第3章 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中函数核心知识，系统梳理函数的概念（三要素、表示方法）、图象画法及应用（如min函数）、性质（单调性、奇偶性）、实际应用（利润建模）等内容，构建从基础概念到性质探究再到实际应用的完整学习支架。 资料通过分类例题解析（如定义域求解、函数相等判断）、图象与解析法结合（如min函数分段表示）培养直观想象，通过单调性证明、奇偶性判断提升逻辑推理，实际应用题强化数学建模。课中辅助教师系统授课，课后章末测评助力学生查漏补缺。

类型1　函数的概念及其表示 1．函数有三要素：定义域、对应关系和值域，只要定义域和对应关系相同，两个函数就是同一个函数；函数有三种表示方法：列表法、图象法和解析法，其中分段函数是高中学习的重点． 2．掌握函数定义域、值域的求法，提升逻辑推理和数学抽象素养． 【例1】　(1)已知函数f (x)的定义域为[2，8]，则函数y＝的定义域为(　　) A． 　 B． C． 　 D． (2)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．y＝与y＝1 B．y＝与y＝x C．y＝与y＝x＋1　 D．y＝与y＝x－1 (3)f (＋1)＝x－1，则f (x)＝________． (1)C　(2)B　(3)x2－2x(x≥1)　[(1)根据题意可得解得4≤x≤10且x≠5．故选C． (2)选项A，函数y＝x≠0}，而y＝1的定义域为R，故A错误； 选项B，函数y＝的定义域为R， 而y＝x的定义域为R， 且y＝＝x， 故B正确； 选项C，函数y＝x≠1}， 而y＝x＋1的定义域为R，故C错误； 选项D，函数y＝的定义域为R， 而y＝x－1的定义域为R， 但是y＝＝，故解析式不同，故D错误．故选B． (3)令＋1＝t(t≥1)⇒x＝(t－1)2(t≥1)， 于是有f (t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≥1)⇒f (x)＝x2－2x(x≥1)．] 类型2　函数图象的画法及应用 1．利用函数的图象可以直观地观察函数的值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 2．掌握简单的基本函数的图象，提升直观想象和数据分析素养． 【例2】　给定函数f (x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2，x∈R． 　 (1)在同一坐标系中画出函数f (x)，g(x)的图象； (2)若min{a，b}表示a，b中的较小者，例如min{2，1}＝1．记m(x)＝min{f (x)，g(x)}． ①请分别用图象法和解析法表示函数m(x)，并指出函数m(x)的单调区间； ②当x∈时，求m(x)的值域． [解]　(1)函数f (x)＝x＋3，g(x)＝(x＋1)2的图象如图所示． (2)①由题意可知， m(x)＝ m(x)的图象如图所示， 由图象可知，m(x)的单调递增区间为(－∞，－2)和[－1，＋∞)； m(x)的单调递减区间为[－2，－1)； ②因为x∈，结合图象可知m(x)在x∈上连续， 且m， m(－2)＝(－2＋1)2＝1， m(－1)＝(－1＋1)2＝0， m， 所以m(x)min＝0，m(x)max＝1， 所以当x∈时，m(x)的值域为． 类型3　函数的性质及应用 1．本章主要学习了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，其中利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意易漏定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 【例3】　已知函数f (x)＝． (1)判断f (x)的奇偶性并证明； (2)当x∈(1，＋∞)时，判断f (x)的单调性并证明； (3)在(2)的条件下，若实数m满足f (3m)>f (5－2m)，求实数m的取值范围． [解]　(1)函数f (x)是奇函数．证明如下： 函数f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 因为f (－x)＝ ＝－＝－f (x)， 所以函数f (x)是奇函数． (2)函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增．证明如下： ∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1>x2>1，则 f (x1)－f (x2)＝ ＝ ＝， 因为x1>x2>1，所以x1－x2>0，x1x2－1>0，x1x2>0， 所以f (x1)－f (x2)>0，即f (x1)>f (x2)， 所以函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增． (3)由(2)知函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增，所以3m>5－2m>1，解得1<m<2， 所以实数m的取值范围为(1，2)． 类型4　函数的应用 1．本章主要学习了一次函数、二次函数、幂函数及分段函数的建模问题，通过上述模型可以解决生活中的成本最少、利润最高等问题． 2．通过构造数学模型解决实际问题，重点提升数学建模素养和数学运算素养． 【例4】　【链接教材P100复习参考题3T6】 根据市场调查某科技公司生产某款电子产品的年固定成本为50万元，每生产1万部还需另投入20万元．