3.1.1 椭圆及其标准方程-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦椭圆的定义、标准方程及应用，通过“问题初探”预习检测和“细绳画椭圆”动手实验导入，从圆的定义自然过渡，搭建具体到抽象的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于融入微视频辅助理解，通过动手探究培养数学眼光，方程推导中渗透严谨推理发展数学思维，典型例题多解法及分层作业强化数学语言表达。如探究1的轨迹实验让学生直观感知定义，帮助学生深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

第三章 圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 [学习目标]　 1．理解并掌握椭圆的定义．(数学抽象) 2．掌握椭圆的标准方程的推导．(数学运算) 3．会求简单的椭圆的标准方程．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．椭圆是如何定义的？要注意哪些问题？ 问题2．如何推导椭圆的标准方程？ 问题3．椭圆的标准方程有何特征？ 3.1.1　椭圆及其标准方程 探究建构 关键能力达成 探究1　椭圆的定义 问题1　取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中， 变化的量是什么？不变的量又是什么？移动的笔尖(动点) 满足的几何条件是什么？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [提示]　椭圆．动点M到两定点F1，F2的距离为变量，即|MF1|，|MF2|，但距离的和为常数，即|MF1|＋|MF2|为常数．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长，且该常数大于|F1F2|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [新知生成] 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这________叫做椭圆的焦点，______________叫做椭圆的焦距，焦距的____称为半焦距． 2．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a__|F1F2|． 常数 两个定点 两焦点间的距离 一半 >  课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 【教用·微提醒】　(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [学以致用]　1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝4，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (2)已知点F1(－1，0)，F2(1，0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝2，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (3)已知点F1(0，－1)，F2(0，1)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝1，则点P的轨迹是椭圆． (　　) (4)椭圆定义中动点到两定点的距离之和是常数，而不能是变量． (　　) √ × × √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [提示]　(1)√　因为|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，所以点P的轨迹是椭圆． (2)×　因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|，所以点P的轨迹是线段F1F2． (3)×　因为|PF1|＋|PF2|<|F1F2|，所以点P的轨迹不存在． (4)√ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 探究2　椭圆的标准方程 问题2　椭圆的定义中涉及两个常数|MF1|＋|MF2|和|F1F2|，结合所建坐标系，将这两个常数设为什么形式会给计算带来方便？ [提示]　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0)，那么焦点F1，F2的坐标 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 分别为(－c，0)，(c，0)．根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a．由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．因为|MF1|＝， |MF2|＝， 所以＝2a．① 为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得＝2a－．② 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，整理，得a2－cx＝a．③ 对方程③两边平方，得 a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2， 整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．④ 将方程④两边同除以a2(a2－c2)， 得＝1．⑤ 由椭圆的定义可知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0． 令b＝，那么方程⑤就是＝1(a＞b＞0)．⑥ 我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆的标准方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [新知生成]   焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ______________________ _____________________ 图形 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程   焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点坐标 ____________________ ___________________ a，b，c的关系 ________________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2＝a2－b2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 【教用·微提醒】　(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴． (2)两种椭圆＝1，＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同． (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上． (4)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [典例讲评]　【链接教材P107例1】 1．求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)； (2)经过P(－2，1)，Q(，－2)两点． [解]　(1)法一：由题知，焦点在y轴上，且c＝，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则b2＝a2－3，由椭圆过点(1，2)，知＝1，解得a2＝6或a2＝2(舍去)．所以椭圆的标准方程为＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 法二：因为焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)， 由椭圆定义知，2a＝＝2＋2， 即a＝，所以a2＝6． 又c＝，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＝1． (2)法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 所以椭圆的标准方程为＝1． ②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 依题意，有解得 由a＞b＞0，知不合题意，故舍去． 综上，椭圆的标准方程为＝1． 法二：椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，设所求椭圆的方程为＝1(m＞0，n＞0，m≠n)， 把点P，Q的坐标代入得解得所以椭圆的标准方程为＝1． 【教材原题·P107例1】 例1　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点，求它的标准方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [解]　由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知 c＝2，2a＝＋＝2， 所以a＝． 所以b2＝a2－c2＝10－4＝6． 所以，所求椭圆的标准方程为＝1． 发现规律　试总结用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤． [提示]　(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能． (2)设方程：根据上述判断设方程＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． (3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [学以致用]　2．(源自湘教版教材)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为(－3，0)和(3，0)，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10； (2)焦点坐标为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，2)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)由于椭圆的焦点在x轴上，故可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义知2a＝10，所以a＝5． 又因为c＝3，所以b2＝a2－c2＝25－9＝16． 因此，所求椭圆的标准方程为＝1． (2)由于椭圆的焦点在y轴上，故可设它的标准方程为＝1(a＞b＞0)． 由焦点坐标及椭圆上一点(3，2)，及椭圆的定义可知2a＝＝5＋3＝8，因此a＝4． 因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12． 因此，所求椭圆的标准方程为＝1． 探究3　椭圆定义的应用 [典例讲评]　2．已知P为椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积． [解]　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝3， 从而|F1F2|＝2c＝6． 在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°， 即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．① 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝4， 即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|．② 由①②得|PF1|·|PF2|＝4． 所以＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝． [母题探究]　 1．本例中，“∠F1PF2＝60°”改为“直线PF1与椭圆的另一个交点为Q”，求△PQF2的周长． [解]　因为P，Q都在椭圆上，所以结合椭圆的定义知 |PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a． 又因为|PQ|＝|PF1|＋|QF1|， 所以△PQF2的周长为|PQ|＋|PF2|＋|QF2|＝|PF1|＋|QF1|＋|QF2|＋|PF2|＝4a．故△PQF2的周长为4×2＝8． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 2．本例中，将“∠F1PF2＝60°”改为“∠PF1F2＝90°”，求△F1PF2的面积． [解]　由已知得a＝2，b＝，所以c＝＝＝3． 从而|F1F2|＝2c＝6． 在△F1PF2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋36， 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋36， 解得|PF1|＝． 所以＝·|PF1|·|F1F2|＝×6＝，即△F1PF2的面积是． 【教用·备选题】　已知椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆E上，∠F1PF2＝2θ． (1)求△F1PF2的面积S； (2)研究△PF1F2的内角∠F1PF2的变化规律． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [解]　(1)如图所示，由椭圆的定义，可得 |PF1|＋|PF2|＝2a． 由余弦定理，可得 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ ＝(|PF1|＋|PF2|)2－2·|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|·cos 2θ ＝4a2－2|PF1|·|PF2|·(1＋cos 2θ)＝4c2， ∴|PF1|·|PF2|＝． ∴S＝|PF1|·|PF2|·sin 2θ＝·sin 2θ＝·b2＝b2tan θ． (2)∵∠F1PF2为△PF1F2的内角， ∴2θ∈(0，π)，即θ∈． 令点P沿顺时针方向由点A向点B运动，则△PF1F2的边F1F2不变，但F1F2上的高逐渐增大，故S逐渐增大，从而tan θ逐渐变大．由θ∈可知，θ也逐渐变大．由此可见，点P的纵坐标的绝对值越大，2θ也越大，当点P与点B或点D重合时，∠F1PF2达到最大值． 反思领悟　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化． (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解． (3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 [学以致用]　3．如图，椭圆＝1(a＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为________． 3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 3　[根据题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a，则|PF2|＝2a－4，又c2＝a2－2，利用余弦定理的推论可得 cos ∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得＝－，解得a＝3．] 应用迁移 随堂评估自测 1．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为C上一点，若|PF1|＝4，则|PF2|＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 √ C　[由题意P为C上一点，得|PF1|＋|PF2|＝2×7＝14，因为|PF1|＝4，所以|PF2|＝14－4＝10．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 2．已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2|的最小值是(　　) A．5 B．9 C．4 D．3 √ C　[由已知得c＝，a＝3，|MF1|＋|MF2|＝6， 设|MF1|＝x，则3－≤x≤3＋， 所以|MF1||MF2|＝x(6－x)＝6x－x2＝－(x－3)2＋9，从而x＝3－或x＝3＋时|MF1|·|MF2|取得最小值4．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 3．(多选)对于曲线C：＝1，下面四个说法中正确的是 (　　) A．曲线C不可能是椭圆 B．“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D．