第3章 微专题7 圆锥曲线中的综合问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学圆锥曲线中的综合问题，系统梳理范围与最值、定点与定值、求值与证明三类核心题型，构建从直线方程设取、联立方程组到判别式应用、根与系数关系及设而不求的解题脉络，搭建基础到综合的学习支架。 资料以高考重点为导向，例题分类清晰且解析规范，如例1通过斜率存在与否的分类讨论培养逻辑推理能力，代数法解决几何问题发展抽象能力与几何直观。课中助力教师系统教学，课后学生可借助例题模仿与强化练习巩固，有效查漏补缺。

微专题7　圆锥曲线中的综合问题 圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点、热点和难点，涉及的知识面广，题目综合性强，对思维能力要求比较高．解决的基本思路是利用代数法，从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解．解答过程中主要注意以下三点： (1)根据条件设出合适的直线方程，当不知道直线是否有斜率时，需要分两种情况讨论． (2)具体求解时，常用到“根与系数的关系”及“设而不求，整体代入”的方法． (3)不要忽视判别式的作用，在解题过程中，判别式起到了限制参数范围的作用． 类型1　范围与最值问题 【例1】　动点M与定点F(，0)的距离和它到定直线m：x＝2的距离比是常数． (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)若直线l过点Q(0，－1)，且与C交于A，B两点，当|AB|最大时，求直线l的方程． [解]　(1)设M(x，y)，由题意得＝， 整理得M的轨迹C的方程为＝1． (2)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，此时|AB|＝2； 当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示． 联立方程消去y得(1＋2k2)x2－4kx－2＝0， Δ＝16k2＋8(1＋2k2)＝32k2＋8＞0恒成立，故k∈R， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|AB|＝＝2， 令t＝1＋2k2，t≥1，则k2＝， 可得|AB|＝2＝2＝2 ＝2， 当＝，即t＝2，k＝±时，|AB|取得最大值3． 综上所述，当|AB|最大时，所求直线l的方程为y＝±x－1． 类型2　定点与定值问题 【例2】　若P(2，2)为抛物线C：y2＝mx上一点，过P作两条关于直线x＝2对称的直线分别交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点． (1)求抛物线C的方程与焦点坐标； (2)判断直线AB的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． [解]　(1)根据题意可得22＝2m，则m＝2， 故所求抛物线C的方程为y2＝2x，其焦点坐标为． (2)由题意知，直线AB的斜率存在，不妨设直线AB的方程为y＝kx＋t， 联立消去y得k2x2＋(2kt－2)x＋t2＝0， 则Δ＝(2kt－2)2－4t2k2＝4－8kt＞0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为直线PA与PB关于直线x＝2对称， 所以kPA＋kPB＝0，又＝＝2x2， 所以kPA＋kPB＝＝＝＝0， 化简得y1＋y2＋4＝0，即k(x1＋x2)＋2t＋4＝0， 即－k·＋2t＋4＝0，解得k＝－， 所以直线AB的斜率为定值－． 类型3　求值与证明问题 【例3】　(2024·全国甲卷)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的右焦点为F，点M在C上，且MF⊥x轴． (1)求C的方程； (2)过点P的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴． [解]　(1)设F，由题设有c＝1且＝，故＝，解得a＝2，b＝， 故椭圆C的方程为＝1． (2)分析知直线AB的斜率必定存在，设AB：y＝k(x－4)，A，B． 由 消去y可得x2－32k2x＋64k2－12＝0， 故Δ＝1 024k4－4>0， 故－<k<， 又x1＋x2＝，x1x2＝， 而N，故直线BN：y＝，故yQ＝＝， 所以y1－yQ＝y1＋＝＝ ＝k·＝k·＝k·＝0， 故y1＝yQ，即AQ⊥y轴． 微专题强化练(七)　圆锥曲线中的综合问题 1．如图，O为坐标原点，过点P(2，0)且斜率为k的直线l交抛物线y2＝2x于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点． (1)求x1x2的值； (2)求证：OM⊥ON． [解]　(1)由题意可得直线l的方程为y＝k(x－2)， 联立 消去y可得k2x2－(4k2＋2)x＋4k2＝0， Δ＞0， 又M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1x2＝＝4． (2)证明：由(1)可得y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝k2·＝－4， 则＝x1x2＋y1y2＝4－4＝0， 所以⊥，即OM⊥ON． 2．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，过点A． (1)求椭圆C的方程； (2)直线y＝x＋m与椭圆交于M，N两点． ①当m＝1时，求|MN|； ②当OM⊥ON时，求m的值．(O为坐标原点) [解]　(1)由题意可知解得 所以椭圆C的方程为＝1． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ①联立消去y并整理得7x2＋8x－8＝0，则Δ＝64－4×7×(－8)＞0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 因此|MN|＝＝＝． ②联立消去y并整理得7x2＋8mx＋4m2－12＝0， 则Δ＝64m2－4×7(4m2－12)＞0，解得m2＜7， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 因为OM⊥ON，所以＝0， 即＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m) ＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝2×＋m×＋m2＝＝0，解得m＝±，均符合m2＜7， 故m＝±． 3．已知双曲线C：＝1，直线l与双曲线C交于A，B两点． (1)若A，B关于点M(4，3)对称，求直线l的方程； (2)若直线l过点N(0，1)，且A，B都在双曲线C的左支上，求直线l的斜率的取值范围． [解]　因为直线l与双曲线C交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)联立两式作差变形得，＝， 因为A，B关于点M(4，3)对称， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝6， 所以kAB＝＝＝， 所以直线l的方程为y－3＝(x－4)， 即5x－3y－11＝0． (2)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝0，与A，B都在双曲线C的左支上矛盾，故斜率存在． 设方程为y＝kx＋1， 联立消去y并整理得(5－4k2)x2－8kx－24＝0， 因为直线l与双曲线C交于A，B两点， 所以Δ＝64k2＋96(5－4k2)＞0，且5－4k2≠0， 解得－＜k＜，且k≠±， 又A，B都在双曲线C的左支上， 所以解得k＞． 综上，直线l的斜率的取值范围为． 4．已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，右焦点为F(，0)，A，B分别为椭圆C的左、右顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)过点D(1，0)作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k1，BQ的斜率为k2，求证：为定值． [解]　(1)因为椭圆的离心率为，右焦点为F(，0)， 所以 解得a＝2，c＝， 则b2＝a2－c2＝1， 故椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 因为直线l过点D(1，0)且斜率不为0， 所以设直线l的方程为x＝ty＋1， 联立消去x并整理得(t2＋4)y2＋2ty－3＝0， 此时Δ＝4t2＋12(t2＋4)＞0， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 此时ty1y2＝(y1＋y2)， 因为A，B分别为椭圆C的左、右顶点， 所以A(－2，0)，B(2，0)， 则k1＝＝，k2＝＝． 故＝＝＝＝，即为定值． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$