若该科技公司一年内共生产该款电子产品x万部并能全部销售完，平均每万部的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝ (1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式W(x)； (2)当年产量为多少万部时，公司在该款电子产品的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． [解]　(1)依题意W(x)＝x·R(x)－50－20x＝ (2)当0<x≤20时，W(x)＝－2x2＋80x－50，此抛物线开口向下，对称轴x＝－＝20， W(20)＝－2×202＋80×20－50＝750万元． 当x>20时，W(x)＝2 050－20≤2 050－20×2＝850万元， 当且仅当＝x，即x＝30时等号成立． 所以当年产量为30万部时，利润最大，最大利润为850万元． 【教材原题·P100复习参考题3T6】某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R(单位：元)关于月产量x(单位：台)满足函数： R＝ (1)将利润P(单位：元)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) [解]　(1)当0≤x≤400时，P＝400x－x2－20 000－100x＝－x2＋300x－20 000， 当x＞400时，P＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x， 故P＝ (2)当0≤x≤400时， P＝－x2＋300x－20 000＝－(x－300)2＋25 000， ∴当x＝300时，Pmax＝25 000； 当x＞400时，P＝60 000－100x在(400，＋∞)上单调递减， ∴P＝60 000－100x＜60 000－100×400＝20 000， ∵20 000＜25 000， ∴当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为25 000元． 章末综合测评(三)　函数的概念与性质 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．函数f (x)＝＋的定义域是(　　) A．(1，＋∞) 　 B．[1，＋∞) C．[1，2)∪(2，＋∞) 　 D．(2，＋∞) C　[由题意得解得x≥1且x≠2，故定义域为[1，2)∪(2，＋∞)．故选C．] 2．“k＜6”是“函数f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[函数f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增， 故－≥－3，解得k≤6， 因为{k|k＜6}是{k|k≤6}的真子集， 所以“k＜6”是“函数f (x)＝－x2－kx＋3在(－∞，－3]上单调递增”的充分不必要条件．故选A．] 3．已知幂函数f (x)＝x4-m(m∈N*)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，则m等于(　　) A．1　 B．2 C．1或3　 D．3 C　[因为f (x)＝x4-m在(0，＋∞)上单调递增， 所以4－m>0，所以m<4． 又因为m∈N*，所以m＝1，2，3． 又因为f (x)＝x4-m是奇函数， 所以4－m是奇数，所以m＝1或m＝3．] 4．学校宿舍与办公室相距a m．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步3 min来到办公室，停留2 min，然后匀速步行10 min返回宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度v和行走的路程s都是时间t的函数，则速度函数和路程函数的图象分别是下面四个图象中的(　　) A．①② 　 B．③④ C．①④ 　 D．②③ A　[由题意可得v＝ 且s＝ 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②．故选A．] 5．已知函数f (x)＝若f (a)＝9，则a＝(　　) A．2或－2或－1 　 B．2或－1 C．2或－2 　 D．－2 D　[若a≤0，则2a2＋1＝9，解得a＝－2或a＝2(舍去)， 若a＞0，则－3a＋6＝9，解得a＝－1(舍去)， 综上，a＝－2．故选D．] 6．已知函数f (x2－1)＝x4＋1，则函数y＝f (x)的解析式是(　　) A．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥0 B．f (x)＝x2＋2x＋2，x≥－1 C．f (x)＝x2－2x＋2，x≥0 D．f (x)＝x2－2x＋2，x≥－1 B　[因为f (x2－1)＝x4＋1＝[(x2－1)＋1]2＋1，且x2－1≥－1，所以f (x)＝(x＋1)2＋1＝x2＋2x＋2，x≥－1．故选B．] 7．下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f (x)＝，g(x)＝()2 B．f (x)＝1，g(x)＝x0 C．f (x)＝，g(x)＝x D．f (x)＝，g(t)＝|t| D　[对于A，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为[0，＋∞)， 故函数f (x)＝，g(x)＝()2不是同一个函数； 对于B，函数f (x)的定义域为R，函数g(x)的定义域为{x|x≠0}， 故函数f (x)＝1，g(x)＝x0不是同一个函数； 对于C，函数f (x)的定义域为{x|x≠0}，函数g(x)的定义域为R， 故函数f (x)＝，g(x)＝x不是同一个函数； 对于D，两函数的定义域都是R， 又f (x)＝， 即f (x)＝|x|， 所以函数f (x)＝，g(t)＝|t|表示同一个函数．故选D．] 8．若定义在R上的奇函数ƒ(x)在(－∞，0)单调递减，且ƒ(2)＝0，则满足xƒ(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1] C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3] D　[法一：由题意知f (x)在(－∞，0)，(0，＋∞)单调递减，且f (－2)＝f (2)＝f (0)＝0．