5.6.1 5.6.2 第2课时 函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

第2课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用 [学习目标]　1．会用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．(直观想象) 2．能够根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式．(直观想象、数学运算) 3．掌握函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何用“五点法”画函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象？ 问题2．如何根据y＝A sin (ωx＋φ)的图象确定其解析式？ 探究1　“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 [典例讲评]　【链接教材P237例1】 1．已知函数f (x)＝sin ，作出f (x)在一个周期内的图象(将给定的表格填全，并描点画图)． 2x＋ x f (x) [解]　 2x＋ 0 π 2π x － f (x) 0 1 0 －1 0 图象如图： 【教材原题·P237例1】 例1　画出函数y＝2sin 的简图． [解]　先画出函数y＝sin x的图象；再把正弦曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的，得到函数y＝sin 的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的2倍，这时的曲线就是函数y＝2sin 的图象，如图5.6-7所示． 下面用“五点法”画函数y＝2sin 在一个周期内的图象． 令X＝3x－，则x＝．列表(表5.6-1)，描点画图(图5.6-8)． 表5.6-1 X 0 π 2π x y 0 2 0 －2 0 　用“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象关键是抓住五个关键点，即三个“平衡点”(即ωx＋φ分别取0，π，2π时x所对应的点)、一个“波峰点”、一个“波谷点”． [学以致用]　【链接教材P240习题5.6T2】 1．已知函数f (x)＝cos ，在给定坐标系中作出函数f (x)在[0，π]上的图象． [解]　f (x)＝cos ，列表如下． 2x－ － 0 π x 0 π f (x) 1 0 －1 0 图象如图． 【教材原题·P240习题5.6T2】画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并用信息技术检验： (1)y＝4sin x； (2)y＝cos 3x； (3)y＝3sin ； (4)y＝2cos ． [解]　(1) x 0 π 2π x 0 π 2π 3π 4π y＝4sin 描点连线得如图①， (2) 3x 0 π 2π x 0 y＝cos 3x 0 － 0 描点连线得如图②， (3) 2x＋ 0 π 2π x － y＝3sin 描点连线得如图③， (4) 0 π 2π x y＝2cos 描点连线得如图④， 探究2　求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 [典例讲评]　2．如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式． [解]　法一(逐一定参法)： 由题图知A＝3，T＝＝π， ∴ω＝＝2， ∴y＝3sin (2x＋φ)． ∵点在函数图象上，根据图象趋势， ∴－×2＋φ＝0＋2kπ，k∈Z， 又，∴φ＝，∴y＝3sin ． 法二(五点对应法)： 由题图知A＝3． ∵图象过点和， ∴解得 ∴y＝3sin ． 法三(图象变换法)： 由A＝3，T＝π，点在图象上， 可知函数图象由y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度而得， ∴y＝3sin ，即y＝3sin ． 　给出y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一个零点”的数据代入“ωx＋φ＝0＋2kπ，k∈Z”(要注意正确判断“第一个零点”的位置)求得φ，选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z． (2)五点对应法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ．这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式． (3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数． [学以致用]　【链接教材P241习题5.6T4】 2．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图所示，若A>0，ω>0，，求f (x)的解析式． [解]　由题图知f (x)min＝0，且f (x)max＝4， 所以A＝＝2， 又T＝＝π，知ω＝2． 又f ＝4，得sin ＝1， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z， 则φ＝2kπ＋，k∈Z， 又，所以φ＝， 故函数f (x)＝2sin ＋2． 【教材原题·P241习题5.6T4】　函数y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为_______________________． y＝2sin 　[由题图可知A＝2，， ∴T＝π，∴ω＝2，∴y＝2sin (2x＋φ)． ∵函数的图象过点， 把点的坐标代入函数的解析式， 得2＝2sin ， ∴φ－＝2kπ＋，k∈Z， 解得φ＝＋2kπ，k∈Z， 又0＜φ＜π，∴φ＝， ∴此函数的解析式是y＝2sin ．] 【教用·备选题】　函数f (x)＝2sin (ωx－φ)(ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　) A．2，－　 B．2，－ C．2， 　 D．4，－ C　[由题图知，， 解得T＝π，ω＝＝2． 由点在函数f (x)的图象上， 得f ＝2sin ＝2， 则sin ＝1， 则－φ＝2kπ＋，k∈Z， 解得φ＝－2kπ＋，k∈Z， 又－π<φ<π，则φ＝． 故选C．] 探究3　函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的综合应用 [典例讲评]　3．