3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及其性质的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线标准方程及其性质应用，涵盖第二定义、直线与双曲线位置关系、弦长及中点弦问题。通过“问题初探”设问导入，结合椭圆第二定义对比，构建知识迁移支架，帮助学生衔接旧知。 其亮点是“探究建构-典例讲评-母题探究-学以致用”闭环设计，以距离比为e>1生成双曲线定义培养数学眼光，分类讨论直线与双曲线位置关系发展数学思维，点差法解决中点弦问题强化数学运算。母题探究对比e=5/4（双曲线）与e=1/2（椭圆）助学生理解本质，对学生提升推理与运算能力，对教师提供分层资源优化教学。

第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 3.2　双曲线 3.2.2　双曲线的简单几何性质 第三章 圆锥曲线的方程 [学习目标]　 1．理解直线与双曲线的位置关系．(数学运算、直观想象) 2．会求解双曲线的弦长问题．(数学运算、逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．直线与双曲线只有1个交点，是不是直线与双曲线相切？ 问题2．你了解双曲线的第二定义吗？ 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 探究建构 关键能力达成 探究1　双曲线定义及其应用 问题1　通过学习教材P125例5，你有什么发现？ [提示]　当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比值是常数且大于1时，点M的轨迹是双曲线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [新知生成] 双曲线的第二定义：当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝(e＞1)时，点M的轨迹是双曲线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 【教用·微提醒】　(1)定点和定直线是相对应的，如定点是(c，0)，则定直线为x＝． (2)距离比是离心率e，若e＞1，则点M的轨迹是双曲线，若0＜e＜1，则点M的轨迹是椭圆． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [典例讲评]　【链接教材P125例5】 1．已知动点M(x，y)到定点F(5，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹就是点的集合P＝， 由此得＝． 将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144， 即＝1． 所以点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为8、虚轴长为6的双曲线． [母题探究]　动点M(x，y)到定点F(2，0)的距离和它到定直线l：x＝8的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l：x＝8的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝， 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 由此得＝，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即＝1． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为8、短轴长为4的椭圆． 【教材原题·P125例5】 例5　动点M(x，y)与定点F(4，0)的距离和它到定直线l：x＝的距离的比是常数，求动点M的轨迹． [解]　设d是点M到直线l的距离，根据题意，动点M的轨迹就是点的集合P＝，由此得＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 将上式两边平方，并化简，得7x2－9y2＝63， 即＝1． 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为2的双曲线(图3.2-11)． 反思领悟　双曲线和椭圆有统一的定义：点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e＝．当e＞1时，点M的轨迹是双曲线；当0＜e＜1时，点M的轨迹是椭圆． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [学以致用]　【链接教材P127习题3.2T10】 1．双曲线＝1上一点P到右焦点的距离为3，则点P到直线x＝的距离为(　　) A．　　　B．　　　C．　　　D． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 C　[由双曲线＝1知a＝3，b＝2，c＝， 离心率e＝＝，右焦点为F(，0)，设点P到直线x＝＝的距离为d，则＝e， 所以d＝＝＝＝．故选C．] 【教材原题·P127习题3.2T10】设动点M与定点F(c，0)(c＞0)的距离和M到定直线l：x＝的距离的比是(a＜c)，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． [答案]　＝1(a＞0)，轨迹是双曲线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 探究2　直线与双曲线的位置关系 问题2　当直线与双曲线仅有一个公共点时，该直线与双曲线一定相切吗？ [提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线仅有一个交点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [新知生成] 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m(m≠0)， ① 双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)， ② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 a．当A＝0时，直线l与双曲线的______平行，直线与双曲线C相交于一点． b．当A≠0时． ①Δ＞0⇒直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相交； ②Δ＝0⇒直线与双曲线有____公共点，此时直线与双曲线相切； ③Δ＜0⇒直线与双曲线____公共点，此时直线与双曲线相离． 渐近线 两个 一个 没有 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 【教用·微提醒】　(1)直线与双曲线相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直线与双曲线可能相切或相交． (2)消元后注意二次项的系数，二次项系数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行． 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [典例讲评]　2．已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝kx－1，试讨论满足下列条件的实数k的取值范围． (1)直线l与双曲线有两个公共点； (2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0．① (1)直线l与双曲线有两个公共点，则方程①有两个不相等的根． ∴ 解得－＜k＜，且k≠±1， ∴实数k的取值范围为∪(－1，1)． (2)直线l与双曲线只有一个公共点，则方程①只有一解． 当1－k2≠0，即k≠±1时， 令Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0．得k＝±， 此时方程①有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时， 直线l与双曲线的渐近线平行，方程①化为2x＝5或－2x＝5，故方程①只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个公共点．故当k＝±或k＝±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点． (3)直线l与双曲线没有公共点，则方程①无解． ∴解得k＞或k＜－． 则实数k的取值范围为． 反思领悟　1．解决直线与双曲线的公共点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况． 2．对于双曲线与直线只有一个公共点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行． 3．注意对直线的斜率是否存在进行讨论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [学以致用]　2．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C过点A(2，0)，且其离心率为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线l：kx－y－1＝0与双曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　(1)由题意可设双曲线C的标准方程为＝1，其中a＝2， 由e＝＝，得b＝3， 则双曲线C的标准方程为＝1． (2)联立直线kx－y－1＝0与双曲线方程9x2－4y2＝36，得(9－4k2)x2＋8kx－40＝0，(※) 当9－4k2＝0，即k＝±时，方程(※)有且只有一解，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，符合题意； 当9－4k2≠0时，由Δ＝64k2－4(9－4k2)(－40)＝0， 得k＝±，此时方程(※)有且只有一解，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，也符合题意． 综上所述，实数k的值为±，±． 探究3　弦长公式及中点弦问题 [典例讲评]　【链接教材P126例6】 3．已知双曲线的方程是－y2＝1． (1)直线l的倾斜角为，被双曲线截得的弦长为，求直线l的方程； (2)过点P(3，1)作直线l′，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求直线l′的方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　(1)设直线l的方程为y＝x＋m，代入双曲线方程，得3x2＋8mx＋4(m2＋1)＝0，Δ＝(8m)2－4×3×4(m2＋1)＝16(m2－3)>0，∴m2>3． 设直线l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则x1＋x2＝－m，x1x2＝． 由弦长公式得|AB|＝|x1－x2|＝＝＝， ∴＝，即m＝±5，满足m2>3， ∴直线l的方程为y＝x±5． (2)设直线l′与双曲线交于A′(x3，y3)，B′(x4，y4)两点， 点P(3，1)为A′B′的中点，则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2． 由＝＝4， 两式相减得(x3＋x4)(x3－x4)－4(y3＋y4)(y3－y4)＝0， ∴＝，∴l′的方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0． 把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋＝0，满足Δ>0， 即所求直线l′的方程为3x－4y－5＝0． 【教材原题·P126例6】 例6　如图3.2-12，过双曲线＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)． 因为直线AB的倾斜角是30°，且经过右焦点F2，所以直线AB的方程为 y＝(x－3)．　　① 由消去y，得5x2＋6x－27＝0． 解方程，得x1＝－3，x2＝． 将x1，x2的值分别代入①，得 y1＝－2，y2＝－． 于是，A，B两点的坐标分别为(－3，－2)，． 所以|AB|＝＝＝． 反思领悟　双曲线中有关弦长的问题，解决方法与椭圆中类似．解决中点弦问题常用判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [学以致用]　【链接教材P128习题3.2T13】 3．已知双曲线方程为2x2－y2＝2，则以点A(2，3)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为__________________． 4x－3y＋1＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 4x－3y＋1＝0　[设弦的两端点分别为P(x1，y1)， Q(x2，y2)，则＝＝2， 两式相减，得2(x1－x2)·(x1＋x2)－(y1－y2)·(y1＋y2)＝0． 又x1＋x2＝4，y1＋y2＝6， ∴8(x1－x2)－6(y1－y2)＝0⇒kPQ＝， 因此直线PQ的方程为y－3＝(x－2)， 即4x－3y＋1＝0，经验证，直线4x－3y＋1＝0与双曲线相交于两点． 因此符合题意的直线方程为4x－3y＋1＝0．] 【教材原题·P128习题3.2T13】已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？ [解]　因为过点P(1，1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点，易知，直线l的方程不是x＝1．设直线l的方程为y－1＝k(x－1)，即y＝kx＋1－k． 将y＝kx＋1－k代入x2－＝1，得(2－k2)x2－2k(1－k)x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)．① 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，可得x1＋x2＝． 若P是线段AB的中点，得＝1． 即＝1，解得k＝2． 将k＝2代入方程①，得2x2－4x＋3＝0． 因为Δ＝16－24＝－8＜0，此方程没有实数解． 所以，P不是线段AB的中点． 4．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，点P(2，)在双曲线C上． (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点P且斜率为2的直线与双曲线C的另一个交点为Q，求|PQ|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 [解]　(1)因为双曲线的实轴长为2， 所以2a＝2，解得a＝． 又因为点P(2，)在双曲线C上，所以＝1，解得b＝， 所以双曲线C的标准方程为＝1． (2)由题可得过点P且斜率为2的直线方程为y－＝2(x－2)， 即y＝2x－3，联立消去y可得 7x2－24x＋20＝0，Δ＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|PQ|＝＝＝． 应用迁移 随堂评估自测 1．(教材P145复习参考题3T4改编)若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A．(－2，2) B．[－2，2) C．(－2，2] D．[－2，2] √ A　[易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0，由Δ>0可得－2<k<2．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 2．设A，B为双曲线＝1上的两点，若线段AB的中点为M(3，6)，则直线AB的方程是(　　) A．