3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦双曲线的简单几何性质这一核心知识点，从具体双曲线方程的范围、对称性等问题探究入手，系统梳理标准方程下的范围、对称性、顶点、轴长、渐近线和离心率等性质，构建“探究-总结-应用”的学习支架。 通过问题驱动的探究活动和典例讲评，培养学生数学抽象和直观想象素养，如探究1引导学生自主发现几何性质，母题探究深化方程与性质联系。课中辅助教师引导学生主动建构知识，课后分层作业帮助学生巩固提升，查漏补缺。

3.2.2　双曲线的简单几何性质 第1课时　双曲线的简单几何性质 [学习目标]　 1．掌握双曲线的简单几何性质．(数学抽象、直观想象) 2．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程．(数学抽象) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．双曲线有哪些几何性质？ 问题2．双曲线的离心率与双曲线的形状有怎样的联系？ 探究1　双曲线的几何性质 问题　已知双曲线C的方程为x2－＝1，根据这个方程回答下列问题： (1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征； (2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称； (3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标； (4)如果(x，y)满足双曲线C的方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点． [提示]　(1)|x|≥1，y∈R，双曲线C位于直线x＝－1及其左侧和直线x＝1及其右侧的区域． (2)双曲线C关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称． (3)与x轴交于(±1，0)，与y轴无交点． (4)|x|增大，|y|随着增大，随着|x|的增大，双曲线C无限接近y＝±2x． [新知生成] 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【教用·微提醒】　对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． [典例讲评]　1．(源自湘教版教材)求双曲线＝1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图． [解]　由双曲线方程可得实半轴长a＝3，虚半轴长b＝4，c＝＝＝5，于是焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． 渐近线方程为y＝±x＝±x，离心率e＝＝． 为画出双曲线的草图，在坐标系中画出渐近线y＝±x，顶点(±3，0)．算出双曲线在第一象限内一点的坐标，例如取x＝5，算出y＝≈5.33，可见点(5，±5.33)在双曲线上．将y轴右边已知的三点(5，5.33)，(3，0)，(5，－5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，就画出了双曲线的一支．由对称性可画出位于y轴左边的另一支，如图所示． [母题探究]　若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)，求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． [解]　把方程nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)化为标准方程＝1(m＞0，n＞0)， 由此可知，实半轴长a＝， 虚半轴长b＝；c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)； 离心率e＝＝＝； 顶点坐标为(－，0)，(，0)； 渐近线方程为y＝±x，即y＝±x． 　由双曲线方程研究其几何性质的注意点 (1)把双曲线方程化为标准形式，确定焦点位置，进而确定a，b的值是关键． (2)由c2＝a2＋b2(易与椭圆中a2＝b2＋c2混淆)求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． [学以致用]　【链接教材P124例3】 1．(多选)关于双曲线C：＝1，下列说法正确的是(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．离心率为 C．焦点坐标为(±，0) D．实轴长是虚轴长的4倍 AB　[双曲线C：＝1，焦点在x轴上，a＝4，b＝2，c＝＝2， 则渐近线方程为y＝±x，故A正确；离心率为e＝＝，故B正确； 焦点坐标为(±2，0)，故C错误； 实轴长为2a＝8，虚轴长为2b＝4，所以C的实轴长是虚轴长的2倍，故D错误． 故选AB．] 【教材原题·P124例3】 例3　求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． [解]　把双曲线的方程9y2－16x2＝144化为标准方程 ＝1． 由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0，5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x． 探究2　由双曲线的几何性质求标准方程 [典例讲评]　2．