已知函数f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－(ω>0)图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求ω的值； (2)将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，求实数k的取值范围． [解]　(1)f (x)＝sin ωx·cos ωx＋cos2ωx－ ＝sin 2ωx＋ ＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝sin ． 因为函数图象上两条相邻对称轴之间的距离为， 所以函数y＝f (x)的最小正周期T＝π， 所以T＝＝π，解得ω＝1． (2)由(1)得f (x)＝sin ，将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度后， 得到y＝sin ＝cos 2x的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝cos x的图象，故g(x)＝cos x， 因为x∈， 当x＝时，函数g(x)取得最小值，g； 当x＝0时，函数g(x)取得最大值，g(0)＝1， 故g(x)∈． 因为函数y＝g(x)－k在区间上存在零点，所以k＝g(x)有解， 所以实数k的取值范围为． 　研究y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的性质的两种方法 (1)客观题可用验证法：x＝θ为对称轴，则f (θ)＝±A；(θ，0)为对称中心，则f (θ)＝0；[m，n]为函数单调区间，则[ωm＋φ，ωn＋φ]为y＝sin x单调区间的子区间． (2)主观题主要利用整体代换法，令ωx＋φ＝t，则原问题转化为研究y＝A sin t的性质． [学以致用]　【链接教材P255复习参考题5T21】 3．(多选)已知函数f (x)＝sin ，以下命题中为真命题的是(　　) A．函数f (x)的图象关于直线x＝对称 B．x＝－是函数f (x)的一个零点 C．函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到 D．函数f (x)在上单调递增 ABD　[令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝，k∈Z．当k＝0时，x＝，即函数f (x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝，k∈Z，当k＝0时，x＝即x＝－是函数f (x)的一个零点，选项B正确；2x＋，故函数f (x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f (x)在上单调递增，选项D正确．故选ABD．] 【教材原题·P255复习参考题5T21】　已知函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a的最大值为1． (1)求常数a的值； (2)求函数f (x)的单调递减区间； (3)求使f (x)≥0成立的x的取值集合． [解]　(1)由题意，函数f (x)＝sin ＋sin ＋cos x＋a， 化简得，f (x)＝sin x cos ＋cos x sin ＋sin x cos －cos x sin ＋cos x＋a＝sin x＋cos x＋a＝2sin ＋a， 因为sin 的最大值为1， 所以2×1＋a＝1，解得a＝－1． (2)由(1)可知f (x)＝2sin －1． 根据三角函数的性质可得， 2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f (x)的单调递减区间为，k∈Z． (3)由题意，f (x)≥0， 即2sin －1≥0， 可得sin ． 所以2kπ＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以f (x)≥0成立的x的取值集合是． 1．(2024·北京高考)设函数f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且，则ω＝(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．4 B　[因为f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．] 2．(教材P241习题5.6T4改编)已知函数y＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin A　[由题图可知，A＝2，T＝2＝π，所以ω＝2． 由函数图象经过点，可得2sin ＝2， 所以2×＋2kπ，k∈Z， 所以φ＝－＋2kπ，k∈Z， 因为，所以φ＝－， 所以函数的解析式为y＝2sin ．] 3．(多选)设函数f (x)＝cos ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的一个周期为－2π B．y＝f (x)的图象关于直线x＝对称 C．f (x＋π)的一个零点为x＝ D．f (x)在上单调递减 ABC　[因为T＝2π，故－2π也是f (x)的一个周期，A正确；＝cos ＝cos 3π＝－1，故B正确；由f (x＋π)＝cos ＝＝0，得x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，故C正确；函数f (x)＝cos 的图象可由y＝cos x的图象向左平移个单位长度得到，如图可知，f (x)在上先单调递减后单调递增，D错误． 故选ABC．] 4．已知函数f (x)＝sin 2x－cos 2x，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x)的最大值是2； ②f (x)的图象向左平移个单位长度后得到的函数为奇函数； ③f (x)的图象关于直线x＝对称； ④f (x)在上单调递增． ②③　[因为f (x)＝sin 2x－cos 2x＝sin ， 所以函数f (x)的最大值为，故①错误； 又f ＝sin ＝sin 2x， 令g(x)＝sin 2x， 则g(－x)＝sin (－2x)＝－sin 2x＝－g(x)，故②正确； 又f ＝sin ＝sin ＝，故③正确； 当x∈时，2x－∈， 所以根据正弦函数的单调性可知函数f (x)在上不单调，故④错误．故正确的有②③．] 1．知识链： 2．方法链：五点法作图、换元法． 3．警示牌：求φ值时单调递增区间上的零点和单调递减区间上的零点的区别． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．作函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象时，其五个关键点有何特征？ [提示]　 “五点法”中的五个点分别为函数的三个零点和两个最值点． 2．求函数y＝A sin (ωx＋φ)的解析式中的“φ”的方法有哪些？ [提示]　逐一定参法；五点对应法；图象变换法． 3．在研究函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)性质时，常采用什么方法？ [提示]　采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，借助y＝A sin z的性质求解． 课时分层作业(五十九)　函数y＝A sin (ωx＋φ)图象及性质的应用 一、选择题 1．(2023·天津高考)已知函数f (x)图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝sin 　 B．f (x)＝cos C．f (x)＝sin 　 D．f (x)＝cos B　[对于A，f (x)＝sin ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin 的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos ，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos 的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin 和y＝cos 的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D．故选B．] 2．已知函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5，则A等于(　　) A．1 　 B．2 C．4 　 D．8 B　[函数f (x)＝A sin (A>0)的最小正周期T＝＝6． ∵函数f (x)＝A sin (A>0)在它的一个最小正周期内的图象上，最高点与最低点的距离是5， ∴＝，∴A＝2．故选B．] 3．已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　) A．ω＝1，φ＝－ 　 B．ω＝1，φ＝ C．ω＝2，φ＝－ 　 D．ω＝2，φ＝ B　[由题意得＝π， 即T＝＝2π，可得ω＝1， 所以f (x)＝2sin (x＋φ)， 又f ＝2sin ＝－2， 所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，可得φ＝2kπ＋，k∈Z，又－＜φ＜，故φ＝．故选B．] 4．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则函数f (x)(　　) A．图象关于直线x＝－对称 B．图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为(1，3) C　[由题图可得A＝×(5－1)＝2， B＝×(5＋1)＝3， ∴f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋3， 又f (x)的图象过点(0，2)，∴f (0)＝2sin φ＋3＝2， ∴sin φ＝－， ∵，∴φ＝－， ∴f (x)＝2sin ＋3， ∵f (x)的图象过点， ∴f ＝2sin ＋3＝1， 可得sin ＝1， ∴＝2kπ＋，k∈Z，可得ω＝2＋12k，k∈Z， 由题图可知＞，∴T＞，即＞， ∴0＜ω＜3，∴ω＝2， ∴f (x)＝2sin ＋3， 对于A，f ＝2sin ＋3＝2，不是最值， 则f (x)的图象不关于直线x＝－对称，错误； 对于B，f ＝2sin ＋3＝4≠3，错误； 对于C，2kπ＋≤2kπ＋，k∈Z， ∴kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z， ∴f (x)的单调递减区间为，k∈Z． k＝0时，f (x)在上单调递减， ⊆，正确； 对于D，∵x∈， ∴2x－∈(－π，0)，可得sin ， ∴f (x)∈[1，3)，D错误．故选C．] 5．(多选)已知函数f (x)＝sin x cos x－cos2x＋，则下列结论正确的是(　　) A．函数f (x)的图象关于点对称 B．函数f (x)图象的一条对称轴是直线x＝－ C．f 是奇函数 D．f (x)在上单调递增 BC　[ f (x)＝sin x cos x－cos2x＋ ＝sin 2x－ ＝sin 2x－cos 2x＝sin ． 对于A，当x＝时，f ＝sin ，故A错误； 对于B，当x＝－时，f ＝sin ＝－1，故B正确； 对于C，f ＝sin (2x－π)＝－sin 2x，故该函数为奇函数，故C正确； 对于D，由于x∈，所以2x－∈，函数在该区间上不单调，故D错误．故选BC．] 二、填空题 6．函数f (x)＝sin x＋a cos x的图象关于点对称，则a的值为________． －　[∵为f (x)的对称中心， ∴f ＝0，即sin ＋a cos ＝0， 即a＝0，∴a＝－．] 7．(2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________． －　[法一(五点作图法)：由题图可知(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f (x)＝2cos (2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×，得φ＝－， 即f (x)＝2cos ， 所以f ＝2cos ＝－． 法二(代点法)：由题意知，(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．又点在函数f (x)的图象上，所以＝0，所以2×＋kπ(k∈Z)，令k＝0，则φ＝－，所以f (x)＝所以f ＝2cos ＝－2cos ＝－． 法三(平移法)：由题意知，(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2．函数y＝2cos 2x的图象与x轴的一个交点是，对应函数f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象与x轴的一个交点是，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)的图象是由y＝2cos 2x的图象向右平移个单位长度得到的，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)＝2cos ＝2cos ，所以f ＝＝－2cos ＝－．] 8．已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图如图所示，则f (x)＝________，方程f (x)＝m(m为常数，且1<m<2)在[0，π]内所有解的和为________． 2sin 　[根据函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在一个周期内的简图，可得A＝2．再把点(0，1)的坐标代入，可得2sin φ＝1，∴sin φ＝， ∴φ＝＋2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z， 又，∴φ＝． 根据五点法可得ω·＝π，∴ω＝2， ∴函数f (x)＝2sin ． 易得它的一个顶点坐标为，且f (π)＝1， ∴由图象可得方程f (x)＝m(m为常数，且1<m<2)在[0，π]内所有的解共有2个，且这2个解的和为2×．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝2cos2ω1x＋sinω2x，再从①ω1＝1，ω2＝2；②ω1＝1，ω2＝1，这两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面问题． (1)求f (0)； (2)写出f (x)的最小正周期及一条对称轴方程(只写结果)； (3)求函数f (x)在上的最大值和最小值． [解]　若选①ω1＝1，ω2＝2． (1)f (x)＝2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＋1＝sin ＋1， ∴f (0)＝sin ＋1＝×＋1＝2． (2)∵f (x)＝sin ＋1， ∴f (x)的最小正周期T＝＝π， 一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)． (3)∵0≤x≤， ∴， ∴函数f (x)在上的最大值为sin ＋1＝＋1， 函数f (x)在上的最小值为sin ＋1＝0． 若选②ω1＝1，ω2＝1． (1)f (x)＝2cos2x＋sin x＝2－2sin2x＋sin x＝， ∴f (0)＝＝2． (2)∵f (x)＝， ∴f (x)的最小正周期T＝2π，一条对称轴方程为x＝(答案不唯一)． (3)∵0≤x≤，∴0≤sin x≤1， ∴函数f (x)在上的最大值为， 函数f (x)在上的最小值为＝1． 10．(2022·新高考Ⅰ卷)记函数f (x)＝sin ＋b(ω＞0)的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f (x)的图象关于点中心对称，则＝(　　) A．1 　 B． C． 　 D．3 A　[由函数的最小正周期T满足＜T＜π，得＜＜π，解得2＜ω＜3． 又因为函数图象关于点中心对称，所以＝kπ，k∈Z，且b＝2， 所以ω＝－k，k∈Z，取k＝4，可得ω＝，所以f (x)＝sin ＋2， 所以f ＝sin ＋2＝1． 故选A．] 11．若函数f (x)＝3sin (ωx＋φ)对任意x都有f ，则f ＝(　　) A．3或0 　 B．－3或0 C．0 　 D．－3或3 D　[由f 得，直线x＝是函数f (x)图象的对称轴，所以f ＝±3．] 12．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)在区间单调递增，直线x＝和x＝为函数y＝f (x)的图象的两条相邻对称轴，则f ＝(　　) A．－ 　 B．－ C． 　 D． D　[由题意得，解得ω＝2，易知x＝是f (x)的最小值点，所以＋2kπ(k∈Z)，得φ＝＋2kπ(k∈Z)，于是f (x)＝sin ＝sin ＝＝sin ，故选D．] 13．已知函数f (x)＝sin (ω>0)，f ，且f (x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝________． 　[依题意知f (x)＝sin (ω>0)， f ，且f (x)在区间上有最小值，无最大值， ∴f (x)的图象关于直线x＝对称， 即关于直线x＝对称， ∴＋2kπ，k∈Z， 又<T＝， 即0<ω<12，∴ω＝．] 14．某同学用“五点法”画函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ωx＋φ 0 π 2π x A sin (ωx＋φ) 0 2 －2 0 (1)将上表数据补充完整，填写在相应位置，并写出函数y＝f (x)的解析式； (2)将函数y＝f (x)图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求使g(x)≥0成立的x的取值集合． [解]　(1)由表格知：A＝2且＝π， 即T＝2π，故ω＝＝1， 由ω×，得φ＝－． 则f (x)＝2sin ， 所以表格补充如下： ωx＋φ 0 π 2π x A sin (ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 (2)由题设g(x)＝f ＝2sin ≥0， 即2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z， 所以2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z， 即使g(x)≥0成立的x的取值集合为． 15．已知函数f (x)＝sin x，函数g(x)的图象可以由函数f (x)的图象先向右平移个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)得到．若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点，求实数ω的取值范围． [解]　将函数f (x)＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin 的图象，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的(ω>0)，得到g(x)＝sin 的图象． 若函数g(x)在(0，π)上恰有5个零点， 则ωx－∈， 所以4π<ωπ－≤5π， 得<ω≤． 故实数ω的取值范围是． [点评]　解答y＝A sin (ωx＋φ)在某个区间上的零点个数问题，常采用数形结合的方法求解． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$