x＋y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 C　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则有两式相减，得＝， 因为线段AB的中点为M(3，6)，所以x1＋x2＝6，y1＋y2＝12， 因此由＝⇒＝1， 即直线AB的斜率为1，方程为x－y＋3＝0，经检验，该直线与双曲线交于两点，符合题意，故选C．] 3．经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长为(　　) A． C． D．7 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 B　[双曲线x2－y2＝8的右焦点为(4，0)，经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－4)，代入x2－y2＝8并整理得3x2－32x＋72＝0，设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为|x1－x2|＝＝＝．] 4．已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F．若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是________________． [2，＋∞)　[数形结合知，则≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝≥4，所以e≥2．] [2，＋∞) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 1．知识链：       2．方法链：定义法、坐标法、点差法． 3．警示牌：判断直线与双曲线的交点个数时，方程联立消元后，忽视对二次项系数的讨论．代数计算中的运算失误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式和直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同？你能写出来吗？ [提示]　完全相同．直线y＝kx＋m与双曲线＝1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 2．直线与双曲线只有一个公共点，那么直线与双曲线一定相切吗？ [提示]　不一定．当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时二者相交，不相切． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 一、选择题 1．若直线l：x＋my－m－2＝0与双曲线－y2＝1有且只有一个交点，则满足条件的直线l有(　　) A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 课时分层作业(三十一)　双曲线的标准方程及其性质的应用 √ 51 C　[直线l：x＋my－m－2＝0，即m(y－1)＋x－2＝0恒过点(2，1)， 又双曲线的渐近线方程为y＝±x， 则点(2，1)在其中一条渐近线y＝x上， 又直线与双曲线只有一个交点， 则直线l过点(2，1)且平行于y＝－x或过点(2，1)且与双曲线的右支相切， 即满足条件的直线l有2条．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P为双曲线C上的动点，过点F2作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．直线 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 53 A　[如图，点F2关于∠F1PF2的角平分线PQ的对称点M在PF1上，故|F1M|＝|PF1|－|PM|＝|PF1|－|PF2|＝2a，又OQ是△F2F1M的中位线，故|OQ|＝a，所以点Q的轨迹是以原点为圆心，a为半径的圆．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 54 3．直线l与双曲线x2－＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(3，2)，则直线l的斜率为(　　) A．3　　　　B．6　　　　C．8　　　　D．12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又线段AB的中点为M(3，2)， 则x1＋x2＝6，y1＋y2＝4， 则⇒(x1＋x2)(x1－x2)－＝0， 化简得＝4⇒＝4×＝4×＝6，即kAB＝6．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 55 4．已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支分别交于点M，N．若＝2，则直线l的方程为(　　) A．y＝x－1 B．y＝x－1或y＝－x－1 C．y＝x－1或y＝－x－1 D．y＝x－1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 56 C　[易知直线l的斜率存在，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1， 联立消去y得(5－k2)x2＋2kx－2＝0，则Δ＝4k2＋8(5－k2)＞0，即k2＜10，所以x1＋x2＝，① x1x2＝，② 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 57 因为＝2，P(0，－1)， 即(－x1，－1－y1)＝2(x2，1＋y2)， 则－x1＝2x2，③ 联立①③解得x1＝，x2＝， 代入②化简得5k2－5＝0，解得k＝±1，满足k2＜10， 所以直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 58 5．设曲线C：x＝，过点(，0)的直线l与C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线x＝－和l于点M，N，若|AB|＝|MN|，则l的斜率可以为(　　) A．－2 B． C．2 D．2＋ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 59 D　[因为曲线C：x＝≥1， 整理得x2－y2＝1(x≥1)， 所以曲线C是双曲线x2－y2＝1的右支，双曲线的右焦点为F(，0)，渐近线为y＝±x． 由题意知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k(x－)，|k|＞1，故选项A错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 60 联立消去y并整理得 (k2－1)x2－2k2x＋2k2＋1＝0， 此时Δ＞0，由根与系数的关系得xA＋xB＝，xAxB＝， 则|AB|＝|xA－xB|＝ ＝＝， 因为线段AB的垂直平分线交直线l于点N， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 61 所以xN＝＝，又直线MN的斜率为－， 所以|MN|＝|xM－xN|＝ ＝． 因为|AB|＝|MN|，所以＝，|k|＞1， 解得k＝±(2＋)．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 62 二、填空题 6．过双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 63 2　[令x＝－c，得y2＝，则|MN|＝． 由题意得a＋c＝，即a2＋ac＝c2－a2， ∴－－2＝0， ∴＝2或＝－1(舍去)， 即离心率为2．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 64 7．(2024·北京卷)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 　[由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3，0)．