2.3.2 两点间的距离公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

2.3.2　两点间的距离公式 第二章 直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 [学习目标]　 1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象) 2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．两点间距离公式是如何推导的？ 问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？ 2.3.2　两点间的距离公式 探究建构 关键能力达成 探究1　两点间的距离公式 问题　已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|? [提示]　(1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|； 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝． 即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [新知生成] 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)． (1)试判断△ABC的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． [解]　(1)根据两点间的距离公式，得 |AB|＝＝， |BC|＝＝2， |CA|＝＝5． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形． (2)因为BC的中点D的横坐标x＝＝2，纵坐标y＝＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝＝2． 【教材原题·P73例3】 例3　已知点A(－1，2)，B(2，)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值． [解]　设所求点为P(x，0)，则 |PA|＝＝， |PB|＝＝． 由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．解得x＝1． 所以，所求点为P(1，0)，且|PA|＝＝2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 反思领悟　1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝·|x1－x2|＝|y1－y2|(k为直线P1P2的斜率)． 2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [学以致用]　【链接教材P74练习T2】 1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值． [解]　∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5， ∴＝5， 即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝． 所以a的值为－1或． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 【教材原题·P74练习T2】已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，求a的值． [答案]　a＝±8． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 探究2　坐标法的应用 [典例讲评]　【链接教材P73例4】 2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [证明]　如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a－b，c)． ∴|AC|＝＝， |BD|＝＝． 故|AC|＝|BD|． 【教材原题·P73例4】 例4　用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． [分析]　首先要建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [证明]　如图2.3-4，四边形ABCD是平行四边形．以顶点A为原点，边AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 在▱ABCD中，点A的坐标是(0，0)，设点B的坐标为(a，0)，点D的坐标为(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为(a＋b，c)． 由两点间的距离公式，得 |AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝ ＝a2，|AD|2＝b2＋c2． 所以|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AB|2＋|AD|2＝a2＋b2＋c2． 所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)， 即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍． 反思领悟　1．利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 (1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 2．用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于直角坐标系的建立，但不同的直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [学以致用]　【链接教材P74练习T3】 2．求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． [证明]　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 设A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|＝|c|． 又由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|＝＝， ∴|DE|＝|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． (教材原题·P74练习T3)用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． [证明]　如图，在Rt△ABC中，点M是斜边AB的中点．以直角顶点C为原点，两条直角边AC，BC所在直线为x轴、y轴，建立坐标系．在Rt△ABC中，有C(0，0)，设A(a，0)，B(0，b)，则有M． |MC|＝＝，|AB|＝， 所以|MA|＝|MB|＝．所以，直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 【教用·备选题】　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形．试用坐标法证明|AE|＝|CD|． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 [证明]　如图所示，以B点为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系Oxy． 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c． 则A(－a，0)，C(c，0)，E，D，由距离公式，得 |AE|＝＝， |CD|＝＝， 所以|AE|＝|CD|． 应用迁移 随堂评估自测 1．(教材P74练习T1(3)改编)已知两点M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝ (　　) A．3 B．5 C．9 D．25 √ B　[因为M(0，3)，N(4，0)，则|MN|＝＝5．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 2．以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 √ C　[因为|AB|＝＝＝＝2， |BC|＝＝＝ ＝4，|AC|＝＝＝2， 所以|AC|2＋|BC|2＝|AB|2， 所以△ABC为直角三角形．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5)，B(－2，－1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为________． 　[BC的中点坐标为(0，1)，则BC边上的中线长为＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 1．