2.4.1 圆的标准方程-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“圆的标准方程”，系统涵盖方程推导、求解及点与圆位置关系判断，通过“问题初探”环节以4个预习问题衔接直线方程知识，为后续学习构建知识支架。 其亮点在于以探究建构培养数学抽象，通过定义推导和要素分析引导学生抽象圆的方程特征；典例讲评融合直接法、几何法等多解法提升数学运算能力，如求以AB为直径的圆用中点公式。分层作业和知识链小结帮助学生系统掌握，教师可借助丰富实例和分层设计高效教学，学生能提升逻辑思维与解题能力。

第二章 直线和圆的方程 2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 [学习目标]　 1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象) 2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算) 3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算) 2.4.1　圆的标准方程 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．圆的标准方程如何推导？ 问题2．圆的标准方程是什么？ 问题3．如何用待定系数法求圆的标准方程？ 问题4．点与圆的位置关系有哪些？如何表示？ 2.4.1　圆的标准方程 探究建构 关键能力达成 探究1　圆的标准方程 问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ [提示]　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [新知生成] 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． (x－a)2＋(y－b)2＝r2　 x2＋y2＝r2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 【教用·微提醒】　(1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)． (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程； (2)求以AB为直径的圆的方程． [解]　(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2． 由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20． 所以圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝20． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 (2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则(a，b)是圆心的坐标． 根据已知条件，得 a＝＝2，b＝＝0． 将点B(3，－2)代入圆的方程(x－2)2＋y2＝r2，解得r2＝(3－2)2＋ (－2)2＝5． 所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5． 反思领悟　直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [学以致用]　1．求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)． [解]　(1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8． (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 探究2　点与圆的位置关系 问题2　平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？ [提示]　3种，分别是M在圆O内，在圆O上，在圆O外，可以用|OM|与r作比较来判定． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [新知生成] 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r _______________________ 点在圆上 d＝r _______________________ 点在圆内 d<r ________________________ (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 【教用·微提醒】　由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [典例讲评]　【链接教材P83例1】 2．(多选)已知圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．点(1，0)在圆内 C．圆M的半径为5 D．点(－3，1)在圆内 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 ABC　[根据题意，依次分析选项： 对于A，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其圆心为(4，－3)， A正确； 对于B，由于(1－4)2＋(0＋3)2＜25，点(1，0)在圆内，B正确； 对于C，圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25，其半径为5，C正确； 对于D，由于(－3－4)2＋(1＋3)2＞25，点(－3，1)在圆外，D错误．故选ABC．] 【教材原题·P83例1】 例1　求圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，－7)，M2(－2，－1)是否在这个圆上． [分析]　根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在圆上． [解]　圆心为A(2，－3)，半径为5的圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25． 把点M1(5，－7)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(5－2)2＋(－7＋3)2＝25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 把点M2(－2，－1)的坐标代入方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25的左边，得(－2－2)2＋(－1＋3)2＝20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(图2.4-2)． 发现规律　试总结点与圆的位置关系的判断方法． [提示]　(1)几何法：比较点到圆心的距离与半径的大小． (2)代数法：将点的坐标代入圆的标准方程的左边，比较与r2的大小． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [学以致用]　【链接教材P85练习T2】 2．已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝___________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为___________________________． －2或－6 (－∞，－6)∪(－2，＋∞) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 －2或－6　(－∞，－6)∪(－2，＋∞)　[由点P在圆C上得＋(1－1)2＝1，即＝1， 解得a＝－2或a＝－6， 由点P在圆C外得＋(1－1)2＞1，即＞1，解得a＜ －6或a＞－2．] 