因为点(3，0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 65 8．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 ±1　[由消去y得x2－2mx－m2－2＝0．则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)． 又点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1．] ±1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 66 三、解答题 9．已知双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点F到渐近线的距离为1． (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于不同两点，求实数k的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 67 [解]　(1)因为e＝，则＝，即c＝a， 由题意，不妨设焦点F(c，0)，其中一条渐近线为bx－ay＝0， 则焦点F到渐近线的距离d＝＝1， 则解得 所以双曲线E的标准方程为x2－y2＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 68 (2)设直线l：y＝kx－1与双曲线E的左支交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立化简得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 因为直线l与双曲线左支交于不同两点， 所以解得 即－＜k＜－1， 所以实数k的取值范围为(－，－1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 69 10．(多选)已知双曲线C：＝1，点P(1，2)，则(　　) A．该双曲线的渐近线方程为y＝±x B．过点(3，0)的直线与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝5，则满足的直线有1条 C．与双曲线C的两支各有一个交点的直线的斜率可以是1.1 D．过点P能作4条与双曲线C仅有一个交点的直线 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 70 ACD　[对于A，双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确； 对于B，由于双曲线的实轴长为2a＝4，c＝3， 所以过焦点F与左、右两支都相交的直线被双曲线截得的弦长的取值范围是[4，＋∞)， 所以存在关于x轴对称的两条直线，使其弦长为5，另外当直线垂直于x轴时，经计算可得弦长正好是5，故满足条件的直线有三条，故B错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 71 对于C，由于双曲线的渐近线的斜率为±，焦点在x轴上， 若直线l与双曲线C的两支各有一个交点， 则直线l的斜率k∈， 因为1.1∈，故C正确； 对于D，由于点P(1，2)在双曲线的两条渐近线的上方，如图所示： 故过点P能作4条直线与双曲线C仅有一个交点，其中两条与渐近线平行，另外两条与双曲线相切，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 72 11．过点A(3，－1)且被A点平分的双曲线－y2＝1的弦所在的直线方程是__________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 3x＋4y－5＝0　[易知所求直线的斜率存在，设为k， 则该直线的方程为y＋1＝k(x－3)，代入－y2＝1， 消去y得 (1－4k2)x2＋(24k2＋8k)x－36k2－24k－8＝0(1－4k2≠0)， ∴－＝6，∴k＝－(满足Δ>0)， ∴所求直线方程为3x＋4y－5＝0．] 3x＋4y－5＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 73 12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，且过点(3，)． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为1的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求|AB|； (3)若M，N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为2，线段MN的中点为P，证明：点P在直线x－6y＝0上． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 74 [解]　(1)双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，且过点(3，)， 可得2a＝2，则a＝， 将点(3，)代入＝1，得＝1，解得b＝1， 故双曲线C的方程为－y2＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 75 (2)由(1)知双曲线的右焦点为F(2，0)， 直线l过双曲线C的右焦点F，其斜率为1，可得直线l的方程为y＝x－2， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得2x2－12x＋15＝0， Δ＝122－4×2×15＝24＞0，x1＋x2＝6，x1x2＝， 所以|AB|＝＝2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 76 (3)证明：设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 则两式相减得(x3－x4)(x3＋x4)＝3(y3－y4)(y3＋y4)， 设P(x0，y0)，则所以2x0(x3－x4)＝3×2y0(y3－y4)， 由直线MN的斜率为2，可得＝2， 所以x0＝3×y0×2，即x0＝6y0， 所以点P在直线x－6y＝0上． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 77 13．设A，B为双曲线x2－＝1上两点，如下四个点：P1(1，1)，P2(－1，2)，P3(1，3)，P4(－1，－4)中，可作为线段AB中点的是__________________．(请将所有满足条件的点填入) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 P4(－1，－4) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第2课时　双曲线的标准方程及其性质的应用 78 P4(－1，－4)　[结合题意可知，直线AB的斜率存在且不为零．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得 两式作差，得＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝ ＝9，即＝kAB·＝9， 因此kAB＝9·． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 79 由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．对于P1(1，1)，因为kAB＝9×＝9>3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P2(－1，2)，因为kAB＝9×＝－<－3，所以直线AB与双曲线无交点，不符合题意；对于P3(1，3)，kAB＝9×＝3，此时直线AB与渐近线y＝3x重合，与双 曲线不可能有两个交点，不符合题意；对于P4(－1，－4)， 因为kAB＝9×＝<3，所以直线AB与双曲线有两个交点， 满足题意．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 80 $$