第3章 章末重构拓展-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦圆锥曲线核心知识，从定义及标准方程、几何性质，到直线与圆锥曲线位置关系、综合问题，构建从基础到应用的学习支架，系统梳理定义应用、方程求解、性质分析及综合问题解决方法。 资料以“回归定义”为解题策略，通过典型例题培养数学抽象与逻辑推理，如利用双曲线定义结合余弦定理求焦半径乘积，直线与抛物线位置关系中用韦达定理证垂直。测评题分层设计，课中辅助教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，提升数学运算与直观想象素养。

类型1　圆锥曲线的定义及标准方程 1．圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略． 2．求圆锥曲线标准方程的常用方法 (1)直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到动点的轨迹方程． (2)待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根据条件确定待定的系数． 3．圆锥曲线定义的应用及标准方程的求解体现了逻辑推理、数学运算、直观想象的数学学科素养． 【例1】　(1)已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　) A．2　　　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 (2)已知椭圆的一个焦点是F1(－3，0)，且经过点P(2，)，则这个椭圆的标准方程为________． (1)B　(2)＝1　[(1)由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2．在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝－2|PF1|·|PF2|·cos 60°，即(2)2＝＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4．故选B． (2)依题意得椭圆的另一个焦点为(3，0)，c＝3， 2a＝＝4，a＝2， 所以b＝＝＝， 所以这个椭圆的标准方程为＝1．] 类型2　圆锥曲线的几何性质 1．圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程． 2．求解离心率的三种方法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴上都有关系式a2－b2＝c2(a2＋b2＝c2)以及e＝，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法． (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法． (3)几何法：求与焦点三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观． 3．圆锥曲线的性质的讨论和应用充分体现了直观想象和逻辑推理的数学学科素养． 【例2】　(1)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为12，则C的方程为(　　) A．＋y2＝1　　　　 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)已知双曲线C的方程为＝1(a>0，b>0)，过右焦点F作双曲线在第一、三象限的渐近线的垂线l，垂足为P，l与双曲线C的左、右支的交点分别为点A，B． ①求证：P在直线x＝上； ②求双曲线C的离心率e的取值范围； ③若|AP|＝3|PB|，求离心率e． (1)D　[由椭圆的定义，知|AF1|＋|AF2|＝2a， |BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12． 所以a＝3．因为椭圆的离心率e＝＝，所以c＝2． 所以b2＝a2－c2＝5．所以椭圆C的方程为＝1．故选D．] (2)[解]　①证明：由题意知，l：y＝－(x－c)，由y＝x及y＝－(x－c)，联立解得点P的坐标为，所以点P在直线x＝上． ②由消去y并整理得(b4－a4)x2＋2a4cx－a2(a2c2＋b4)＝0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝． 由于点A，B分别在两支上， 所以x1x2＝<0，所以b2>a2，即c2>2a2，所以e>，所以双曲线C的离心率e的取值范围为(，＋∞)． ③由题意知：P分AB所成的比λ＝3， 所以＝， 即x1＋3x2＝． 又由x1＋x2＝， 解得x1＝，x2＝， 从而 ·＝， 化简得4a2＝b2， 所以e＝＝＝． 类型3　直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式． 2．借助直线与圆锥曲线的位置关系问题培养直观想象和数学运算的数学学科素养． 【例3】　已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过焦点F的直线与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，D． (1)求y1y2的值； (2)求直线AD与C的公共点的个数； (3)证明：DA⊥DB． [解]　(1)由题意知F(2，0)，直线AB的斜率不为0． 设直线AB的方程为x＝my＋2，与y2＝8x联立得y2－8my－16＝0，Δ＞0， 又A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y2＝－16． (2)已知点D， 则直线AD的斜率为＝＝＝， 所以直线AD的方程为y－y1＝，即4x＝， 与y2＝8x联立得＝0，解得y＝y1， 所以直线AD与C只有1个公共点A． (3)证明：由(1)知，y1y2＝－16， 所以＝ ＝ ＝－8＝0， 所以DA⊥DB． 