知识链： —— 2．方法链：待定系数法、坐标法． 3．警示牌：(1)已知距离求参数易漏解． (2)用坐标法解决平面几何问题时，坐标系建立不恰当，造成坐标确定困难，线段长度计算烦琐． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出两点间的距离公式． [提示]　P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|＝． 2．试写出利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤． [提示]　(1)建立坐标系，用坐标表示有关的量． (2)进行有关代数运算． (3)把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 笛卡儿与解析几何 解析几何的创立适应了17世纪科学技术发展的迫切需要．法国数学家笛卡儿(Descartes，1596－1650)是解析几何的创始人之一．笛卡儿的中心思想是使代数和几何结合起来．把一切问题归结为数学问题，把一切数学问题归结为代数问题，把一切代数问题归结为方程，最后得到关于一个未知数的方程． 阅读材料 拓展数学视野 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 解析几何的创立在数学发展史上具有划时代的意义，是数学发展史上的一个里程碑．它促进了微积分的创立，从此数学进入了变量数学的新时期． 解析几何的创立提供了研究几何问题的一种新方法，借助于坐标系，把几何问题转化为代数问题来研究．这种方法具有一般性，它沟通了数学内部数与形、代数与几何两大学科之间的联系．从此代数和几何互相汲取新鲜的活力，得到迅速的发展． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 一、选择题 1．已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则＝(　　) A． C．3 D．2 课时分层作业(十八)　两点间的距离公式 √ 29 D　[∵A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)， ∴|AC|＝＝4， |CB|＝＝2，∴＝＝2．故选D．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 2．在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是(　　) A．2 B．3 C． √ C　[由中点坐标公式可得：BC边的中点D，即． 由两点之间的距离公式可得|AD|＝＝．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 31 3．过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为，则|MN|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 √ B　[∵过点M(－2，a)，N(a，4)的直线斜率为 k＝＝，解得a＝2， ∴|MN|＝＝2． 故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 32 4．已知点A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 33 C　[因为A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)， 所以|AB|＝ ＝＝ ＝， 所以当a＝时，|AB|取得最小值．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 34 5．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4，5) B．(－1，2) C．(－3，4) D．(1，－5) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 BC　[设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且＝，两式联立解得或故选BC．] √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 35 二、填空题 6．过点A(4，a)和B(5，b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB|＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 　[由题意知kAB＝＝b－a＝1， 所以|AB|＝＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 36 7．在直线x－y＋4＝0上有一点P，它到点M(－2，－4)，N(4，6)的距离相等，则点P的坐标为___________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 　[设点P的坐标是(a，a＋4)， 由题意可知|PM|＝|PN|， 即＝， 解得a＝－，故点P的坐标是．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 37 8．点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10，则点M的坐标是________________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 (2，10)或(－10，10)　[∵点M到x轴和到点N(－4，2)的距离都等于10， ∴设点M的坐标为(x，10)或(x，－10)， 由距离公式可得(x＋4)2＋(10－2)2＝100，① 或(x＋4)2＋(－10－2)2＝100，② 由①解得x＝2或x＝－10，方程②无实数解， ∴点M的坐标是(2，10)或(－10，10)．] (2，10)或(－10，10) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 38 三、解答题 9．已知直线ax＋2y－1＝0和x轴、y轴分别交于A，B两点，且线段AB的中点到原点的距离为，求a的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 [解]　由题意知a≠0，直线ax＋2y－1＝0中，令y＝0，有x＝，则A，令x＝0，有y＝， 则B，故AB的中点为，∵线段AB的中点到原点的距离为， ∴＝，解得a＝±2． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 39 10．点D(－2，－2)到直线l：2x－y＋mx－m＝0(m∈R)距离的最大值为(　　) A．5 B． C．2 D．3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 40 A　[直线l：2x－y＋m(x－1)＝0， 令解得 所以直线l过定点A(1，2)， 所以直线l表示过定点(1，2)的直线， 如图，当DA⊥l时，|DA|表示点到直线l的距离， 当DA不垂直于l时，|DB|表示点到直线l的距离，显然|DB|＜|DA|， 所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝＝5，所以点D到直线l距离的最大值为|DA|＝5．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 41 11．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，P为线段CD的中点，则＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 10　[以C为原点，AC，BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)， 设A(4a，0)，B(0，4b)，则D(2a，2b)，P(a，b)， 所以|PA|2＝9a2＋b2，|PB|2＝a2＋9b2，|PC|2＝a2＋b2，于是|PA|2＋|PB|2＝10(a2＋b2)＝10|PC|2，即＝10．] 10 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 42 12．如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 课时分层作业 应用迁移 探究建构 阅读材料 2.3.2　两点间的距离公式 43 [证明]　如图所示，以AC所在的直线为x轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系．设B(b，c)，C(a，0)， 依题意得A(－a，0)． |AB|2＋|BC|2－|AC|2 ＝－(2a)2＝2a2＋2b2＋2c2－2a2＝2b2＋2c2，2|BD|2＝2(b2＋c2)＝2b2＋2c2， 所以|AB|2＋|BC|2－|AC|2＝2|BD|2． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 44 $$