【教材原题·P85练习T2】已知圆的标准方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝16，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内． (1)M1(4.30，－5.72)； (2)M2(5.70，1.08)； (3)M3(3，－6)． [答案]　(1)点M1在圆内；(2)点M2在圆外；(3)点M3在圆上． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 探究3　求圆的标准方程 [典例讲评]　【链接教材P84例3】 3．求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程． [解]　法一(直接法)：设点C为圆心， ∵点C在直线x－2y－3＝0上， ∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 ∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|， ∴＝， 解得a＝－2， ∴圆心为C(－1，－2)，半径r＝． 故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 法二(待定系数法)： 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由题设条件知 解得故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． 法三(几何性质法)： 连接AB(图略)，则线段AB的中点的坐标为(0，－4)， 直线AB的斜率kAB＝＝， ∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝－2， ∴弦AB的垂直平分线的方程为y＋4＝－2x，即2x＋y＋4＝0． 又圆心是直线2x＋y＋4＝0与直线x－2y－3＝0的交点， 由得 ∴圆心坐标为(－1，－2)， ∴圆的半径r＝＝，故所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10． [母题探究]　求过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，面积最小的圆的标准方程． [解]　当线段AB为圆的直径时，过A，B的圆的半径最小，从而面积最小． 即所求圆的圆心为(0，－4)，半径为|AB|＝． 故所求圆的标准方程为x2＋(y＋4)2＝5． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 【教材原题·P84例3】 例3　已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，－2)两点，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求此圆的标准方程． [分析]　设圆心C的坐标为(a，b)．由已知条件可知，|CA|＝|CB|，且a－b＋1＝0．由此可求出圆心坐标和半径． 另外，因为线段AB是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的连线垂直于AB，由此可得到另一种解法． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 解法1：设圆心C的坐标为(a，b)．因为圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，所以 a－b＋1＝0． ① 因为A，B是圆上两点，所以|CA|＝|CB|． 根据两点间距离公式，有 ＝， 即a－3b－3＝0． ② 由①②可得a＝－3，b＝－2．所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径r＝|AC|＝＝5． 所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25． 解法2：如图2.4-3，设线段AB的中点为D．由A，B两点的坐标为(1，1)，(2，－2)，可得点D的坐标为，直线AB的斜率为kAB＝＝ －3． 因此，线段AB的垂直平分线l′的方程是y＋＝， 即x－3y－3＝0． 由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上， 所以它的坐标是方程组的解． 解这个方程组，得 所以圆心C的坐标是(－3，－2)． 圆的半径r＝|AC|＝＝5． 所以，所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋2)2＝25． 【教材原题·P83例2】 例2　△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)，求△ABC的外接圆的标准方程． [分析]　不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a，b，r，圆的标准方程就确定了． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [解]　设所求的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2． ① 因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是 即 观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，得到关于a，b的二元一次方程组 解此方程组，得 代入(5－a)2＋(1－b)2＝r2，得r2＝25． 所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25． 反思领悟　求圆的标准方程的两种方法 (1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程． (2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 [学以致用]　【链接教材P88习题2.4T3】 3．已知圆M经过P(1，1)，Q(－7，－5)两点，且圆心M在直线l：x－2y－1＝0上，则圆M的标准方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－3)2＝5 B．(x－3)2＋(y－4)2＝13 C．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25 D．(x＋3)2＋(y－2)2＝25 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 C　[设圆心M(2m＋1，m)， 由题意得|MP|＝|MQ|， 即＝， 解得m＝－2，故圆心M(－3，－2)，半径为＝5， 故圆M的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25． 故选C．] 【教材原题·P88习题2.4T3】已知圆C经过原点和点A(2，1)，并且圆心在直线l：x－2y－1＝0上，求圆C的标准方程． [解]　设所求圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 由题设，得解此方程组，得所以所求圆C的标准方程是＋＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 应用迁移 随堂评估自测 1．已知以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C，则点M(1，2)与圆C的位置关系是(　　) A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法判断 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 A　[以点(0，1)为圆心，2为半径的圆C的方程为x2＋(y－1)2＝4， 由于点M到圆心C的距离d＝＝＜2，故点M在圆C内部． 故选A．] 2．以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的标准方程是(　　) A．(x＋1)2＋(y＋5)2＝9 B．(x＋1)2＋(y＋5)2＝16 C．(x－1)2＋(y－5)2＝9 D．(x＋1)2＋(y＋5)2＝25 √ D　[由题意，圆心坐标为点C(－1，－5)，半径为5， 则圆的标准方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝25． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 3．已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，P是圆C上任意一点，则|AP|的最小值是________． 5　[点A(8，－6)与圆C的圆心(0，0)的距离等于＝10，圆C的半径r＝5， 故|AP|min＝10－5＝5．] 5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 4．(教材P88习题2.4T2(1)改编)以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的标准方程是________________________． (x－1)2＋(y－1)2＝5　[以C(1，1)为圆心，且经过M(2，3)的圆的半径为＝， 所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5．] (x－1)2＋(y－1)2＝5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 1．知识链： 2．方法链：直接法、几何法、待定系数法． 3．警示牌：几何法求圆的标准方程出现漏解情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出圆的标准方程． [提示]　圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．如何求圆的标准方程？ [提示]　确定圆的标准方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 3．如何判断点P(x0，y0)和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系？ [提示]　法一(代数法)：点P在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2； 点P在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； 点P在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2． 法二(几何法)：判断点P到圆心(a，b)的距离与半径的大小． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 一、选择题 1．若点(1，a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－1，1) B．(－∞，1) C．[0，1) D．(1，＋∞) 课时分层作业(二十)　圆的标准方程 √ 47 A　[由题意可得(1－1)2＋a2＜1，即a2＜1，解得－1＜a＜1， 所以实数a的取值范围是(－1，1)．故选A．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．方程－y＝表示的曲线是(　　) A．x轴上方的半圆 B．x轴下方的半圆 C．y轴左侧的半圆 D．y轴右侧的半圆 √ B　[由－y＝，则y≤0，故x2＋y2＝1(y≤0)， 所以方程－y＝表示的曲线是x轴下方的半圆． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 49 3．已知圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)，则圆C的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－4)2＝16 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝16 C．(x－1)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋2)2＝4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 50 C　[因为圆C与x轴相切，圆心在直线2x－y＝0上，且经过点(1，0)， 所以设圆心坐标为(a，2a)， 所以圆的方程为(x－a)2＋(y－2a)2＝4a2， 因为点(1，0)在圆C上，所以(1－a)2＋(0－2a)2＝4a2，解得a＝1， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 51 4．已知半径为3的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 52 B　[由半径为3的圆经过点(3，4)，可得该圆的圆心轨迹是以A(3，4)为圆心，3为半径的圆， 由两点间的距离公式得 |OA|＝＝5，r＝3， 所以圆心到原点距离的最小值是|OA|－r＝5－3＝2． 故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 53 5．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的标准方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋2)2＝3 B．(x＋2)2＋(y＋2)2＝3 C．(x＋2)2＋(y－2)2＝3 D．(x－2)2＋(y－2)2＝3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 54 A　[根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝3，其圆心为(－1，1)，半径为， 若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称， 则点C1与C2关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为， 则有解得 则圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝3．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 55 二、填空题 6．已知直线l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋2y－1＝0，则以l1，l2的交点为圆心，且经过点A(3，4)的圆的标准方程是____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (x＋1)2＋(y－1)2＝25　[由解得所以l1，l2的交点坐标为(－1，1)， 故所求圆的圆心坐标是(－1，1)，半径r＝＝5， 所以所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25．] (x＋1)2＋(y－1)2＝25 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 56 7．过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(3，1)三点的圆的标准方程为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (x－1)2＋y2＝5　[设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可得(－1－a)2＋(－1－b)2＝r2，① (－a)2＋(－2－b)2＝r2，② (3－a)2＋(1－b)2＝r2，③ 由①－②得到a－b－1＝0，④ 由②－③得到a＋b－1＝0，⑤ 由④⑤解得a＝1，b＝0，代入①，得r2＝5，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5．] (x－1)2＋y2＝5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 57 8．若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 1或5　[根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为(a，a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5， 1或5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 58 此时圆的半径长为1或5； 当圆心C在直线y＝－x上时， 设圆心C的坐标为(a，－a)， 此时圆的标准方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2， 将(1，2)代入可得(1－a)2＋(2＋a)2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解， 综上所述，圆C的半径长为1或5．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 59 三、解答题 9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)． (1)求圆C的标准方程； (2)已知P(a，1)在圆C外，求a的取值范围． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 60 [解]　(1)设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝R2(R＞0)， 代入A(1，1)，B(2，－2)，D(0，2)， 得 解得 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25． (2)因为P(a，1)在圆C外，所以|PC|＞R＝5， 又因为C(－3，－2)，|PC|＝， 所以＞5，解得a＞1或a＜－7， 所以a的取值范围为(－∞，－7)∪(1，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 61 10．(多选)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－2)2＋(y－3)2＝13 C．＋＝22 D．＋(y－1)2＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 62 AB　[对于A，点(0，0)，(4，0)，(4，2)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝5上，故A正确； 对于B，点(0，0)，(4，0)，(－1，1)在圆(x－2)2＋(y－3)2＝13上，故B正确； 对于C，四个点都不在圆＋＝22上，故C错误； 对于D，点(4，0)，(－1，1)，(4，2)都不在圆＋(y－1)2＝上，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 63 11．圆心在直线y＝x＋3上，且过点A(2，4)，B(1，－3)的圆的标准方程为______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 (x＋2)2＋(y－1)2＝25　[直线AB的斜率为＝7，线段AB的中点为， 线段AB的垂直平分线的方程为y－＝－，即y＝－x＋， (x＋2)2＋(y－1)2＝25 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 64 联立解得即圆心坐标为(－2，1)，半径r＝＝5，所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝25．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 65 12．实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是 ________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 49　[根据题意，x2＋y2＝4表示以O(0，0)为圆心，半径r＝2的圆， 设P(x，y)为圆O上的动点，Q(4，－3)， 可得|PQ|max＝|OQ|＋r＝＋2＝7， 因为|PQ|2＝(x－4)2＋(y＋3)2，所以(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是72＝49．] 49 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 66 13．已知直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)． (1)求直线l的方程； (2)若圆C经过点M(1，0)，N(3，2)，且圆心在直线l上，求圆C的标准方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 [解]　(1)因为直线l经过点A(－5，1)，B(3，7)， 所以直线l的斜率k＝＝，所以直线l的方程为y－1＝(x＋5)，即3x－4y＋19＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 67 (2)因为点M(1，0)，N(3，2)，所以直线MN的斜率kMN＝＝1，MN的中点为(2，1)， 所以直线MN的中垂线方程为y－1＝－(x－2)， 即x＋y－3＝0，由题意可得圆心为两条直线的交点，联立解得x＝－1，y＝4，即圆心C(－1，4)，且圆C的半径r＝|CM|＝＝2， 所以圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－4)2＝20． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 68 14．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试着在边QB上找一点P，使得∠MPN最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系Oxy中，给定两点M(－1，2)，N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取得最大值时，该圆的方程是(　　) A．(x－1)2＋(y－2)2＝2 B．(x＋7)2＋(y－10)2＝100 C．(x－1)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋7)2＋(y－10)2＝10 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.4.1　圆的标准方程 69 C　[由题意可知，点P为过M，N两点且和x轴相切的圆的切点，线段MN的中点坐标为(0，3)，又kMN＝＝1，所以线段MN的垂直平分线方程为y－3＝－x，所以以MN为弦的圆的圆心在直线y－3＝－x上， 故设该圆圆心为C(a，3－a)，又因为该圆与x轴相切，所以圆的半径r＝|3－a|， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 70 又|CN|＝r，所以(a－1)2＋(3－a－4)2＝(3－a)2，解得a＝1或a＝ －7， 当a＝－7时，∠MQP是钝角，故舍去． 所以a＝1，此时圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 71 $$