2.5.2 圆与圆的位置关系-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.5.2　圆与圆的位置关系

[学习目标]　

1．了解圆与圆的位置关系．(数学抽象)

2．掌握圆与圆的位置关系的判定方法．(数学运算)

3．能利用圆与圆的位置关系解决有关问题．(逻辑推理、数学运算)

探究1　两圆位置关系的判断

问题　观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？

(1)圆与圆之间有几种位置关系？

(2)能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？

[提示]　(1)5种．

(2)可以，借助圆的方程可以通过代数法和几何法两种途径．

[新知生成]

1．几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下：

2．代数法：设两圆的一般方程为：

C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝－4F1>0)，

C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝－4F2>0)，

联立方程得

则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：

 

【教用·微提醒】　判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系．

[典例讲评]　【链接教材P96例5】

1．已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a＞0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：

(1)相切？(2)相交？(3)外离？(4)内含？

[解]　圆C1，C2的方程，经配方后可得

C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，

C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，

所以圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1．

所以|C1C2|＝＝a．

(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；

当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．

(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．

(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．

(4)当|C1C2|＜3，即0＜a＜3时，两圆内含．