第3章 微专题5 弦长问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

微专题5　弦长问题 1．椭圆中与弦长有关的问题是高考的热点，也是难点，主要涉及求弦长以及与弦长有关的最值、范围问题．求解弦长可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式求解，也可以利用弦长公式求解．求解与弦长有关的最值、范围问题主要有三种方法： (1)定义法：利用定义转化为几何问题处理． (2)数形结合法：利用数与形结合，挖掘几何特征，进而求解． (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数单调性、基本不等式等知识求解． 2．弦长公式 设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， |AB|＝＝或|AB|＝． 类型1　弦长问题 【例1】　已知斜率为2的直线l经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长． [解]　因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)， 又直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0． 法一：解方程组得或不妨取A(0，－2)，B， 所以|AB|＝＝＝＝． 法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组消去y得3x2－5x＝0， 因为Δ＝(－5)2＝25>0， 则x1＋x2＝，x1x2＝0． 所以|AB|＝＝ ＝＝＝． 法三：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去x得3y2＋2y－8＝0，因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0，则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝＝ ＝＝＝． 类型2　与弦长有关的最值、范围问题 【例2】　已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，P为椭圆的上顶点，以P为圆心且过F1，F2的圆与直线x＝－相切． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l交椭圆C于M，N两点．若直线l的斜率等于1，求△OMN面积的最大值． [解]　(1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)， 又P(0，b)，则以P为圆心且过F1，F2的圆的半径为a＝， 故a＝，b＝1，c＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)设直线l的方程为y＝x＋t，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将y＝x＋t代入＋y2＝1，得3x2＋4tx＋2t2－2＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝， 且Δ＝16t2－12(2t2－2)＝24－8t2＞0， 故－＜t＜， 又|MN|＝|x1－x2|＝＝，点O到直线l的距离d＝， 所以S△OMN＝＝＝，当且仅当t2＝3－t2时取等号， 即当t＝±时，△OMN的面积取最大值． 微专题强化练(五)　弦长问题 一、选择题 1．椭圆E的一条弦AB经过左焦点F1，右焦点记为F2．若△ABF2的周长为8，且弦长|AB|的最小值为3，则椭圆E的焦距为(　　) A．2 B．1 C．2 A　[由△ABF2的周长为8，可得|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8， 即a＝2，由弦长|AB|的最小值为3， 则椭圆的通径长为3，即＝3，所以b2＝3， 所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，所以椭圆E的焦距为2． 故选A．] 2．直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长是(　　) A． C． A　[将直线y＝x＋1代入x2＋4y2＝8， 可得x2＋4(x＋1)2＝8，即5x2＋8x－4＝0， 解得x1＝－2，x2＝，∴y1＝－1，y2＝， ∴直线y＝x＋1被椭圆x2＋4y2＝8截得的弦长为＝．] 3．直线y＝kx－1被椭圆C：＋y2＝1截得的最长的弦长为(　　) A．3 B． C．2 D． B　[联立 可得(1＋5k2)x2－10kx＝0， 解得x＝0或x＝， 则弦长l＝， 令1＋5k2＝t(t≥1)， 则l＝10·＝2＝2， 当t＝，即k＝±时， l取得最大值2×＝．] 4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为(　　) A． C． B　[设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m， 由消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，由Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2＞0，得0≤m2＜5． 则x1＋x2＝－，x1x2＝． ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝＝， ∴当m＝0时，|AB|取得最大值．] 5．(多选)已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则(　　) A．椭圆的焦距为 B．椭圆方程为＋y2＝1 C．|AB|＝ D．S△OAB＝ BC　[因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，得a＝2，因为y＝x－过右焦点F2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝4－3＝1，所以椭圆的焦距为2，故A错误； 椭圆方程为＋y2＝1，故B正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 得5x2－8x＋8＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝，x1x2＝， |AB|＝＝＝＝＝，故C正确； 原点到直线y＝x－的距离d＝＝， 所以S△OAB＝d·|AB|＝＝，故D错误．] 二、填空题 6．椭圆C：＝1的右焦点为F，过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF的面积的最大值为________． 4　[由已知可得c2＝a2－b2＝8－4＝4，所以c＝2，则F(2，0)，且b＝2， 当过原点的直线的斜率不存在时，此时直线方程为x＝0，则A，B两点为短轴端点，所以A(0，2)，B(0，－2)，则|AB|＝4，所以△ABF的面积为×2×4＝4； 当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx，代入椭圆方程可得(1＋2k2)x2＝8，所以x＝±，则y＝±，所以点A，B，所以△ABF的面积为S＝S△AOF＋S△BOF＝×2×|yA－yB|＝＝＜＝4． 综上，△ABF的面积的最大值为4．] 7．已知F1，F2分别为椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点，|F1F2|＝2，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于A，B两点，若＝4，则|AB|等于________． 8　＝4，c＝1，∴×2c×|yA－yB|＝4，∴|yA－yB|＝4． ∵直线过椭圆左焦点且斜率为， ∴|AB|＝|yA－yB|＝8．] 8．已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝时，直线l的方程为________． x－y＋1＝0或x＋y－1＝0　[由题意得b＝1，c＝1，∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2． ∴椭圆的标准方程为＋x2＝1． 当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1， 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0． Δ＝8(k2＋1)>0恒成立． 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，∴x1＋x2＝－，x1x2＝－． ∴|CD|＝|x1－x2|＝＝． 即＝， 解得k2＝2，∴k＝±． ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0．] 三、解答题 9．在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率e＝，且点P(2，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值． [解]　(1)由题意得解得 ∴椭圆C的方程为＝1． (2)设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立 得3x2－4mx＋2m2－6＝0，令Δ＞0得m2＜9． ∴ ∴|AB|＝|x1－x2|＝， 原点到直线AB的距离d＝． ∴S△OAB＝＝＝． 当且仅当m2＝9－m2，即m＝±时，等号成立，此时满足Δ＞0， ∴△AOB面积的最大值为． 7/7 学科网（北京）股份有限公司 $$