“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 CD　[当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确．故选CD．] 4．(教材P109练习T4改编)已知椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是_____________________． ＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 ＝1　[设|MF1|＝m，|MF2|＝n，椭圆方程为＝1(a＞b＞0)． 因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2， 所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36， 所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3． 又因为c＝，所以b＝＝2， 所以椭圆的方程是＝1．] 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 2．方法链：分类讨论、待定系数法． 3．警示牌：(1)忽视定义中a，b，c的关系． (2)混淆焦点在不同坐标轴上的椭圆的两种标准方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．椭圆是如何定义的？请写出其标准方程． [提示]　把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆． 其标准方程为＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 2．当方程＝1表示椭圆时，m，n满足什么条件？当方程表示焦点在x轴或y轴上的椭圆时，m，n又满足什么条件？ [提示]　表示椭圆时， 表示焦点在x轴上的椭圆时，m>n>0， 表示焦点在y轴上的椭圆时，n>m>0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 椭圆标准方程的推理 椭圆标准方程的推理，除了课本给出的两次平方法之外，还有几种方法，选择部分归纳如下： 阅读材料 拓展数学视野 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 1．法国数学家洛必达的“和差法” 如图，设|AB|＝2a，|CD|＝2b，焦距|F1F2|＝2c，点P(x，y)是椭圆上任意一点． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以可以设|PF1|＝a＋z，|PF2|＝a－z(z为待定参数)，所以|PF1|2＝(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2， |PF2|2＝(a－z)2＝(x－c)2＋y2． 两式相减得4az＝4cx，得z＝， 将z＝代入(a＋z)2＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2，整理得＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 2．英国数学家赖特的“平方差法” 如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，由定义得r1＋r2＝2a． 又＝＝(x－c)2＋y2，两式相减得＝4cx，即(r1－r2)(r1＋r2)＝4cx， 所以r1－r2＝，所以r1＝a＋，r2＝a－． 把r1＝a＋代入＝(x＋c)2＋y2，并设a2－c2＝b2， 整理得＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 3．英国数学家斯蒂尔的“三角法” 如图，点P(x，y)是椭圆上任意一点，∠PF2G＝θ，设|PF2|＝z． 因为|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|＝2a－z． 在△PF1F2中，由余弦定理得(2a－z)2＝z2＋4c2－4cz cos θ． 又z cos θ＝c－x，所以(2a－z)2＝z2＋4c2－4c(c－x)， 解得z＝． 在△PGF2中，由勾股定理得z2＝＝y2＋(c－x)2， 令a2－c2＝b2，整理得＝1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 通过对比这些推理方法，我们发现只有两次平方法是按照定义构造方程，再对所构造的方程推理化简而得到标准方程的．其他“和差法”“平方差法”“三角法”都有刻意构造的感觉，仅仅是就问题解决问题，没有体现方程和曲线之间关系的思想性．因此，大多数教科书用两次平方法作为标准方程的推理方法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(－3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|＋|PB|＝2a(a≥0)，下列说法中正确的是(　　) A．当a＝2时，点P的轨迹不存在 B．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当a＝4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当a＝3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 课时分层作业(二十五)　椭圆及其标准方程 √ √ 52 AC　[当a＝2时，2a＝4＜|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确； 当a＝4时，2a＝8＞|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|＝6，B错误，C正确； 当a＝3时，2a＝6＝|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 54 C　[椭圆＝1的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)， 所求椭圆与椭圆＝1的焦点相同，且过点(－3，2)， 则2a＝＝2，∴a＝，得b2＝15－5＝10． ∴所求椭圆的方程为＝1．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 3．椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在此椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么的值为(　　) A． B．4 C．7 D． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 56 C　[由题设知F1(－3，0)，F2(3，0)， ∵线段PF1的中点在y轴上， ∴设P(3，y0)，把P(3，y0)代入椭圆＝1，得＝． ∴|PF1|＝＝，|PF2|＝＝． ∴＝＝7．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 4．点P是椭圆＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为 (　　) A．2 B． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 58 B　[由＝1，得a＝4，b＝，c＝＝3， 所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|＝2a＋2c＝8＋6＝14， 设△PF1F2的内切圆半径为r， 因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP， 所以×14×1＝×6yP，得yP＝． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 59 5．已知F1，F2分别是椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　) A．24 B．26 C．22 D．24 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 60 A　[由椭圆的方程可得a2＝49，b2＝24，可得c2＝a2－b2＝49－24＝25， 则a＝7，c＝5， 由3|PF1|＝4|PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，得|PF1|＝8，|PF2|＝6， 则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1⊥PF2， 所以△PF1F2的面积等于|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 6　[依据题意及椭圆方程知，a＝4， 则|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝16，又|F2A|＋|F2B|＝10，所以|AB|＝6．] 