3.4 函数的应用(一)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

3.4　函数的应用(一) [学习目标]　1．初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用． 2．能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学模型解决简单的实际问题．(数学建模) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．你能总结一下建立数学模型解决简单的实际问题的过程吗？ 问题2．建立数学模型解决简单的实际问题的方法有哪些？ 探究1　一(二)次函数模型的应用 [典例讲评]　1．为了迎接“五一”小长假的购物高峰，某商场决定将一批进价为40元/件的商品降价出售，在市场试销中发现，此商品的销售单价x(单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下表所示的关系． 馗 x/元 … 40 50 55 60 … y/件 … 60 30 15 0 … (1)根据表中提供的数据，确定y与x的一个函数关系式y＝f (x)； (2)设经营此商品的日销售利润为L(x)(单位：元)，根据上述关系，写出L(x)关于x的函数解析式，并求日销售利润的最大值． [解]　(1)观察表格中x，y的变化情况，猜测f (x)为一次函数，故设f (x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)， 则解得 则f (x)＝－3x＋180，40≤x≤60， 把点(50，30)，(55，15)代入函数解析式，检验成立， 所以f (x)＝－3x＋180，40≤x≤60． (2)结合(1)中结论可得日销售利润为L(x)＝(x－40)(－3x＋180)＝－3x2＋300x－7 200，40≤x≤60， 则L(x)＝－3(x－50)2＋300， 所以当x＝50时，L(x)取得最大值300， 综上，L(x)＝－3x2＋300x－7 200，40≤x≤60， 所以当销售单价为50元时，所获日销售利润最大值为300元． 　根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题． 提醒：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． [学以致用]　1．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元．市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ [解]　(1)根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简 得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N)． (2)因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润， 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N)． (3)因为w＝－3x2＋360x－9 600 ＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大． 又50≤x≤55，x∈N， 所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1 125． 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1 125元． 探究2　幂函数模型的应用 [典例讲评]　2．(源自湘教版教材)某企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润y(万元)与投资额x(万元)的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示． (1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元(结果精确到1万元)? [解]　(1)设投资额为x万元，A产品的利润为f (x)万元，B产品的利润为g(x)万元， 由题设f (x)＝k1x，g(x)＝k2， 由题图可知f (1)＝，所以k1＝， 又g(4)＝，所以k2＝， 所以f (x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)． (2)设A产品投入x万元，则B产品投入(10－x)万元，设企业的利润为y万元， y＝f (x)＋g(10－x)＝(0≤x≤10)， 令＝t，0≤t≤， 则y＝(0≤t≤)， 所以当t＝时，ymax＝，此时x＝10－＝3.75， 所以当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润，为万元，约为4万元． 　幂函数型模型应用的求解策略 (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式． (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式． [学以致用]　2．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα (α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为______万元． 125　[因为投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，所以27＝3α⇒α＝3，即y＝x3， 当今年投入广告费用为5万元时，预计今年药品利润为53＝125(万元)．] 探究3　分段函数模型的应用 [典例讲评]　【链接教材P93例1、P94例2】 3．为了进一步增加市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本300万元，每生产x(千部)手机，需另投入成本R(x)万元，且R(x)＝由市场调研知此款手机售价为0.7万元，且每年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出2024年的利润w(x)(万元)关于年产量x(千部)的表达式； (2)2024年年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ [解]　(1)当0<x<50时，w(x)＝700x－(10x2＋100x)－300＝－10x2＋600x－300， 当x≥50时，w(x)＝700x－＋9 150， ∴w(x)＝ (2)若0<x<50，w(x)＝－10(x－30)2＋8 700， 当x＝30时，w(x)max＝8 700万元． 若x≥50，w(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950， 当且仅当x＝， 即x＝100时，w(x)max＝8 950万元， 因为8 950>8 700， 所以2024年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元． 【教材原题·P93例1、P94例2】 例1　设小王的专项扣除比例、专项附加扣除金额、依法确定的其他扣除金额与3.1．2例8相同，全年综合所得收入额为x(单位：元)，应缴纳综合所得个税税额为y(单位：元)． (1)求y关于x的函数解析式； (2)如果小王全年的综合所得由117 600元增加到153 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？ 分析：根据3.1．2例8中公式②，可得应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式t＝g(x)，再结合y＝f (t)的解析式③，即可得出y关于x的函数解析式． [解]　(1)由个人应纳税所得额计算公式，可得 t＝x－60 000－x(8%＋2%＋1%＋9%)－9 600－560＝0.8x－70 160． 令t＝0，得x＝87 700． 根据个人应纳税所得额的规定可知，当0≤x≤87 700时，t＝0．所以，个人应纳税所得额t关于综合所得收入额x的函数解析式为 t＝ 结合3.1．2例8的解析式③，可得： 当0≤x≤87 700时，t＝0，所以y＝0； 当87 700<x≤132 700时，0<t≤36 000，所以 y＝t×3%＝0.024x－2 104.8； 当132 700<x≤267 700时，36 000<t≤144 000，所以 y＝t×10%－2 520＝0.08x－9 536； 当267 700<x≤462 700时，144 000<t≤300 000，所以 y＝t×20%－16 920＝0.16x－30 952； 当462 700<x≤612 700时，300 000<t≤420 000，所以 y＝t×25%－31 920＝0.2x－49 460； 当612 700<x≤912 700时，420 000<t≤660 000，所以 y＝t×30%－52 920＝0.24x－73 968； 当912 700<x≤1 287 700时，660 000<t≤960 000，所以 y＝t×35%－85 920＝0.28x－110 476； 当x>1 287 700时，t>960 000，所以 y＝t×45%－181 920＝0.36x－213 492． 所以，函数解析式为 y＝④ (2)根据④，当x＝153 600时， y＝0.08×153 600－9 536＝2 752． 所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为2 752元． 例2　一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v(单位：km/h)与时间t(单位：h)的关系如图3.4-1所示， (1)求图3.4-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2 004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s(单位：km)与时间t的函数解析式，并画出相应的图象． 分析：当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之相对应．根据图3.4-1，在时间段[0，1)，[1，2)，[2，3)，[3，4)，[4，5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h，65 km/h，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述． [解]　(1)阴影部分的面积为 50×1＋80×1＋90×1＋75×1＋65×1＝360． 阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km． (2)根据图3.4-1，有 s＝ 这个函数的图象如图3.4-2所示． 　应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏． (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集． (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论． [学以致用]　3．经研究发现，学生的注意力与老师的授课时间有关，开始授课时，学生的注意力逐渐集中，到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用f (x)表示学生的注意力，x表示授课时间(单位：分)，实验结果表明f (x)与x有如下关系： f (x)＝ (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？ (2)若讲解某一道数学题需要55的注意力以及10分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题？ [解]　(1)由题意得，当0<x<10时，f (x)＝5x＋9，此时函数单调递增； 当10≤x≤16时，函数f (x)取得最大值，此时f (x)＝59； 当16<x≤30时，f (x)＝－3x＋107，此时函数单调递减． 所以开始授课后10分钟，学生的注意力最集中，能维持6分钟． (2)当0<x<10时，令f (x)≥55，即5x＋9≥55， 解得9.2≤x<10，集中注意力时间共10－9.2＝0.8(分钟)； 当10≤x≤16时，f (x)＝59≥55，集中注意力时间共6分钟； 当16<x≤30时，令f (x)≥55，即－3x＋107≥55，解得16<x≤，则集中注意力时间共(分钟)， 因为0.8＋6＋<10，所以老师不能及时在学生一直达到所需注意力的状态下讲完这道题． 【教用·备选题】　手机上网每月使用量在500分钟以下(包括500分钟)、60分钟以上(不包括60分钟)按30元计费，超过500分钟的部分按0.15元/分钟计费，假如上网时间过短，使用量在1分钟以下不计费，在1分钟以上(包括1分钟)按0.5元/分钟计费，手机上网不收通话费和漫游费． ①12月份小王手机上网使用量20小时，要付多少钱？ ②小舟10月份付了90元的手机上网费，那么他上网时间是多少？ ③电脑上网费包月60元/月，根据时间长短，你会选择哪种方式上网呢？ [解]　设上网时间为x分钟，由已知条件知所付费用y关于x的函数解析式为 y＝ ①当x＝20×60＝1 200，即x>500时，应付费用y＝30＋0.15×(1 200－500)＝135(元)． ②90元已超过30元，所以上网时间超过500分钟，由30＋0.15(x－500)＝90，得x＝900，故他上网时间为900分钟． ③令60＝30＋0.15(x－500)， 解得x＝700． 故当一个月经常上网(一个月使用量超过700分钟)时选择电脑上网，而当短时间上网(一个月使用量不超过700分钟)时选择手机上网． 1．(教材P96习题3.4T1改编)一辆汽车在某段路程中的行驶速度v与时间t的关系图象如图，则t＝2时，汽车已行驶的路程为(　　) A．100 km 　 B．125 km C．150 km 　 D．225 km C　[由题中图象可得，t＝2时，汽车行驶的路程为：s＝50×0.5＋75×1＋100×0.5＝25＋75＋50＝150(km)．故选C．] 2．(教材P96习题3.4T3改编)为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表格所示．若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量是(　　) 每户每月用水量 水价 不超过12 m3的部分 3元/m3 超过12 m3但不超过18 m3的部分 6元/m3 超过18 m3的部分 9元/m3 A．24 m3 　 B．22 m3 C．20 m3 　 D．15 m3 C　[根据题意，当用水量不超过12 m3时，水费等于或小于36元； 当用水量超过12 m3但不超过18 m3时，水费不超过36＋6×6＝72(元)； 当交纳水费为90元时，用水量为18＋．故选C．] 3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比．若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为(　　) A．60安 　 B．240安 C．75安 　 D．135安 D　[设比例系数为k，则电流强度I＝kr3， 由已知可得当r＝4时，I＝320， 故有320＝43k，解得k＝＝5， 所以I＝5r3，则当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D．] 4．生产某机器的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获得最大利润时生产的机器为______台． 50　[设生产x台，获得利润f (x)万元，则f (x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500，故当x＝50时，获得利润最大．] 1．知识链： 函数模型 函数解析式 一次函数 模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数 模型 f (x)＝ax2＋bx＋c(ab，c为常数，a≠0) 分段函数 模型 f (x)＝ 幂函数 型模型 f (x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0) 2．方法链：配方法、换元法． 3．警示牌：函数的实际应用问题易忽略函数的定义域． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．你能总结一下数学建模的流程吗？ [提示]　数学建模的过程图示如下： 2．应用函数解决实际问题时，应注意什么？ [提示]　所建函数模型应符合实际问题，同时要注意函数的定义域等，即主要抓住四点：“求什么，设什么，列什么，限制什么”． 课时分层作业(二十五)　函数的应用(一) 一、选择题 1．国家决定对某药品分两次降价，假设平均每次降价的百分率为x．已知该药品的原价是m元，降价后的价格是y元，则y关于x的函数关系式是(　　) A．y＝m(1－x)2 　 B．y＝m(1＋x)2 C．y＝2m(1－x) 　 D．y＝2m(1＋x) A　[第一次降价后价格为m(1－x)，第二次降价后价格变为y＝m(1－x)(1－x)＝m(1－x)2．] 2．小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q＝100－5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A．15元 　 B．13元 C．11元 　 D．10元 B　[设每天获利y元，则y＝(100－5x)(x－6)－100＝－5(x－13)2＋145， 由x>0，Q＝100－5x≥0，得0<x≤20， 故当x＝13时，每天获利最大．] 3．已知某停车场规定：停车时间在3小时内，车主需交费5元，若停车超过3小时，每多停1小时，车主要多交3元，不足1小时按1小时计算．一辆汽车在该停车场停了7小时20分钟，在离开时车主应交的停车费为(　　) A．16元 　 B．18元 C．20元 　 D．