类型4　圆锥曲线的综合问题 1．圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解． 2．本类型题目在考查时通常第一问涉及定义、方程以及几何性质的求解，较为简单；第二问综合性强，计算量大，较为复杂． 3．通过圆锥曲线综合问题的解决，培养学生逻辑推理和数学运算的数学学科素养． 【例4】　已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C的上顶点，N为C的右顶点，|MN|＝2，△MF1F2为直角三角形． (1)求C的方程； (2)若直线l：y＝kx－1交C于A，B两点，求△MAB面积的最大值． [解]　(1)由题可得 解得a＝2，b＝c＝2， 故椭圆C的方程为＝1． (2)如图，设B(x1，y1)，A(x2，y2)， 联立消去y并整理得(1＋2k2)x2－4kx－6＝0，显然Δ＞0恒成立， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 又直线y＝kx－1恒过点(0，－1)，且点(0，－1)在椭圆内，M为C的上顶点，所以M(0，2)． 故S△MAB＝×3|x2－x1|＝＝ ＝＝3， 令16k2＋6＝t，则k2＝(t≥6)， 故3＝3＝3＝24， 易知函数y＝t＋＋4在[6，＋∞)上单调递增，故t＋＋4≥6＋＋4＝， 故，因此S△MAB≤24×＝3， 故当t＝6，k＝0时，△MAB面积取得最大值3． 章末综合测评(三)　圆锥曲线的方程 (时间：120分钟　满分：150分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线C：y＝x2的焦点坐标为(　　) A． C． A　[∵抛物线C的方程可化为x2＝y， ∴其焦点坐标为． 故选A．] 2．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，实轴长为4，则双曲线的方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1或＝1 D．＝1或＝1 C　[因为实轴长2a＝4，即a＝2， 若双曲线焦点在x轴上，则b＝a＝2，则双曲线方程为＝1； 若双曲线焦点在y轴上，则b＝a＝，则双曲线方程为＝1． 故选C．] 3．曲线＝1与曲线＝1(k＜9且k≠0)的(　　) A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 C　[曲线＝1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆．曲线＝1(k＜9且k≠0)表示焦点在y轴上，长轴长为2，短轴长为2，焦距为2＝8，离心率为的椭圆． 故选C．] 4．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，则|PF1|2＋|PF2|2的取值范围是(　　) A．[1，16] B．[4，10] C．[8，10] D．[8，16] C　[已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在C上，所以a＝2，c＝1． 设|PF1|＝t，a－c≤|PF1|≤a＋c，则t∈[1，3]，则|PF2|＝4－t， 则|PF1|2＋|PF2|2＝t2＋(4－t)2＝2(t－2)2＋8，又t∈[1，3]，则|PF1|2＋|PF2|2∈[8，10]，故选C．] 5．已知F为双曲线C：＝1的左焦点，P，Q为双曲线C右支上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PFQ的周长为(　　) A．28 B．36 C．44 D．48 C　[如图，∵双曲线C：＝1的左焦点为F(－5，0)， ∴点A(5，0)是双曲线的右焦点， 又b＝4，∴虚轴长为2b＝8， ∴|PQ|＝16． ∵|PF|－|PA|＝2a＝6，① |QF|－|QA|＝2a＝6，② ∴①＋②得|PF|＋|QF|－|PQ|＝12， ∴△PFQ的周长l＝|PF|＋|QF|＋|PQ|＝12＋2|PQ|＝44． 故选C．] 6．已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　) A．3 B．2 C．2 D．4 C　[设椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)，由题意得a2＝b2＋4． 由 消去x得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋b2(16－a2)＝0． ∵椭圆与直线有且仅有一个交点， ∴Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)·b2(16－a2)＝4a2b2·(a2＋3b2－16)＝0，又c＝2，∴a2＝b2＋4，解得a2＝7，从而长轴长为2．] 7．如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C1：＝1(a1＞b1＞0)与双曲线C2：＝1(a2＞0，b2＞0)有相同的焦点F1，F2，C2的渐近线分别交C1于A，C和B，D四点，若多边形ABF2CDF1为正六边形，则C1与C2的离心率之和为(　　) A．－1 B．2 C．＋1 D．2 C　[由题意可知，|AB|＝|OF1|＝|AF1|＝c． ∵多边形ABF2CDF1为正六边形，∴∠BOF2＝60°，∴＝tan 60°＝，∴双曲线C2的离心率e2＝＝＝2． 连接AF2(图略)，则|AF2|＝＝c，又∵|AF1|＝c，∴|AF1|＋|AF2|＝c＋c＝2a1， ∴椭圆C1的离心率e1＝＝＝－1，∴C1与C2的离心率之和为2＋－1＝＋1，故选C．] 8．抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x＋3的距离之和的最小值为(　　) A． C． D　[已知抛物线的方程为y2＝8x， 则其焦点坐标为F(2，0)，准线方程为x＝－2，如图， 设抛物线上的点M到其准线的距离为|MM′|，点M到直线y＝2x＋3的距离为|MN|， 由抛物线的定义可知|MM′|＝|MF|，则|MM′|＋|MN|＝|MF|＋|MN|， 其最小值为焦点F(2，0)到直线y＝2x＋3的距离， 结合点到直线的距离公式，可得d＝＝， 即抛物线y2＝8x上的点到其准线的距离与到直线y＝2x＋3的距离之和的最小值为． 故选D．] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若方程＝1所表示的曲线为C，则下面命题中正确的是(　　) A．若1<t<5，则C为椭圆 B．若t<1，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 BD　[对于A，若方程＝1表示椭圆， 则满足 解得1<t<3或3<t<5． 当t＝3时，此时方程为x2＋y2＝2表示圆，所以A不正确； 对于B，当t<1时，5－t>0，t－1<0，此时表示焦点在x轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，当t＝0时，方程＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为2，所以C不正确； 若方程＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则满足解得3<t<5， 所以D正确． 故选BD．] 10．已知双曲线C：＝1，给出以下4个命题，其中为真命题的是(　　) A．直线y＝x＋1与双曲线有两个交点 B．双曲线C与＝1有相同的渐近线 C．双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3 D．双曲线C的焦点坐标为(－13，0)，(13，0) BC　[对于A，因为直线y＝x＋1与双曲线C的渐近线y＝x平行， 则直线y＝x＋1与双曲线只有一个交点，即A错误； 对于B，两曲线渐近线方程均为y＝±x，即B正确； 对于C，双曲线C：＝1的右焦点为(，0)， 则该点到渐近线y＝x的距离为＝3，即C正确； 对于D，因为c2＝a2＋b2＝13，所以双曲线C的焦点坐标为(，0)和(－，0)，即D错误．故选BC．] 11．已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)作斜率为的直线交抛物线C于A，B两点，则下列结论一定正确的是(　　) A．∠AOF＝∠BOF B．|AB|＝ C．S△AOB＝ D．∠AOB＜90° BC　[因为抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(2，0)， 所以＝2，则p＝4，则抛物线C：y2＝8x，准线方程为x＝－2， 则直线的方程为y＝x－2，设B(x1，y1)，A(x2，y2)， 联立消去y并整理得3x2－20x＋12＝0， 解得或 所以A(6，4)，B， 所以|AB|＝x1＋2＋x2＋2＝＋4＝， S△AOB＝|OF|×|y1－y2|＝×2×＝， 故选项BC正确； 又tan ∠AOF＝kOA＝， tan∠BOF＝－kOB＝2， 所以tan ∠AOF≠tan ∠BOF，故∠AOF≠∠BOF，故A错误； 因为＝(6，4)，＝， 所以＝(6，4)·＝4－16＝－12＜0， 即〈〉为钝角，所以∠AOB为钝角，故D错误． 故选BC．] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．(教材原题·P127习题3.2T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________． 17　[把双曲线的方程化为＝1．因为a＝8，由双曲线的定义可知，点P到两个焦点距离的差的绝对值等于16，故点P到另一个焦点的距离为2a＋1＝17．] 13．已知焦点在y轴上的椭圆＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为，则正数a＝________． 　[由题意焦点在y轴上的椭圆＝1(a＞)， 把直线方程y＝3x－2代入椭圆方程并整理得(a2＋18)x2－24x＋2(4－a2)＝0，Δ＞0， 设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由根与系数的关系，可得x1＋x2＝， 椭圆＝1被直线3x－y－2＝0截得的弦的中点横坐标为， 由中点坐标公式可得＝，所以a2＝6，可得a＝．] 14．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，且|DE|＝|AB|，则直线l的方程为________． 2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0　[设|AB|＝2r(2r≥4)，AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A1，B1，如图所示． 由抛物线的定义知 2(|MN|＋1)＝|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝|AB|＝2r，故|MN|＝r－1， 所以|DE|＝2＝r， 即16r2－50r＋25＝0，解得r＝或r＝(舍去)，故M的横坐标为， 又|DE|＝|AB|，所以直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 则x1＋x2＝＝3，解得k＝±2，故直线l的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0．] 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知F1，F2两点坐标分别为(－1，0)，(1，0)，直线MF1与MF2斜率之积为24，过点P(2，6)作直线l交轨迹M于A，B两点． (1)求M的轨迹方程； (2)若P恰为弦AB的中点，求直线l的斜率． [解]　(1)设M(x，y)，由题意得＝24，x≠±1， 化简整理得x2－＝1， 所以点M的轨迹方程为x2－＝1(x≠±1)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝＝1， 所以(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 所以＝24， 故kAB×＝24， 所以kAB＝8， 所以直线l的斜率为8． 16．(15分)(教材原题·P146复习参考题3T15)综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜．这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为2 m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示．其中，一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知F1，F2是双曲线的两个焦点，其中F2同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸(单位：mm)，分别求抛物线和双曲线的方程． [解]　如图，以连接F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点，建立平面直角坐标系．对于抛物线，有＝1 763＋529＝2 292，所以p＝4 584．对于双曲线，有解得a＝775.5，c＝1 304.5．因此，b2＝c2－a2＝1 100 320．所以，所求双曲线的方程是＝1(x≥775.5)．因为抛物线的顶点横坐标是－(1 763－775.5)＝－987.5．所以，所求抛物线的方程为y2＝9 168(x＋987.5)． 17．(15分)已知动点P到定点F(1，0)的距离和它到直线l：x＝4的距离的比是常数，P点的轨迹称为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)若倾斜角为的直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝，求直线l的方程． [解]　(1)设P(x，y)， 则＝， 整理得3x2＋4y2＝12， ∴曲线C的方程为＝1． (2)由题意设直线l：y＝x＋m， 联立消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－28×(4m2－12)＞0，得m2＜7， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， 则|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝， 整理得m2＝1，满足m2＜7，∴m＝±1． 即直线l的方程为y＝x＋1或y＝x－1． 18．(17分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5． (1)求抛物线C的方程； (2)过焦点F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，求|AB|＋|DE|的最小值． [解]　(1)因为点M在抛物线上，且点M的横坐标为4，|MF|＝5， 所以|MF|＝4＋＝5，解得p＝2，则抛物线C的方程为y2＝4x． (2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)，直线l1的方程为y＝k1(x－1)，联立消去y并整理得＝0， 此时Δ＝＝＋16＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝，同理得x3＋x4＝， 因为直线l1，l2相互垂直，所以k1k2＝－1， 所以|AB|＋|DE|＝x1＋x2＋x3＋x4＋2p＝＋4＝＋8＝16， 当且仅当k1＝－k2＝1或k1＝－k2＝－1时，等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为16． 19．(17分)(2024·北京卷)已知椭圆E：＝1(a>b>0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点(0，t)(t>)且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点为D． (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值． [解]　(1)由题意可知b＝，c＝， 所以a＝＝2， 故椭圆E的方程为＝1，离心率e＝＝． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋t(k≠0)， 联立消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－4＝0． 所以Δ＝(4kt)2－4(1＋2k2)(2t2－4)>0，即4k2－t2＋2>0， 由根与系数的关系得 若直线BD的斜率为0， 由椭圆的对称性可得D(－x2，y2)， 因为A，C，D三点共线，所以kAC＝kCD， 所以＝，即x1y2＋x2y1－(x1＋x2)＝0． 由y1＝kx1＋t，y2＝kx2＋t，得 x1(kx2＋t)＋x2(kx1＋t)－(x1＋x2)＝0， 整理得2kx1x2＋(t－1)(x1＋x2)＝0， 所以2k·＋(t－1)·＝0， 解得t＝2． 17/17 学科网（北京）股份有限公司 $$