二、填空题 6．已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|F2A|＋|F2B|＝10，则|AB|＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 62 7．已知椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7　[椭圆＝1中2a＝10， ∵椭圆＝1上的点P到一个焦点的距离为3，∴P到另一个焦点的距离为10－3＝7．] 7 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 63 8．设F1，F2分别是椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝2，若a＝2b，则椭圆的标准方程为____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 ＋y2＝1　[∵a＝2b，a2＝b2＋c2，∴c2＝3b2，又∵PF1⊥PF2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝12b2，由椭圆的定义可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4b， ∵|PF1|·|PF2|＝2，∴(|PF1|＋|PF2|)2＝12b2＋4＝16b2，解得b2＝1， 则a2＝4，故椭圆的标准方程为＋y2＝1．] ＋y2＝1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 64 三、解答题 9．已知椭圆M与椭圆N：＝1有相同的焦点，且椭圆M过点． (1)求椭圆M的标准方程； (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 65 [解]　(1)由题意知，椭圆N的焦点为(－2，0)，(2，0)， 则设椭圆M的方程为＝1(a>b>0)， 则化简并整理得5b4＋11b2－16＝0， 故b2＝1或b2＝－(舍去)，a2＝5， 故椭圆M的标准方程为＋y2＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 (2)由(1)知F1(－2，0)，F2(2，0)， 设P(x0，y0)，则△PF1F2的面积为×4×|y0|＝1，解得y0＝±． 又＝1，所以＝，x0＝±， 所以点P有4个，它们的坐标分别为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 10．已知椭圆E：＝1(a＞b＞0)，A(－2，0)，B(1，2)，C，D四个点中恰有三个点在椭圆E上，则椭圆E的方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＋y2＝1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 68 B　[因为C与D关于x轴对称，所以点C，D在椭圆E上，点B不在椭圆E上，点A在椭圆E上，所以解得a2＝4，b2＝3， 所以椭圆E的方程为＝1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 11．椭圆＝1(a＞)的左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆与y轴正半轴的交点，若△AF1F2的面积为，则△AF1F2的周长为 (　　) A．8 B．7 C．6 D．5 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 70 C　[由椭圆＝1(a＞)知b＝，设半焦距为c，则△AF1F2的面积S＝|F1F2|·b＝c，由题意得c＝，∴c＝1，a＝＝2， 由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4， 又|F1F2|＝2c＝2，则△AF1F2的周长为4＋2＝6． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 12．(多选)已知F1，F2是椭圆＝1的左、右焦点，M为椭圆上的动点，则下列结论中正确的是(　　) A．|MF2|的最大值大于3 B．|MF1|·|MF2|的最大值为4 C．∠F1MF2的最大值为60° D．若动直线l垂直于y轴，且交椭圆于A，B两点，P为直线l上满足|PA|·|PB|＝2的点，则点P的轨迹方程为＝1或＝1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 72 BCD　[由椭圆方程得a2＝4，b2＝3，所以c2＝1， 所以F1(－1，0)，F2(1，0)． 选项A中，|MF2|max＝a＋c＝3，A错误； 选项B中，|MF1|·|MF2|≤＝4，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝2时取等号，B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 选项C中，当点M为椭圆与y轴的交点时，∠F1MF2取得最大值，取M(0，)，得tan ＝， 所以＝30°，∠F1MF2＝60°，C正确； 选项D中，设P(x，y)，A(x1，y)，B(－x1，y)． 因为|PA|·|PB|＝2，所以|x－x1|·|x＋x1|＝2， 所以|＝2，即＝x2＋2或＝x2－2． 又由题意知＝1，所以＝1或＝1， 化简得＝1或＝1，D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 74 13．已知椭圆C：mx2＋ny2＝1与y轴的一个交点为(0，3)，焦距为4，则m的值为____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 或　[将(0，3)代入椭圆C方程：mx2＋ny2＝1，解得n＝． 故椭圆方程为mx2＋＝1， 由焦距为4，得c＝2，c2＝4． 或 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 75 由题意知m＞0，且m≠，方程可化为＝1， 若椭圆焦点在x轴上，a2＝，b2＝9，则有c2＝－9＝4，解得m＝； 若椭圆焦点在y轴上，a2＝9，b2＝，则有c2＝9－＝4，解得m＝． 综上所述，m＝或m＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 76 14．某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的部分路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离之和为8海里处发现过鱼群，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发 出不同频率的探测信号(传播速度相同)，探测仪在A，B两岛上收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 77 [解]　(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的标准方程为＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 78 (2)由于探测仪在A，B两岛上收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群分别距A，B两岛的距离为5海里和3海里，设P(x，y)，由B(2，0)，|PB|＝3，得＝3， ∴解得或 ∴点P的坐标为(2，3)或(2，－3)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 79 15．已知点F是椭圆C：＝1的左焦点，P为C上一点，A(0，1)，则|PA|＋|PF|的最小值是________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 4－　[由椭圆的方程，可得a＝2，c＝＝1， 设右焦点为F′(1，0)， 因为|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′| ＝4－＝4－， 当且仅当A，F′，P三点共线，且A在P，F′之间时不等式取等号．] 4－ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 3.1.1　椭圆及其标准方程 80 $$