3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及求解，通过拉链试验引导学生动手操作，观察轨迹抽象出定义，结合与椭圆的对比（如“焦点跟着正项走”口诀）搭建知识支架，帮助学生建立前后联系。 其亮点是以数学抽象、直观想象和数学运算为核心，通过试验探究、典型例题（如待定系数法求方程）和反思总结（如参数方程表示双曲线的条件），培养学生逻辑推理能力。分层作业和母题探究助力学生巩固，教师可借助结构化内容提升教学效率，落实核心素养。

第1课时　双曲线及其标准方程 第三章 圆锥曲线的方程 3.2　双曲线 3.2.1　双曲线及其标准方程 [学习目标]　 1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(数学抽象、直观想象) 2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．双曲线的定义中有怎样的限制条件？ 问题2．双曲线的标准方程如何推导？ 问题3．如何根据已知条件求解双曲线的标准方程？ 第1课时　双曲线及其标准方程 探究建构 关键能力达成 探究1　双曲线的定义 问题1　做下面一个试验． (1)取一条拉链，拉开一部分． (2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上． (3)把笔尖放在点M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线． 试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ [提示]　双曲线的一支．曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数＜|F1F2|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [新知生成] 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的__________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点__________ 焦距 ________的距离 差的绝对值 F1，F2 两焦点间 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 【教用·微提醒】　(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [学以致用]　1．已知点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　　) A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 D　[依题意得|F1F2|＝10， 当a＝3时， 因为|PF1|－|PF2|＝2a＝6<|F1F2|， 故点P的轨迹为双曲线的右支； 当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|， 故点P的轨迹为一条射线．] 探究2　双曲线的标准方程 问题2　设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c＞a＞0，以经过F1，F2两点的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？ [提示]　＝1(a＞0，b＞0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [新知生成] 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 __________________________ ________________________ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) ___________________ a，b，c的关系 c2＝__________ F1(0，－c)，F2(0，c) a2＋b2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 【教用·微提醒】　(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [典例讲评]　【链接教材P120例1】 1．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)c＝6，焦点在x轴上，且过点A(－5，2)； (2)经过两点A(－7，－6)，B(，－3)． [解]　(1)由题意，设所求双曲线的标准方程为＝1，a＞0，b＞0， 由题意得 解得a2＝20，b2＝16， 所以所求双曲线的标准方程为＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 (2)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 因为点A，B在双曲线上，所以 解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1． 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)． 因为点A，B在双曲线上，所以 该方程组无解． 所以双曲线的标准方程为x2－＝1． 法二：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 因为点A，B在此双曲线上， 所以 解得m＝1，n＝－， 所以所求双曲线的标准方程为x2－＝1． 【教材原题·P120例1】 例1　已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0)，双曲线上一点P与F1，F2的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． [解]　因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为 ＝1(a＞0，b＞0)． 由2c＝10，2a＝6，得c＝5，又a＝3，因此b2＝52－32＝16． 所以，双曲线的标准方程为＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 【教用·备选题】　已知圆C：(x＋3)2＋y2＝4及点A(3，0)，Q为圆周上一点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，则动点M的轨迹方程为__________________． x2－＝1　[由AQ的垂直平分线交直线CQ于点M， 得|MA|＝|MQ|，又圆C的半径为2， 所以||MC|－|MA||＝2＜|AC|＝6， x2－＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 故点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线， 所以2a＝2，2c＝6， 所以a＝1，c＝3，b2＝c2－a2＝8． 又双曲线的焦点在x轴上，故动点M的轨迹方程为x2－＝1．] 发现规律　试总结用待定系数法求双曲线方程的步骤． [提示]　(1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [学以致用]　2．已知双曲线两个焦点分别为F1(0，－2)，F2(0，2)，并且双曲线经过点P(3，－2)，则该双曲线的标准方程为______________． y2－＝1　[由于双曲线的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a>0，b>0)． 已知焦点F1，F2及双曲线上一点P，由双曲线的定义可知2a＝|PF2|－|PF1|＝－3＝5－3＝2，因此a＝1． 又因为c＝2，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3． 因此，所求双曲线的标准方程为y2－＝1．] y2－＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 3．与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)的双曲线的标准方程为______________． ＝1　[法一：因为两双曲线焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20． ① ＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 因为双曲线经过点(3，2)， 所以＝1． ② 由①②得a2＝12，b2＝8， 所以双曲线的标准方程为＝1． 法二：设所求双曲线的方程为＝1(－4＜λ＜16)． 因为双曲线经过点(3，2)，所以＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 所以所求双曲线的标准方程为＝1．] 探究3　双曲线标准方程的识别 [典例讲评]　2．若方程＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是(　　) A．2＜k＜5 B．k＞5 C．k＜2或k＞5 D．以上答案均不对 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 C　[由题意知(k－2)(5－k)＜0， 即(k－2)(k－5)＞0， 解得k＞5或k＜2． 则实数k的取值范围是k＜2或k＞5． 故选C．] [母题探究]　若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，求实数k的取值范围． [解]　方程表示焦点在x轴上的双曲线， 则有解得k＞5． 因此实数k的取值范围是(5，＋∞)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 反思领悟　方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 [学以致用]　4．“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 A　[若方程＝1表示双曲线，则(m－2)·(m－1)＞0，解得m＜1或m＞2，所以“m＞2”是“方程＝1表示双曲线”的充分不必要条件．故选A．] 应用迁移 随堂评估自测 1．已知双曲线Γ的方程为＝1，则它的其中一个焦点的坐标为 (　　) A．(，0) B．(0，) C．(，0) D．(0，) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 D　[已知双曲线Γ的方程为＝1，则双曲线的焦点在y轴上，且a2＝56，b2＝49， 所以c＝＝，则它的其中一个焦点的坐标为(0，)． 故选D．] 2．方程＝4的化简结果为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 A　[根据题意可得，方程＝4的几何意义为：平面上一点到两定点(－，0)，(，0)的距离之差的绝对值为4， 则a＝2，c＝，则a2＝4，b2＝2， 则根据双曲线的定义可得标准方程为＝1． 故选A．] 3．(教材P121练习T3改编)“a＜”是“方程＝1表示双曲线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 B　[若方程＝1表示双曲线，则3a(4a－1)＜0，解得0＜a＜． 当a＜时，方程＝1不一定表示双曲线，例如当a＝－1时； 而当方程＝1表示双曲线时，一定有0＜a＜，即一定满足a＜． ∴“a＜”是“方程＝1表示双曲线”的必要不充分条件． 