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)与椭圆＝1有公共焦点，且离心率e＝； (2)双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线，且经过点(3，－2)． [解]　(1)∵椭圆＝1的焦点坐标为(±3，0)， ∴双曲线的焦点在x轴上，且c＝3， ∵e＝，∴a＝2，∵c2＝a2＋b2，∴b2＝9－4＝5， ∴双曲线的标准方程为＝1． (2)因为双曲线E与双曲线＝1有共同的渐近线， 所以可设双曲线E的方程为＝k，k≠0， 因为双曲线E过点(3，－2)，则＝k，解得k＝－2， 故双曲线E的标准方程为＝1． 　巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． [学以致用]　2．求下列双曲线的标准方程： (1)渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3)； (2)过点(2，0)，且与双曲线＝1的离心率相等． [解]　(1)法一：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x， 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝．① ∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1．② 联立①②，无解． 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则＝．③ ∵A(2，－3)在双曲线上，∴＝1．④ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． 综上可知，所求双曲线的标准方程为＝1． 法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±x， 设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上，∴－(－3)2＝λ，即λ＝－8． ∴所求双曲线的标准方程为＝1． (2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，设其方程为＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝， 故所求双曲线的标准方程为－y2＝1； 当所求双曲线的焦点在y轴上时， 设其方程为＝λ(λ＞0)， 将点(2，0)的坐标代入方程得λ＝－＜0(舍去)． 综上可知，所求双曲线的标准方程为－y2＝1． 探究3　求双曲线的渐近线和离心率 　求双曲线的渐近线 [典例讲评]　3．(1)双曲线＝1的一个顶点到渐近线的距离为(　　) A． B．4 C． D．2 (2)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，则渐近线方程是(　　) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x (1)C　(2)C　[(1)由双曲线的方程知两顶点为A1(－2，0)，A2(2，0)， 渐近线方程为y＝±x＝±2x， 根据双曲线的对称性，不妨求A1到直线y＝2x的距离，d＝＝． 故选C． (2)由双曲线方程＝1，知渐近线方程为y＝±x， 又因为e＝＝2，c2＝a2＋b2，所以＝4＝，得到＝， 所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x． 故选C．] 　求渐近线的方法 (1)计算a，b的值代入渐近线方程． (2)利用＝或＝进行转化． [学以致用] 3．已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝(　　) A． C． D．3 A　[根据题意可知＝，解得a＝． 故选A．] 　求双曲线的离心率 [典例讲评]　4．设F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为M．若|MF2|＝b，则双曲线C的离心率为(　　) A． C．3 D． A　[由双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)，可得渐近线方程为y＝±x，点F1到渐近线的距离|MF1|＝＝b， 在Rt△MOF1中， cos ∠OF1M＝＝，在△MF1F2中，由余弦定理得|MF2|2＝－2|F1F2|·|MF1|cos ∠OF1M，即3b2＝4c2＋b2－4cb·＝4c2－3b2，所以2c2＝3b2＝3(c2－a2)，所以c2＝3a2，所以e＝＝．故选A．] 【教用·备选题】　已知F为双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，P为C左支上的点，A为右顶点，若|FA|＝|PA|＝2|PF|，则C的离心率为(　　) A． C． A　[设双曲线C的右焦点为F′， 设|PF|＝t，则|AF|＝|AP|＝2t，|PF′|＝t＋2a，在△PAF中，由余弦定理可得cos ∠PFA＝＝， 在△PFF′中，由余弦定理可得cos ∠PFF′＝＝， 化简得t(c＋4a)＝4c2－4a2， 又2t＝a＋c，可得8c2－8a2＝(a＋c)(c＋4a)＝c2＋5ac＋4a2，即7c2－5ac－12a2＝0，即(7c－12a)(c＋a)＝0，解得c＝a，即e＝＝． 故选A．] 　结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法． [提示]　(1)若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)若已知a，b，可利用e＝得解． (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋qac＋ra2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋qe＋r＝0求解． [学以致用]　4．(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________． 　