22元 C　[由已知得7小时20分钟按8小时计算， 所以停车费为5＋(8－3)×3＝20(元)．故选C．] 4．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过300 m3 3.2元/m3 超过300 m3但不超过600 m3的部分 3.6元/m3 超过600 m3的部分 4.5元/m3 若某户居民一年的燃气用量为500 m3，则此户居民这一年应交纳的燃气费为(　　) A．1 600元 　 B．1 680元 C．1 800元　 　 D．2 250元 B　[由题意此户居民这一年应交纳的燃气费为 3．2×300＋3.6×(500－300)＝960＋720＝1 680(元)．故选B．] 5．小明在春节前购进一种红灯笼，灯笼每对的进价为30元，若该灯笼每对售价50元，每天可售出100对，售价每提高1元，则每天少售出1对．市场监管部门规定其销售单价不得高于每对68元，则该种灯笼一天获得的最大利润为(　　) A．2 816元 　 B．3 116元 C．3 276元 　 D．3 600元 B　[设红灯笼每对售价提高x元，一天获得的利润为y元，由题意得y＝(50＋x－30)(100－x)＝－x2＋80x＋2 000＝－(x－40)2＋3 600，因为销售单价不高于每对68元，所以x≤18，所以当x＝18，即该种灯笼的销售单价为68元时，一天获得的利润最大，最大为3 116元．故选B．] 二、填空题 6．已知某快递公司的收费标准为：首重10元/千克，续重6元/千克，即：寄一件物品，不超过1千克，收费10元；超过1千克的部分，每千克加收6元．小明在该快递公司寄一件4千克的物品，需要付费________元． 28　[根据题意得，需要付费10＋6×(4－1)＝28(元)．] 7．已知汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米．若某人驾驶汽车的速度为90千米/时，则刹车距离为________米． 45　[由汽车刹车距离y(米)与行驶速度的平方v2(v的单位：千米/时)成正比，设y＝kv2，当汽车行驶速度为60千米/时时，刹车距离为20米， ∴20＝3 600k，解得k＝， ∴y＝v2，当v＝90千米/时时， y＝×902＝45(米)．] 8．某同学设想用“高个子系数k”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm及其以下不算高个子，其高个子系数k应为0；身高190 cm及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k关于身高x(cm)的函数关系式________． k＝(只要写出的函数满足在区间[160，190]上单调递增，且图象过点(160，0)和(190，1)即可，答案不唯一)　[由题意得，函数在[160，190]上单调递增， 设k＝ax＋b(a>0)，x∈[160，190]， 由解得 所以k＝(x－160)， 所以k＝] 三、解答题 9．某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元．用x(单位：元，且x∈N)表示每辆自行车的日租金，用y(单位：元)表示出租的自行车的日净收入．(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用) (1)求函数y＝f (x)的解析式； (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？ [解]　(1)当3≤x≤6，且x∈N时，y＝50x－115． 当6＜x≤20，且x∈N时， y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115， 综上，y＝f (x)＝ (2)当3≤x≤6，且x∈N时，因为y＝50x－115在[3，6]上单调递增，所以当x＝6时，ymax＝185． 当6＜x≤20，且x∈N时， y＝－3x2＋68x－115＝－3， 所以当x＝11时，ymax＝270． 综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，最多为270元． 10．地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、高效的优点广受青睐．某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆列车的载客量f (单位：人)与发车时间间隔t(单位：min，且3≤t≤20)有关：当发车时间间隔达到或超过8 min时，列车均为满载状态，载客量为935人；当发车时间间隔不超过8 min时，地铁载客量f 与17t－＋68成正比，假设每辆列车的日均车票收入为y＝(单位：万元)． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出该最大值． [解]　(1)当8≤t≤20时，f ＝935，y＝； 当3≤t≤8时，f ＝k，当且仅当t＝8时，f ＝k＝935，解得k＝5， 所以f ＝5， y＝． 故y＝ (2)当8≤t≤20时，y＝单调递减，故当t＝8时有最大值，最大值为 ； 当3≤t＜8时，y＝10＋15，当t＝4时有最大值，最大值为15． 综上，当发车时间间隔为4 min时，每辆列车的日均车票收入最大，最大为15万元． 11．某信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密的方法是英文的a，b，c，…，z的26个字母(不论大小写)依次对应1，2，3，…，26这26个自然数． 通过变换公式： f (x)＝ 将明文转换成密文，如8→＋13＝17，即h变换成q，5→＝3，即e变换成c．按上述规定，若将明文译成的密文是shxc，则原来的明文是________． love　[∵明文译成的密文是shxc， 设密文s对应的明文为α，则f (α)＝19， 若＝19，则α＝37>26，不符合要求， 若＋13＝19，则α＝12，即s对应的明文为l， 同理可以确定出h对应的明文为o，x对应的明文为v，c对应的明文为e， ∴原来的明文是love．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$