当x>0时，令f (x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x<0时，令f (x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；当x＝0时，显然符合题意．综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D． 法二：当x＝3时，f (3－1)＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f (4－1)＝f (3)<0，此时不符合题意，排除选项A，C．故选D．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列函数与f (x)＝x＋1是同一个函数的是(　　) A．g(x)＝ 　 B．g(x)＝＋1 C．g(x)＝)3＋1 　 D．g(x)＝＋1 BC　[对于A，g(x)＝x≠1}，f (x)的定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，该选项不满足题意； 对于B，g(x)＝＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意； 对于C，g(x)＝)3＋1＝x＋1，定义域为R，定义域和对应关系均相同，为同一个函数，该选项满足题意； 对于D，g(x)＝＋1＝|x|＋1，定义域相同，但对应关系不同，不是同一个函数，该选项不满足题意．故选BC．] 10．对任意x∈R，用F(x)表示f (x)，g(x)中的较小者，记为F(x)＝min{f (x)，g(x)}．若f (x)＝2－x2，g(x)＝x2，则下列关于函数F(x)＝min{f (x)，g(x)}的说法正确的是(　　) A．函数F(x)是偶函数 B．方程F(x)＝0有三个不相等的实数根 C．函数F(x)在区间[－1，1]上单调递增 D．函数F(x)的最大值为1，无最小值 ABD　[F(x)＝min{f (x)，g(x)}＝F(x)的图象如图所示， 由图象知，F(x)是偶函数，选项A正确； 由图可知，F(x)的图象与x轴有三个交点，所以方程F(x)＝0有三个不相等的实数根，选项B正确； 由图可知，函数F(x)在区间(－1，0)上单调递减，在区间(0，1)上单调递增，选项C错误； 由图可知，当x＝±1时，F(x)取得最大值1，没有最小值，选项D正确．故选ABD．] 11．(教材P87习题3.2T13改编)函数y＝f (x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x)为奇函数，我们发现可以推广为：函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)＝图象的对称中心是P1(1，1) B．函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2) C．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数 D．类比上面推广结论：函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数 ABC　[因为函数y＝f (x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋a)－b为奇函数，则f (a－x)－b＝－[ f (a＋x)－b]，可得f (a－x)＋f (a＋x)＝2b，对于A，因为f (x)＝，则f (1－x)＋f (1＋x)＝＝2，所以，函数f (x)＝的图象关于点P1(1，1)对称，A正确；对于B，因为f (x)＝x3＋3x2，则f (－1－x)＝(－1－x)3＋3(－1－x)2＝－1－3x－3x2－x3＋3＋6x＋3x2＝－x3＋3x＋2，f (－1＋x)＝(－1＋x)3＋3(－1＋x)2＝x3－3x2＋3x－1＋3x2－6x＋3＝x3－3x＋2， 所以f (－1－x)＋f (－1＋x)＝4， 所以函数f (x)＝x3＋3x2图象的对称中心是P2(－1，2)，B正确； 若函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形， 在函数y＝f (x)的图象上任取一点(x，y)， 则该点关于直线x＝a的对称点(2a－x，y)在函数y＝f (x)的图象上， 所以f (2a－x)＝f (x)， 用a＋x替代等式f (2a－x)＝f (x)中的x可得f (a＋x)＝f (2a－(a＋x))＝f (a－x)， 此时，函数f (a＋x)为偶函数， 所以，函数y＝f (x)的图象关于直线x＝a成轴对称图形的充要条件为函数y＝f (a＋x)为偶函数， 对于C，类比上面推广结论： 函数y＝f (x)的图象关于直线x＝2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (x＋2)为偶函数，C正确； 对于D，函数y＝f (x)的图象关于直线x＝－2成轴对称图形的充要条件是函数y＝f (－2＋x)为偶函数，D错误．故选ABC．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数f (x)＝x3＋，若f (a)＝4，则f (－a)＋f ()＝________． －　[易知f (x)的定义域为{x|x≠0}，f (－x)＝－x3－＝－f (x)，即f (x)为奇函数，所以f (－a)＋f ()＝－f (a)＋()3＋．] 13．已知函数f (x)＝ 满足∀x1，x2∈R且x1≠x2，有>0，则实数a的取值范围是________． 　[因为∀x1，x2∈R，且x1≠x2都有>0成立， 所以函数f (x)在R上单调递增， 所以 解得0<a≤．] 