[由题可知A，B，F2三点横坐标相等，设A在第一象限，将x＝c代入＝1， 得y＝±，即A，B，故|AB|＝＝10，|AF2|＝＝5， 又|AF1|－|AF2|＝2a，得|AF1|＝|AF2|＋2a＝2a＋5＝13，解得a＝4，代入＝5得b2＝20，故c2＝a2＋b2＝36，即c＝6，所以e＝＝＝．] 1．双曲线－y2＝1的一条渐近线方程为(　　) A．y＝ B．y＝x C．y＝2x D．y＝4x A　[∵双曲线的方程为－y2＝1，∴它的渐近线方程为y＝±x， ∴y＝x是它的一条渐近线方程． 故选A．] 2．已知双曲线－y2＝1的实轴长是4，则实数m的值为(　　) A．－4 B．4 C． D．－ B　[双曲线－y2＝1的实轴长是4， 则2＝4，解得m＝4． 故选B．] 3．已知双曲线＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)到其渐近线的距离为c，则该双曲线的离心率为(　　) A．2 B．2 C． D．2 C　[根据双曲线的几何性质可知，左焦点F(－c，0)， 其到渐近线bx±ay＝0的距离为＝b＝c，因为c2＝a2＋b2， 所以e＝＝＝＝＝． 故选C．] 4．(教材P124练习T4改编)写出一个与双曲线x2－＝1有相同渐近线，且焦点在y轴上的双曲线方程________． －x2＝1(答案不唯一)　[双曲线x2－＝1的渐近线方程为y＝±x， 因为所求双曲线的焦点在y轴上， 则＝，不妨取a＝，b＝1， 故所求双曲线的方程为－x2＝1(答案不唯一)．] 1．知识链： 2．方法链：待定系数法、直接法、方程法． 3．警示牌：由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何根据双曲线的方程研究其几何性质？ [提示]　(1)把双曲线方程化为标准方程； (2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值； (3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质． 2．离心率e和有怎样的关系？ [提示]　e＝． 3．如何用待定系数法设出与双曲线＝1有相同渐近线的双曲线方程？ [提示]　可设为＝λ(λ≠0)． 课时分层作业(三十)　双曲线的简单几何性质 一、选择题 1．(多选)已知双曲线C：x2－2y2＝3，则(　　) A．C的实轴长为2 B．C的焦距为3 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为x±y＝0 BD　[双曲线C：x2－2y2＝3，即＝1， 则a＝，b＝＝，c＝＝， C的实轴长为2a＝2，故A错误； C的焦距为2c＝3，故B正确； C的离心率为＝＝，故C错误； C的渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，即x±y＝0，故D正确．故选BD．] 2．(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　) A．4 B．3 C．2 D． C　[设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)， 则|F1F2|＝2c＝8， |PF1|＝＝10， |PF2|＝＝6， 则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4， 则e＝＝2． 故选C．] 3．双曲线＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝－x，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，双曲线左支上的点到F2的距离的最小值为3，则双曲线的方程为(　　) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．＝1 D．＝1 B　[根据题意可得， 解得 ∴所求双曲线的方程为x2－＝1．故选B．] 4．已知F1，F2分别是双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，若∠F1PF2＝＝ac，则双曲线C的离心率为(　　) A． －1 C． D．2 A　[设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则＝mn·sin 60°＝ac， ∴mn＝4ac，由余弦定理可得|F1F2|2＝4c2＝m2＋n2－mn＝(m－n)2＋mn， 由双曲线的定义可知m－n＝2a，∴4c2＝4a2＋4ac，即c2－a2＝ac， ∴e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)．故选A．] 5．(多选)已知曲线C：＝1，下列结论正确的有(　　) A．若曲线C表示椭圆，则－2＜k＜2且k≠0 B．若曲线C表示双曲线，则焦距是定值 C．若k＝，则短轴长为 D．若k＝3，则渐近线方程为y＝±x ACD　[对于A，曲线C：＝1， 若曲线C表示椭圆， 则解得－2＜k＜2且k≠0，故A正确； 对于B，若曲线C表示双曲线，则(2＋k)(2－k)＜0，解得k＜－2或k＞2，取k＝3和k＝4，则双曲线的焦距分别为2和4， 故焦距不为定值，故B错误； 对于C，若k＝，则曲线C：＝1，故b2＝，解得b＝， 所以短轴长为，故C正确； 对于D，若k＝3，则曲线C：＝1，故a＝，b＝1， 所以渐近线方程为y＝±x，故D正确．故选ACD．] 二、填空题 6．双曲线＝1的实轴长为________，渐近线方程为________． 10　y＝±x　[由双曲线方程为＝1，可得a2＝25，b2＝9，即a＝5，b＝3． ∴实轴长为2a＝10．∴渐近线方程为y＝±x＝±x．] 7．离心率为的双曲线与椭圆＝1的焦点相同，则双曲线的方程是________． ＝1　[由题知在椭圆中， 焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， ∴双曲线中，焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，c＝5， ∵e＝＝，∴a＝3，a2＝9，b2＝c2－a2＝16． 故双曲线的方程为＝1．] 8．已知双曲线＝1(a＞－2)的离心率为2，则a＝________． －1　[由a＞－2，可得a＋2＞0，又由离心率为2， 可得e2＝＝4，解得a＝－1．] 三、解答题 9．已知双曲线C的方程为＝1． (1)求双曲线C的离心率； (2)求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A(－3，2)的双曲线的方程． [解]　(1)由题意知a2＝9，b2＝16， 所以c2＝a2＋b2＝25， 则a＝3，c＝5， 所以该双曲线的离心率e＝＝． (2)根据题意，可设双曲线的标准方程为＝λ(λ≠0)， 又因为双曲线经过点A(－3，2)， 代入方程可得λ＝， 故所求双曲线的方程为＝1． 10．(多选)已知双曲线M：＝1(a＞b＞0)的焦距为4，两条渐近线的夹角为60°，则下列说法正确的是(　　) A．M的离心率为 B．M的标准方程为－y2＝1 C．M的渐近线方程为y＝±x D．直线x＋y－2＝0经过M的一个焦点 AD　[已知双曲线M的方程为＝1(a＞b＞0)， 则双曲线M的渐近线方程为y＝±x，又双曲线M的两条渐近线的夹角为60°， 则＝或＝，又a＞b＞0，双曲线M的焦距为4， 则即 对于选项A，M的离心率为＝＝， 选项A正确； 对于选项B，双曲线M的标准方程为－y2＝1， 选项B错误； 对于选项C，M的渐近线方程为y＝±x， 选项C错误； 对于选项D，直线x＋y－2＝0经过点(2，0)， 则直线x＋y－2＝0经过M的右焦点，选项D正确． 故选AD．] 11．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到C1的两个焦点的距离的差的绝对值为8，则曲线C2的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 A　[根据题意可知椭圆方程中的a＝13， ∵＝， ∴c＝5． 根据双曲线的定义可知曲线C2为双曲线，其中半焦距为5，实轴长为8， ∴虚轴长为2＝6， ∴曲线C2的标准方程为＝1． 故选A．] 12．已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)，M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点，若圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，] B．(1，2] C．(2，＋∞) D．[，＋∞) A　[双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0， ∵M(x0，y0)是直线bx－ay＋4a＝0上任意一点， 则直线bx－ay＋4a＝0与直线bx－ay＝0间的距离d＝＝， ∵圆(x－x0)2＋(y－y0)2＝8与双曲线C的右支没有公共点， ∴d≥2，则≥2，即e＝，又e＞1， 故e的取值范围为(1，]．故选A．] 13．已知F1，F2分别是双曲线E：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点．若双曲线E上存在一点P使得||＝b，则双曲线E的离心率的取值范围为________． [，＋∞)　[如图所示，＝2，所以2||＝b，所以||＝，又因为||≥||＝a，即≥a，即b≥2a，所以离心率e＝＝＝，所以双曲线E的离心率的取值范围为[，＋∞)． ] 14．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线． (1)已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为，求C的共轭双曲线的方程． (2)已知双曲线C1和它的共轭双曲线C2的离心率分别为e1，e2． ①求证：＝1； ②求的取值范围． [解]　(1)设双曲线C的焦距为2c，实轴长为2a，虚轴长为2b， 由双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，焦距为16，离心率为， 可得2c＝16，＝，解得a＝6，c＝8，b＝＝＝2， 所以C的方程为＝1，从而它的共轭双曲线的方程为＝1． (2)不妨设双曲线C1的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， 则C2的标准方程为＝1(a＞0，b＞0)， 所以e1＝，e2＝． ①证明：＝＝1． ②＝＝＝＝， 因为a＞0，b＞0，由不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号， 可得0＜≤1， 所以1＜，即的取值范围是(1，]． 15．过双曲线－y2＝1的一个焦点作倾斜角为60°的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是________． 　[由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60°的直线过右焦点，该直线与两条渐近线交于A，B两点． 由双曲线－y2＝1可得渐近线方程为y＝±x，双曲线的半焦距为c＝2，故右焦点坐标为F(2，0)，过点F且倾斜角为60°的直线方程为y＝(x－2)， 由可得交点坐标为A(3，)， 由可得交点坐标为B， 故倾斜角为60°的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝×2×＝．] 17/17 学科网（北京）股份有限公司 $$