第3章 探究课2 探究函数f(x)＝x＋1x的图象与性质-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义核心探究函数f(x)=x+a/x（a>0和a<0）的图象与性质，从特殊到一般梳理定义域、值域、奇偶性、单调性（含证明）、最值及对称性，构建学习支架帮助学生逐步深化理解。 资料通过严格单调性证明培养数学思维（推理能力），从具体到一般探究发展数学眼光（抽象能力），规范表述提升数学语言（符号意识）。典例结合教材原题，课中助教师引导探究，课后学生可回顾推理过程弥补盲点。

　探究函数f (x)＝x＋的图象与性质 1．函数f (x)＝x＋的图象 2．函数f (x)＝x＋的性质 (1)定义域为{x|x≠0}． (2)值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (3)奇偶性：奇函数． (4)单调性：由函数f (x)＝x＋的图象可知，函数f (x)＝x＋在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，0)，(0，1)上单调递减． (5)最大值、最小值：由函数的值域可知，函数无最大、最小值，但是当x＞0时，函数有最小值为2，当x＜0时，函数有最大值为－2． (6)对称性：由函数的奇偶性可知，函数图象关于(0，0)成中心对称． 【典例】　【链接教材P86习题3.2T8】 探究函数f (x)＝x＋(a>0)的性质，并画出它的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)． [解]　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (3)奇偶性：奇函数； (4)单调性：函数f (x)＝x＋(a>0)在和(，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减，证明如下： ∀x1，x2∈(0，]，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋ ＝(x1－x2)·． 因为0<x1<x2≤， 所以x1－x2<0，0<x1x2<a， 所以>1， 所以1－<0， 所以f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)． 所以f (x)在(0，]上单调递减． ∀x1，x2∈(，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝(x1－x2)． 因为x1－x2<0，x1x2>a， 所以<1， 所以1－>0， 所以f (x1)－f (x2)<0， 所以f (x1)<f (x2)． 所以f (x)在(，＋∞)上单调递增． 同理，f (x)在(－∞，－)上单调递增，在[－，0)上单调递减． 其图象如图所示． [母题探究]　当a<0时，探究该函数的性质，并画出函数的简图(单调性需证明，其余性质列出即可)． [解]　(1)定义域：{x|x≠0}； (2)值域：R； (3)奇偶性：奇函数； (4)函数f (x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，证明如下： ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋＝(x1－x2)， 因为0<x1<x2， 所以x1－x2<0， 又a<0，所以1－>0， 所以f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)， 所以函数f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增； 同理可知，函数f (x)在区间(－∞，0)上单调递增． 其图象如图所示． 【教材原题·P86习题3.2T8】(1)根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． (2)讨论函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的单调性． (3)讨论函数y＝x＋(k＞0)在区间(0，＋∞)上的单调性． [解]　(1)证明：∀x1，x2∈[3，＋∞)且x1＜x2， 则y1－y2＝x1＋＝(x1－x2)＋． ∵x1，x2∈[3，＋∞)， ∴x1x2＞0，x1x2＞9． 又∵x1＜x2， ∴x1－x2＜0， ∴y1－y2＜0，即y1＜y2． ∴y＝x＋在区间[3，＋∞)上单调递增． (2)∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2． y1－y2＝x1＋ ＝． ①当x1，x2∈(0，3]时，x1x2＞0，x1x2－9＜0，又x1－x2＜0， ∴y1－y2＞0，即y1＞y2．∴y＝x＋在(0，3]上单调递减． ②当x1，x2∈[3，＋∞)时，x1x2＞0，x1x2－9＞0，又x1－x2＜0． ∴y1－y2＜0，即y1＜y2． ∴y＝x＋在[3，＋∞)上单调递增． (3)∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2， 则y1－y2＝＝． ①当x1，x2∈(0，]时，x1x2＞0，x1x2－k＜0， 又x1－x2＜0，∴y1－y2＞0，即y1＞y2． ∴y＝x＋(k＞0)在(0，]上单调递减． ②当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2＞0，x1x2－k＞0， 又x1－x2＜0，∴y1－y2＜0，即y1＜y2． ∴y＝x＋(k＞0)在[，＋∞)上单调递增． 已知函数f (x)＝x＋，x∈(0，＋∞)有如下性质：如果常数k>0，那么该函数在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增． 利用上述性质或用其他方法解决下列问题： (1)若a>0，函数y＝x＋(x>0)的值域为[6，＋∞)，求实数a的值； (2)若关于x的方程4x2－2(b＋6)x－b－3＝0在x∈[0，1]上有解，求实数b的取值范围． [解]　(1)由上述性质及题设可知， 当x＝时，ymin＝＋＝2＝6， 解得实数a的值为9． (2)由题得b＝， 令t＝2x＋1，t∈[1，3]， 所以x＝， 所以b＝t＋－8，在t∈[1，3]上有解， 由上述性质可知b＝t＋－8在t∈[1，2]上单调递减，在t∈[2，3]上单调递增， 所以t＝2时，bmin＝－4， 当t＝1时，b＝－3，当t＝3时，b＝－， 所以bmax＝－3． 故实数b的取值范围为[－4，－3]． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$