故选B．] 4．如果双曲线＝1上一点P到焦点F1的距离等于6，那么点P到另一焦点F2的距离是________． 22　[由题意得||PF1|－|PF2||＝2a＝16， 又|PF1|＝6，|PF2|＞0，所以|PF2|＝22．] 22 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 1．知识链：   2．方法链：待定系数法、分类讨论法． 3．警示牌：(1)易忽略双曲线的定义中的2a＜|F1F2|或把双曲线的一支误认为双曲线的两支． (2)易忽略对双曲线焦点位置的判断． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．双曲线是如何定义的？请写出它的标准方程． [提示]　定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线． 标准方程：＝1(a>0，b>0)和＝1(a>0，b>0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 2．若方程＝1表示双曲线，则m，n满足的条件是什么？若方程表示焦点在x轴(y轴)上的双曲线，则m，n需要满足什么条件？ [提示]　(1)若方程表示双曲线，则满足mn>0． (2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则满足 (3)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则满足 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 一、选择题 1．已知动点P到点M(1，0)，N(－1，0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹是(　　) A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线 课时分层作业(二十八)　双曲线及其标准方程 √ 39 C　[由题知||PM|－|PN||＝2，且|MN|＝2，则点P的轨迹是两条射线．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．若椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则a的值为(　　) A．1 B．1或－2 C．1或 √ A　[由题意知解得a＝1．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 41 3．已知点A(1，0)，B(－1，0)．动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是(　　) A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1) C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ C　[∵点A(1，0)，B(－1，0)，∴|AB|＝2． 又动点M满足|MA|－|MB|＝2， ∴点M的轨迹为射线y＝0(x≤－1)． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 42 4．若方程＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　) A．－2＜m＜－1 B．m＞－1 C．m＜－2 D．m＜－2或m＞－1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 D　[若方程＝1表示的曲线为双曲线， 则(2＋m)(m＋1)＞0， 解得m＜－2或m＞－1． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 43 5．过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为 (　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 44 D　[由椭圆9x2＋3y2＝27，得＝1， 所以椭圆焦点在y轴上，且c＝＝，即上焦点坐标为(0，)， 设双曲线的方程为＝1(a＞0，b＞0)， 则解得a2＝2，b2＝4， 故双曲线的方程为＝1．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 45 二、填空题 6．若双曲线－y2＝1的焦距为4，则实数m的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 3　[双曲线－y2＝1的焦距为4，所以m＞0， 所以22＝m＋1，解得m＝3．] 3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 46 7．若点P在双曲线＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点之间的距离为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 ±3　11　[记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP)．因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，所以xP＝＝2，所以＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3．由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11．] ±3 11 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 47 8．经过两点(－3，6)，(2，3)的双曲线的标准方程为______________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 x2－＝1　[设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)， 故解得 故双曲线的标准方程为x2－＝1．] x2－＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 48 三、解答题 9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围下的k值，分别指出方程所表示的曲线类型． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)当k＝0时，方程为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线； (2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心为原点，半径为2的圆； (3)当k＜0时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的双曲线； (4)当0＜k＜1时，方程为＝1，表示焦点在x轴上的椭圆； (5)当k＞1时，方程为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 49 10．(多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则(　　) A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为 C．若mn＜0，则C是双曲线 D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 50 ACD　[对于A，当m＞n＞0时，有＞＞0， 方程化为＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，由m＝n＞0，方程变形为x2＋y2＝， 该方程表示半径为的圆，故B错误； 对于C，由mn＜0知曲线C是双曲线，故C正确； 对于D，当m＝0，n＞0时，方程变为ny2＝1，表示两条直线，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 51 11．已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ A　[由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，所以|MF2|－|MF1|＝2a，故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，由于a＝2，b＝，c＝＝3， 所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 52 12．动点P与点F1(0，5)，F2(0，－5)满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程为________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 ＝1(y≤－3)　[由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝10知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的下支，故c＝5，2a＝6，∴a＝3，∴b2＝16， 故动点P的轨迹方程是＝1(y≤－3)．] ＝1(y≤－3) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 53 13．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的方程． [解]　因为△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k． 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4．所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20． 若焦点在x轴上，以MN所在直线为x轴，以MN的 中点O为原点建立平面直角坐标系，如图所示． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． 由|PM|－|PN|＝4，得2a＝4，a＝2，a2＝4． 由|MN|＝20，得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96，故所求方程为＝1； 若焦点在y轴上，同理可得双曲线的方程为＝1． 综上所述，所求双曲线的方程为＝1或＝1． 55 14．已知P为双曲线＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心．若＝＋8，则△MF1F2的面积为(　　) A．2 B．10 C．8 D．5 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 第1课时　双曲线及其标准方程 56 B　[设△PF1F2的内切圆的半径为R， 由双曲线的标准方程可知a＝4，b＝3，c＝5． 因为＝＋8，所以(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以＝·2c·R＝10．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 57 $$