第3章 微专题3 二次函数的最值问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学二次函数最值问题这一核心知识点，系统梳理“轴定区间定”“轴变区间定”“轴变区间变”三类典型问题的求解方法。通过典例讲评链接教材原题，结合学以致用即时练习，构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握不同条件下的最值求解思路。 资料以几何直观培养数学眼光，通过函数图象分析对称轴与区间关系，如探究1中结合图象判断最值点位置。以分类讨论发展逻辑推理，如探究2中对参数a分四种情况讨论最值。课中辅助教师分层教学，课后通过强化练题帮助学生巩固数学运算能力，有效查漏补缺，提升解决二次函数综合问题的素养。

微专题3　二次函数的最值问题 与二次函数有关的最值问题是高中教学的一个重难点，其解题过程可以较全面的体现直观想象、逻辑推理及数学运算的素养．本专题主要训练几种常见的二次函数最值的求解方法． 探究1　“轴定区间定”问题 [典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T7】 1．已知函数f (x)＝3x2－12x＋5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值． (1)R；(2)[0，3]；(3)[－1，1]． [解]　f (x)＝3x2－12x＋5＝－7，作出函数y＝f (x)的图象，如图所示． (1)当x∈R时，f (x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立． 故当x∈R时，函数f (x)的最小值为－7，无最大值． (2)由图可知，在[0，3]上，函数f (x)在x＝0处取得最大值，最大值为5；在x＝2处取得最小值，最小值为－7． (3)由图可知，函数f (x)在[－1，1]上单调递减，在x＝－1处取得最大值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4． 【教材原题·P86习题3.2T7】已知函数f (x)＝x2－2x，g(x)＝x2－2x(x∈[2，4])． (1)求f (x)，g(x)的单调区间； (2)求f (x)，g(x)的最小值． [解]　(1)∵函数f (x)＝x2－2x的图象开口向上，对称轴为直线x＝1， 所以函数f (x)的单调递减区间为(－∞，1]，单调递增区间为(1，＋∞)，函数g(x)的单调递增区间为[2，4]，无单调递减区间． (2)由(1)知，函数f (x)在x＝1处取得最小值，最小值是－1， 由于函数g(x)在定义域[2，4]上单调递增， 则函数g(x)在x＝2处取得最小值，最小值是0． 　当二次函数图象开口向上时，自变量距离对称轴越远，对应的函数值越大；当图象开口向下时，则相反． [学以致用]　1．(1)已知函数y＝－x2＋4x－1，x∈[1，4)，则函数的值域为________． (2)函数f (x)＝3x－的值域为________． (1)(－1，3]　(2)　　[(1)由题意得y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3，其函数图象为开口向下，对称轴为直线x＝2的抛物线， 因为x∈[1，4)，所以当x＝2时，y有最大值，最大值为3，当x＝4时，y＝－1， 所以此函数的值域为(－1，3]． (2)令＝t，则t≥0，且x＝t2－1， 故函数变为g(t)＝3t2－t－3， 因为其图象开口向上，对称轴为直线t＝， 故g(t)＝3t2－t－3的值域为， 即f (x)＝3x－的值域为 探究2　“轴变区间定”问题 [典例讲评]　2．求函数f (x)＝x2－2ax－1(a为常数)在[0，2]上的最值． [解]　f (x)＝(x－a)2－1－a2，图象的对称轴为直线x＝a． (1)当a<0时，由图①可知，f (x)min＝f (0)＝2)＝3－4a． ①　　　　　　　　　　② (2)当0≤a<1时，由图②可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (2)＝3－4a． (3)当1≤a≤2时，由图③可知，f (x)min＝f (a)＝－1－a2，f (x)max＝f (0)＝－1． ③　　　　　　　　　④ (4)当a>2时，由图④可知，f (x)min＝f (2)＝0)＝－1． 综上，f (x)min＝ f (x)max＝ 　“轴变区间定”问题的解题思路 以二次函数图象开口向上、对称轴为直线x＝m，区间为为例，则有 (1)最小值：f (x)min＝ (2)最大值：f (x)max＝ 当图象开口向下时，可用类似方法进行讨论． [学以致用]　2．已知函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4． (1)若f (x)在(－∞，1]上单调递减，求m的取值范围； (2)求f (x)在上的最大值g(m)． [解]　(1)因为函数f (x)＝x2＋2mx＋3m＋4，所以其图象的对称轴是x＝－m． 因为f (x)在(－∞，1]上单调递减， 所以－m≥1，解得m≤－1， 所以m的取值范围是(－∞，－1]． (2)f (x)图象的对称轴为直线x＝－m， 当－m>1，即m<－1时，g(m)＝f (0)＝3m＋4； 当－m≤1，即m≥－1时，g(m)＝f (2)＝8＋7m． 综上，g(m)＝ 探究3　“轴定区间变”问题 [典例讲评]　3．求函数f (x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值g(t)． [解]　f (x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，图象的对称轴为直线x＝1． ①　　　　　　②　　　　　　　③ 当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图①所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递减，所以最小值为f (t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图②所示，最小值为f (1)＝1； 当t>1时，函数图象如图③所示，函数f (x)在区间[t，t＋1]上单调递增，所以最小值为f (t)＝t2－2t＋2． 综上可得，g(t)＝ 　“轴定区间变”问题的解题思路 分析对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． [学以致用]　3．(1)已知函数f (x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b＝(　　) A．－4 　 B． C．2 　 D． (2)已知二次函数y＝x2－2x＋4，x∈[0，m]的最小值是3，最大值是4，则实数m的取值范围是________． (1)A　(2)[1，2]　[(1)因为f (x)＝－(x－1)2＋，图象开口向下，对称轴为直线x＝1， 函数在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减， 依题意3b≤，所以b≤，所以f (x)在区间[a，b]上单调递增， 所以 即 所以a，b为方程x2＋2x＝0的两根， 所以a＋b＝－＝－4．故选A． (2)二次函数y＝x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，由x2－2x＋4＝4，解得x＝0或x＝2， 画出二次函数y＝x2－2x＋4(x≥0)的图象如图所示，由图可知，m的取值范围是[1，2]． ] 微专题强化练(三)　二次函数的最值问题 一、选择题 1．若函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，则m的取值范围是(　　) A．(－2，0) 　 B．(－3，－1) C．(0，2) 　 D．(1，3) D　[由题意得，函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1图象的对称轴为直线x＝，图象开口向下， 由函数y＝－x2＋(m＋3)x＋1在区间(2，3)内存在最大值，得2＜＜3，解得1＜m＜3， 所以m的取值范围是(1，3)．故选D．] 2．函数f (x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　) A．[0，3] 　 B．[1，4] C．[0，6] 　 D．[0，4] C　[令＝t，∵x∈[0，4]，∴t∈[0，2]， ∴g(t)＝t2＋t＝，t∈[0，2]， ∴g(t)在[0，2]上单调递增， ∴g(0)≤g(t)≤g(2)， ∴f (x)∈[0，6]．∴f (x)的值域为[0，6]．] 3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1] 　 B．(－∞，0] C．(－∞，0) 　 D．(0，＋∞) C　[令f (x)＝－x2＋2x， 则f (x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1． 又∵x∈[0，2]， ∴f (x)min＝f (0)＝f (2)＝0． ∴a<0．] 4．(多选)二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A．－ 　 B．－ C．－ 　 D．－1 BD　[y＝x2＋(2a－1)x－3，图象开口向上，对称轴为直线x＝． 当≤1，即a≥－时，函数在x＝3处取得最大值1， 即9＋(2a－1)×3－3＝1，解得a＝－，满足题意； 当＞1，即a＜－时，函数在x＝－1处取得最大值1， 即1＋(2a－1)×(－1)－3＝1，得a＝－1，满足题意， 故a＝－1或a＝－．故选BD．] 5．已知定义在R上的函数f (x)＝x2＋2ax＋3在(－∞，1]上单调递减，当x∈[a＋1，1]时，f (x)的最大值与最小值之差为g(a)，则g(a)的最小值为(　　) A． 　 B．1 C． 　 D．2 B　[∵f (x)＝x2＋2ax＋3图象的对称轴方程为x＝－a， 由题意可知－a≥1，即a≤－1， 又f (x)在[a＋1，1]上单调递减， ∴f (x)min＝f (1)＝4＋2a，f (x)max＝f (a＋1)＝(a＋1)2＋2a(a＋1)＋3＝3a2＋4a＋4． ∴g(a)＝3a2＋4a＋4－(4＋2a)＝3a2＋2a＝，又a≤－1， ∴当a＝－1时，g(a)取得最小值，即g(－1)＝3－2＝1．故选B．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝x2－2x，x∈[0，b]，且该函数的值域为[－1，3]，则b的值为________． 3　[因为f (x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，当x＝1时取等号， 所以若x∈[0，b]，f (x)的值域为[－1，3]，则b>1， 因为f (x)的图象是开口向上的抛物线， 所以f (x)在[0，1)上单调递减，在(1，b]上单调递增， 因为f (0)＝0≠3， 所以f (b)＝b2－2b＝3，即b2－2b－3＝0，解得b＝3或b＝－1(舍去)．] 7．已知函数f (x)＝的定义域与值域均为[0，4]，则a＝________． －4　[由题意得y＝ax2＋bx＋c的值域为[0，16]， 且ax2＋bx＋c≥0的解集为[0，4]，故函数图象开口向下，所以a<0，即ax2＋bx＋c＝0的两根为0和4， 所以0＋4＝－，c＝0， 即b＝－4a， 则y＝ax2－4ax＝a(x－2)2－4a， 当x＝2时，y＝a(x－2)2－4a取得最大值16， 即－4a＝16，解得a＝－4．] 8．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数．若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是________． [2，4]　[由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，且方程有且只有一个解， 所以 解得 故y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1， 显然当x＝0时，y＝－3； 当x＝2时，y＝1； 当y＝－3时，x＝0或x＝4． 所以2≤m≤4．] 三、解答题 9．若二次函数f (x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x，且f (0)＝2． (1)求f (x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． [解]　(1)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f (0)＝2，∴c＝2，∴f (x)＝ax2＋bx＋2． ∵f (x＋1)－f (x)＝2x， ∴2ax＋a＋b＝2x， ∴解得 ∴f (x)＝x2－x＋2． (2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－m(x∈[－1，1])， 则g(x)在区间[－1，1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0， ∴m<0，即实数m的取值范围为(－∞，0)． 10．已知函数f (x)＝－x2＋2x－3． (1)求f (x)在区间[2a－1，2]上的最小值g(a)； (2)求g(a)的最大值． [解]　(1)f (x)＝－(x－1)2－2，f (2)＝－3，f (0)＝－3，∴当2a－1≤0，即a≤时，f (x)最小值＝f (2a－1)＝＋8a－6； 当0＜2a－1＜2，即<a<时，f (x)最小值＝f (2)＝－3． 所以g(a)＝ (2)当a≤时，g(a)＝－4a2＋8a－6单调递增， ∴g(a)≤g＝－3； 又当<a<时，g(a)＝－3， ∴g(a)的最大值为－3． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$