第2章 微专题2 不等式恒成立、能成立问题-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

微专题2　不等式恒成立、能成立问题

不等式在某个范围内恒成立、能成立问题，涉及的知识面广，综合性强，解决这类题型常用的方法有：分离参数法、数形结合法、判别式法、更换主元法等．

探究1　在R上的恒成立问题

[典例讲评]　1．(1)已知关于x的不等式4x2＋ax＋1<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)

A．{a|－4≤a≤4}

B．{a|－4<a<4}

C．{a|a≤－4，或a≥4}

D．{a|a<－4，或a>4}

(2)若关于x的不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

(1)A　[由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4．]

(2)[解]　当m2－2m－3＝0时，m＝3或m＝－1．

①若m＝3，不等式可化为－1<0，显然对于x∈R恒成立，满足题意．

②若m＝－1，不等式可化为4x－1<0，显然不满足题意．

当m2－2m－3≠0时，由题目条件，知

得

即－<m<3．

综上所述，实数m的取值范围是．

　不等式恒成立的情况

(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意x∈R恒成立的条件是

(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意x∈R恒成立的条件是

(3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意x∈R恒成立的条件是

(4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意x∈R恒成立的条件是

提醒：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意x∈R恒成立时满足的条件为或

[学以致用]　【链接教材P58复习参考题2T6】

1．(1)若命题“∃x∈R，ax2－ax＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0＜a＜4}  　 B．{a|0≤a≤8}

C．{a|0≤a＜8}   　 D．{a|0≤a＜4}

(2)若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0对任意实数x恒成立，则实数k的取值范围是________．

(1)C　(2){k|－3＜k≤1}　[(1)命题“∃x∈R，ax2－ax＋2≤0”为假命题，则∀x∈R，ax2－ax＋2＞0为真命题．

当a＝0时，2＞0恒成立；

当a≠0时，满足解得0＜a＜8．

综上，实数a的取值范围是{a|0≤a＜8}．故选C．

(2)①当k－1＝0，即k＝1时，－1<0恒成立，符合题意．

②当k－1≠0时，由题意可知

解得－3<k<1．

综上可知－3<k≤1．]

【教材原题·P58复习参考题2T6】当k取什么值时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立？

[解]　由题意知，不等式为一元二次不等式，故k≠0，当k＜0时，要使一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，

则二次函数y＝2kx2＋kx－的图象在x轴下方，

即Δ＝k2－4×2k×＜0，得－3＜k＜0．

当k＞0时，二次函数y＝2kx2＋kx－的图象开口向上，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0不可能对一切实数x都成立．

综上可知，k的取值范围为{k|－3＜k＜0}．

探究2　在给定范围上的恒成立问题

[典例讲评]　2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的取值范围是________．

(2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．

(1){m|m<2}　[∀x>0，x2－mx＋1>0⇔m<x＋，而当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，则m<2，所以实数m的取值范围是{m|m<2}．]

(2)[解]　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，

由二次函数的性质可知当2≤x≤3时，x2－x∈[2，6]，由于x2－x＞0，故m＜恒成立，

由于∈，

故m的取值范围是．

　在给定范围上的恒成立问题

(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0．

(2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．

[学以致用]　2．已知命题p：存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立．

(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；

(2)命题q：∀x∈{x|0≤x≤2}，都有x2－2x－a≤0恒成立．如果命题p，q都是假命题，求实数a的取值范围．

[解]　(1)若命题p为真命题，即存在x∈R，使x2－ax＋1≤0成立，则Δ＝a2－4≥0，解得a≤－2或a≥2，

故实数a的取值范围为{a|a≤－2，或a≥2}．