，2)． 设平面CB1M与平面BB1C1C的法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)， 则有 分别取x1＝x2＝1，则有y1＝3，z1＝1，y2＝1，z2＝0， 即m＝(1，3，1)为平面CB1M的一个法向量，n＝(1，1，0)为平面BB1C1C的一个法向量， 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝， 故平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为．　 (3)由＝(0，0，2)，平面CB1M的法向量m＝(1，3，1)， 则有＝＝， 即点B到平面CB1M的距离为． 19．(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F(2，0)，离心率为，O为坐标原点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设点P(3，m)(m>0)，过F作PF的垂线交椭圆于A，B两点，求△OAB面积的最大值． [解]　(1)由椭圆C的右焦点为F(2，0)， 可得c＝2，又离心率为， ∴a＝，b2＝a2－c2＝6－4＝2， ∴椭圆C的标准方程为＝1． (2)由题可知kPF＝＝m，∴kAB＝－， 故直线AB的方程为y＝－(x－2)，即x＝－my＋2， 联立消去x得(3＋m2)y2－4my－2＝0， 所以Δ＝16m2＋8(3＋m2)＞0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝， ∴|y1－y2|＝＝＝， ∴△OAB的面积S＝×|OF|×|y1－y2|＝， 令t＝>1，∴S＝＝＝， 当且仅当＝t，即t＝，m＝1时取等号， ∴△OAB面积的最大值为． 12/12 学科网（北京）股份有限公司 $$