14．几位同学在研究函数f (x)＝时给出了下列四个结论： ①f (x)的图象关于y轴对称； ②f (x)在(2，＋∞)上单调递减； ③f (x)的值域为R； ④当x∈(－2，2)时，f (x)有最大值； 其中正确结论的序号是________． ①②④　[对于①，函数定义域为(－∞，－2)∪(－2，2)∪(2，＋∞)，关于原点对称，f (－x)＝＝f (x)，即函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故①正确； 对于②，当x∈(2，＋∞)时，f (x)＝，利用反比例函数性质，可知函数在(2，＋∞)上单调递减，故②正确； ③由函数在(2，＋∞)上单调递减，知f (x)在(2，＋∞)上的值域为(0，＋∞)，当x∈，利用偶函数对称性知f (x)的值域为∪(0，＋∞)，故③错误； ④由③知，当x∈(－2，2)时，f (x)有最大值－，故④正确． 故答案为①②④．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)已知f (x＋2)＝2x＋3． (1)求f (x)； (2)求函数y＝的定义域和值域． [解]　(1)∵f (x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1， ∴f (x)＝2x－1． (2)由(1)得y＝， ∴y＝x≠－2}． ∵≠0，∴≠2， 即函数y＝y≠2}． 16．(本小题满分15分)已知f (x)是定义在R上的奇函数，且是减函数． (1)当x≥0时，f (x)＝－x2－2x，求函数f (x)在R上的解析式； (2)求使f (a－1)＋f (a2－1)<0成立的实数a的取值范围． [解]　(1)设x<0，则－x>0，所以f (－x)＝－x2＋2x， 因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数， 所以f (x)＝－f (－x)＝x2－2x， 所以函数f (x)在R上的解析式为f (x)＝ (2)因为f (x)是定义在R 上的奇函数，且是减函数， 所以由f (a－1)＋f (a2－1)<0，得f (a－1)<f (1－a2)， 所以a－1>1－a2， 解得a>1或a<－2， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞)． 17．(本小题满分15分)已知函数f (x)＝． (1)判断函数的奇偶性； (2)根据函数单调性的定义证明函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递减； (3)对于函数f (x)＝，若f (3a)＞f (2a＋3)，求实数a的取值范围． [解]　(1)函数f (x)＝，定义域为R， f (－x)＝＝－f (x)，所以f (x)为奇函数． (2)证明：根据题意，∀x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝ ＝ ＝， 因为1≤x1＜x2，则＞0，x2－x1＞0，x1x2－1＞0， 则f (x1)－f (x2)＞0，即f (x1)＞f (x2)， 故f (x)在[1，＋∞)上单调递减． (3)由(2)得，f (x)在[1，＋∞)上单调递减， 若f (3a)＞f (2a＋3)，则1≤3a＜2a＋3， 解得≤a＜3，即a的取值范围是． 18．(本小题满分17分)【教材原题·P100复习参考题3T5】已知幂函数y＝f (x)的图象过点，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单调性． [解]　依题意设f (x)＝xα，则2α＝，解得α＝，所以f (x)＝． 函数f (x)＝的图象如图， 由图象可知f (x)既不是奇函数也不是偶函数，函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减． 19．(本小题满分17分)已知二次函数f (x)的最小值为1，且f (0)＝f (2)＝3． (1)求f (x)的解析式； (2)若f (x)在区间[2a，a＋1]上不单调，求实数a的取值范围； (3)当x∈时，f (x)>4mx＋1恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)根据题意，二次函数f (x)满足f (0)＝f (2)＝3， 可得函数f (x)图象的对称轴为直线x＝1， 又函数f (x)的最小值为1， 可设f (x)＝a(x－1)2＋1(a>0)， 又因为f (0)＝3，即f (0)＝a＋1＝3， 解得a＝2， 所以函数f (x)的解析式为 f (x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3． (2)由函数f (x)＝2(x－1)2＋1， 其图象的对称轴为直线x＝1， 要使得函数f (x)在区间上不单调， 则满足2a<1<a＋1，解得0<a<， 故实数a的取值范围为． (3)由函数f (x)＝2x2－4x＋3， 可知若在上，f (x)>4mx＋1恒成立， 则2x2－4x＋3>4mx＋1在上恒成立， 即x2－2(1＋m)x＋1>0在上恒成立， 设g(x)＝x2－2(m＋1)x＋1， 则g(x)图象开口向上，对称轴为直线x＝m＋1， 又g(x)>0在上恒成立，即g(x)min>0， 当m＋1≤－，即m≤－时， g(x)在上单调递增， 则g(x)min＝g－2(m＋1)×＋1>0，解得m>－， 则－<m≤－； 当－<m＋1<2，即－<m<1时， g(x)min＝g(m＋1)＝(m＋1)2－2(m＋1)2＋1>0， 解得－2<m<0，则－<m<0； 当m＋1≥2，即m≥1时，g(x)在上单调递减， g(x)min＝g(2)＝22－2(m＋1)×2＋1>0， 解得m<(舍去)． 综上，实数m的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$