第3章 探究课2 为什么y＝±bax是双曲线x2a2-y2b2＝1的渐近线-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦双曲线渐近线核心知识点，从定义引入，通过代数变形探讨渐近线方程，结合几何距离分析证明y＝±x为渐近线，拓展共渐近线双曲线方程，形成“定义-推导-证明-应用”的完整学习支架。 资料以“问题驱动”设计探究过程，通过作垂线比较距离、极限思想推导，培养数学思维（推理能力），结合离心率、焦点三角形典例，强化数学语言表达（模型观念）。课中助力教师引导逻辑推理，课后学生可借例题练习巩固，弥补知识盲点。

　为什么y＝±x是双曲线＝1的渐近线 1．双曲线的渐近线的定义 若存在一条直线l，使得双曲线C趋向无穷远处时与直线l越来越近，则称直线l为双曲线C的一条渐近线． 2．双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线的探讨 当x>0，y>0时，由＝1得y＝b＝x， 当x→＋∞时，→1，故猜测渐近线在第一象限内，当x→＋∞时，双曲线无限地接近于直线y＝x． 3．在第一象限内，如何证明直线l：y＝x是双曲线＝1(a>0，b>0)的渐近线？ 如图所示，过点M作MQ⊥l于点Q，过点M作PM⊥x轴交l于点P，则|PM|＞|QM|． 设M(xM，yM)， 则yM＝(x＞a)，yP＝xM． 所以|PM|＝yP－yM＝＝． 当xM→＋∞时→＋∞，所以|PM|→0， 即点M到直线l的距离|QM|→0， 故在第一象限内，直线l为双曲线的渐近线． 根据双曲线的对称性，y＝±x是双曲线＝1的渐近线． 4．共渐近线的双曲线方程的探索 (1)与双曲线＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程是＝λ(λ≠0)，当λ>0时，其焦点在x轴上；当λ<0时，其焦点在y轴上． (2)方程＝λ(λ≠0)中，令λ＝0得双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线方程是±＝0，即y＝±x． 【典例】　(1)已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x (2)如图，已知F1，F2为双曲线＝1(a＞0，b＞0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，则双曲线的渐近线方程为________． (1)B　(2)y＝±x　[(1)根据题意，双曲线＝1(a＞0，b＞0)的离心率为4， 则e＝＝4，即c＝4a， 则有b＝＝a， 又由双曲线＝1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y＝±x，即y＝±x．故选B． (2)设F2(c，0)(c＞0)，P(c，y0)(y0＞0)， 则＝1，解得y0＝，∴|PF2|＝． 在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°， 则|PF1|＝2|PF2|，① 由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝2a，② 由①②得|PF2|＝2a． ∴2a＝，即b2＝2a2．∴＝． ∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．] 1．已知双曲线C：＝1(m＞0)的实轴长等于虚轴长的2倍，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x C　[因为m＞0，所以双曲线C的焦点在y轴上， 设双曲线C的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x， 又因为实轴长等于虚轴长的2倍，所以a＝2b， 所以C的渐近线方程为y＝±2x．故选C．] 2．(2021·全国乙卷)已知双曲线C：－y2＝1(m＞0)的一条渐近线为x＋my＝0，则C的焦距为________． 4　[双曲线C：－y2＝1(m＞0)的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，又双曲线的一条渐近线为x＋my＝0，即x＋y＝0，对比两式可得m＝3．设双曲线的实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则有a2＝m＝3，b2＝1，所以双曲线C的焦距为2c＝2＝4．] 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $$