第6章 滚动检测(6)-【优化探究】2026高考数学一轮复习高考总复习配套课件（湘教版）

滚动检测(六) 第六章　数列 一、单项选择题 1.已知A=,B=,则(∁NA)∩B=(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析:根据题意,得(∁NA)∩B=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 2.已知等差数列的公差不为0,且a1,a3,a9成等比数列,则a1,a3,a9的公比是(　　) A.1 B.2 C.3 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 解析:设等差数列的公差为d(d≠0),由a1,a3,a9成等比数列,得=a1(a1+8d),整理得4d2=4a1d,则a1=d≠0,所以a1,a3,a9的公比q===3. 3.已知a>b>c>0,则下列说法一定正确的是(　　) A.a>b+c B.a2<bc C.ac>b2 D.ab+bc>b2+ac 解析:当a=3,b=2,c=1时,a=b+c,且ac<b2,故A,C项错误;因为a>b>0,a>c>0,所以a2>bc,故B项错误;ab+bc-(b2+ac)=(b-c)(a-b)>0,故D项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D 15 16 17 4.已知a,b均为单位向量,且=,则a与b-a的夹角大小为(　　) A. B. C. D.π 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C 15 16 17 解析:因为=,所以a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,即a·b=0. ==,则cos<a,b-a>===-. 因为<a,b-a>∈,所以a与b-a的夹角大小为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.将函数f(x)=4sin x+3cos x的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)=5sin x的图象,则sin φ=(　　) A. B. C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 解析:因为f(x)=4sin x+3cos x=5sin(x+α),其中sin α=, 因为将f(x)=4sin x+3cos x的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)=5sin x, 所以φ=α,所以sin φ=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.类比数列,我们把一系列向量按照一定的顺序排列,可得到向量列.已知向量列满足an+1=2an+d,且满足a1·d=|d|=1,则an·d的值为(　　) A.2n-1 B.2n-1 C.2n+1-4 D.2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 解析:an+1·d=(2an+d)·d=2an·d+d2=2an·d+1,则an+1·d+1=2(an·d+1),其中a1·d+1=2,则是以2为首项,2为公比的等比数列, 则an·d+1=2n,则an·d=2n-1. 7.函数f(x)=x2-cos(3πx)的零点个数是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B 15 16 17 解析:f(x)=x2-cos(3πx)=0,即x2=cos(3πx), 则函数f(x)的零点个数,即函数h(x)=x2和g(x)=cos(3πx)图象的交点个数, 由余弦函数的图象及性质知g(x)=cos(3πx)为偶函数,周期T==, g=cos=cos 2π=1,h==<1, g=cos=cos =0,h==>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 根据以上性质在同一直角坐标系中作出函数h(x)=x2和g(x)=cos(3πx)的图象,如图, 由图可得,两个函数的图象共有6个交点,即函数f(x)共有6个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.已知函数y=kx+b,其中k,b(k≠0)是常数,其图象是一条直线,称这个函数为线性函数,对于非线性可导函数f(x),在点x0附近一点x的函数值f(x),可以用如下方法求其近似代替值:f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x-x0).利用这一方法,m=的近似代替值(　　) A.一定大于m B.一定小于m C.等于m D.与m的大小关系不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 15 16 17 解析:令函数f(x)=,则f'(x)=.根据题意可得m==f(1.002)≈f(1)+f'(1)(1.002-1)=1+×0.002=1.001.又因为1.0012=1.002 001>m2=1.002,所以近似代替值1.001>m,近似代替值一定大于m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 二、多项选择题 9.已知函数f(x)=sin x-cos x+2,则(　 　) A.f(x)的最小正周期为2π B.f(x)的最大值为3 C.f(x)的图象关于点对称 D.f(x)的图象关于直线x=-对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ACD 解析:f(x)=sin x-cos x+2=+2=sin+2, 则f(x)的最小正周期为2π,故A正确; f(x)的最大值为2+,故B错误;f(x)的图象关于点对称,故C正确; f(x)的图象关于直线x=-对称,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.在数列中,如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数,则称数列为“等积数列”,非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列,且a1=1,公积为2,设Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1a2…an,则(　　) A.an+2=an B.a2 025=1 C.S2 025=3 069 D.T2 024=21 012 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ABD 解析:对于A,由题可知,对任意的n∈N+,anan+1=2, 则对任意的n∈N+,an≠0,所以anan+1=an+1an+2,故an+2=an,A对; 对于B,a1a2=2,所以a2=2,由A可知,an=所以a2 025=1,B对; 对于C,S2 025=(a1+a3+…+a2 025)+(a2+a4+…+a2 024)=1×1 013+2×1 012= 3 037,C错; 对于D,因为a1a2=a3a4=…=a2 023a2 024=2,所以T2 024==21 012, D对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.函数f(x)及其导函数f'(x)的定义均为R,且f(x)是奇函数,设g(x)=f'(x),h(x)=f(x-4)+x,则以下结论一定正确的有( 　　) A.g(x)为偶函数 B.函数g(2x-1)的图象关于直线x=-对称 C.h(x)的图象关于(4,4)对称 D.设数列为等差数列,若a1+a2+…+a11=44,则h(a1)+h(a2)+…+h(a11)=44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ACD 解析:对于A,因为函数f(x)及其导函数f'(x)的定义均为R,且f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x),则-f'(-x)=-f'(x). 又g(x)=f'(x),即g(-x)=g(x),故g(x)为偶函数,故A正确; 对于B,因为g(2x-1)的图象是由函数g(x)图象向右平移一个单位,再将横坐标缩短为原来的得到. 又因为g(x)是偶函数,函数图象关于x=0对称, 所以函数g(2x-1)的图象关于直线x=对称,故B错误; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C,因为h(x)=f(x-4)+x=f(x-4)+(x-4)+4,令u(x)=f(x)+x,x∈R, 则h(x)=u(x-4)+4, 由f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),所以u(-x)=f(-x)-x=-=-u(x), 所以u(x)=f(x)+x为奇函数,则u(x)=f(x)+x图象关于(0,0)对称, 而h(x)的图象可以看作由u(x)的图象向右平移4个单位,再向上平移4个单位而得, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以h(x)的图象关于(4,4)对称,故C正确; 对于D,由C选项可知,当x1+x2=8时,h(x1)+h(x2)=8, 在等差数列中a1+a11=a2+a10=…=a5+a7=2a6,又a1+a2+…+a11=44, 所以a1+a11=a2+a10=…=a5+a7=2a6=8, 所以h(a1)+h(a11)=h(a2)+h(a10)=…=h(a5)+h(a7)=h(a6)+h(a6)=8, 所以h(a1)+h(a2)+…+h(a11)=44,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 三、填空题 12.数列满足an+1=,a1=2,则数列{log2an}的前8项和为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 255 解析:由an+1=,a1=2,得log2a1=1,log2an+1=2log2an, 因此数列{log2an}是首项为1,公比为2的等比数列, 数列{log2an}的前8项和为=255. 13.已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则复数z=f(2)+f(5)·i(其中i为虚数单位)的模的大小为　　　　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 13 15 16 17 解析:设幂函数f(x)=xa,∵函数图象过点(2,),∴2a=,解得a=,∴f(x)=,∴f(2)==,f(5)==,∴z=f(2)+f(5)·i=+·i, ∴|z|=. 14.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图象,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为d(A,B)=+;余弦相似度为cos(A,B)=×+×;余弦距离为1-cos(A,B). 若A(-1,2),B,则A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离的和为　　　;已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,则tan αtan β的值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 -　 -3 解析:d(A,B)=+=+=, cos(A,B)=×+×=,故余弦距离等于1-cos(A,B)=1-, 即A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离的和为+1-=-. cos(M,N)=·+· =sin αsin β+cos αcos β=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 cos (M,Q)=·+· =sin αsin β-cos αcos β=, 故sin αsin β=,cos αcos β=-,则tan αtan β==-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 四、解答题 15.若f(x)=logax(a>0,a≠1). (1)y=f(x)过(4,2),求f(2x-2)<f(x)的解集; 解:因为y=f(x)的图象过(4,2),故loga4=2, 故a2=4,即a=2(负值舍去), 而f(x)=log2x在(0,+∞)上为增函数,f(2x-2)<f(x), 故0<2x-2<x即1<x<2, 故f(2x-2)<f(x)的解集为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列,求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解: 因为存在x使得f(x+1),f(ax),f(x+2)成等差数列, 故2f(ax)=f(x+1)+f(x+2)有解, 故2loga(ax)=loga(x+1)+loga(x+2). 因为a>0,a≠1,故x>0, 故a2x2=(x+1)(x+2)在(0,+∞)上有解, 则a2==1++=2-在(0,+∞)上有解, 令t=∈(0,+∞),而y=2-在(0,+∞)上的值域为(1,+∞), 故a2>1,即a>1. 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C-asin C-b+c=0. (1)求A; 解:acos C-asin C-b+c=0,由正弦定理得sin Acos C-sin Asin C-sin B+ sin C=0, 在△ABC中,sin B=sin(A+C),则sin Acos C-sin Asin C-sin Acos C- cos Asin C+sin C=0,得-sin Asin C-cos Asin C+sin C=0. 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以sin A+cos A=1,即2sin=1,sin=,又A∈(0,π),则A+∈,则A+=,所以A=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)若b=2,S△ABC=,M为BC的中点,求线段AM的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解: 因为b=2,∠BAC=,S△ABC=bcsin∠BAC=,所以×2×c×=,解得c=3. 在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=4+9-2×2×3×=19,则a=. 因为M为BC的中点,所以BM=. 在△ABC中,由余弦定理得cos B===, 在△ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2AB×BM×cos B=9+-2×3××=,所以AM=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知数列满足-an-1an+1=t,其中n≥2且n∈N+,t为常数. (1)若a1=,a2=,a3=,求数列的通项公式; 解:将n=2,a1=,a2=,a3=,代入-a1a3=t(a1+2a2)2,解得t=0, 所以-an-1an+1=0,即=an-1an+1, 所以为等比数列,首项为a1=,公比为=,所以an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (2)在(1)的条件下记bn=nan,且数列前n项和为Tn,若存在r∈[2,3],使得m(2n+1-2n·Tn)+r≤0对任意的n∈N+都成立,求实数m的取值范围. 解: 由(1)得bn=nan=, Tn=1×+2×+3×+…+n×,① Tn=1×+2×+3×+…+n×,② ①-②可得Tn=++…+-n×=1-, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以Tn=2-(2+n). 存在r∈[2,3],使得m(2n+1-2n·Tn)+r=m(2+n)+r≤0, 即[-m(2+n)]min≥rmin=2,所以-3m≥2,即m≤-,所以m的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $$