2.3.1 两条直线的交点坐标-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.3　直线的交点坐标与距离公式 2.3.1　两条直线的交点坐标 [学习目标]　 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(数学运算) 2．会根据方程组解的个数判断两条直线的位置关系．(数学运算) 2.3.1　两条直线的交点坐标 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何通过两条直线的方程确定两条直线的交点坐标？ 问题2．两条直线的方程组的解满足什么条件时，两条直线平行、重合？ 2.3.1　两条直线的交点坐标 探究建构 关键能力达成 探究1　求直线的交点坐标 问题　已知两条直线l1：x－y＋1＝0，l2：x＋y－2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标与直线l1，l2的方程有什么关系？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [提示]　直线l1，l2的图象如图所示，点M既在l1上也在l2上．满足直线l1的方程x－y＋1＝0，也满足l2的方程x＋y－2＝0． 即交点是方程组的解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [新知生成] 两条直线的交点 已知两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标就是方程组 的解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 【教用·微提醒】　(1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [典例讲评]　【链接教材P70例1】 1．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为(　　) A．3x－19y＝0　　　 B．19x－3y＝0 C．19x＋3y＝0 D．3x＋19y＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 D　[解方程组得所以两直线的交点为，所以所求直线的斜率为＝－，所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋19y＝0．] 【教材原题·P70例1】 例1　求下列两条直线的交点坐标，并画出图形： l1：3x＋4y－2＝0， l2：2x＋y＋2＝0． [解]　解方程组得 所以l1与l2的交点是M(－2，2)(图2.3-1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 反思领悟　求与已知两直线的交点有关的问题，先通过解二元一次方程组求出交点坐标，然后再利用其他条件求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [学以致用]　1．已知直线l过直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点，且与直线x－3y＋2＝0垂直，则直线l的方程为(　　) A．3x＋y＋2＝0 B．3x－y＋2＝0 C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y＋2＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 A　[联立解得 ∴直线x－y＋2＝0和2x＋y＋1＝0的交点为(－1，1)， 又直线l和直线x－3y＋2＝0垂直，∴直线l的斜率为－3，则直线l的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0． 故选A．] 探究2　利用方程组解的个数判断两条直线的位置关系 [新知生成] 两直线的位置关系和方程组解的个数的关系 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)；l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)的位置关系如表所示： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 ____ ____ ____ 相交 重合 平行 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [典例讲评]　2．(源自湘教版教材)判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； (2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0； (3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [解]　(1)解方程组得 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(－1，－1)． (2)解方程组 ①×2－②得1＝0，矛盾． 由此可知方程组无解，因此直线l1与l2平行． (3)解方程组 ①×2得2x－2y＋2＝0． 说明方程①和方程②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，此时方程组有无数组解，直线l1与l2重合． 反思领悟　方程组有唯一解，说明两直线相交；方程组无解，说明两直线没有公共点，即两直线平行；方程组有无数个解，说明两直线重合． [学以致用]　【链接教材P71例2】 2．判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋1＝0； (2)l1：x－2y＋1＝0，l2：x＋2y＋5＝0． [解]　(1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知l1：y＝x＋1，l2：y＝x＋． 因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行． (2)解方程组得x＝－3，y＝－1， 因此l1与l2相交，且交点坐标为(－3，－1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 【教材原题·P71例2】 例2　判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l1：x－y＝0，　　　 l2：3x＋3y－10＝0； (2)l1：3x－y＋4＝0， l2：6x－2y－1＝0； (3)l1：3x＋4y－5＝0， l2：6x＋8y－10＝0． [分析]　解直线l1，l2的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则l1与l2相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1∥l2；若方程组中的两个方程可化成同一个方程，则l1与l2重合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [解]　(1)解方程组得 所以l1与l2相交，交点是M． (2)解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2． (3)解方程组 ①×2得6x＋8y－10＝0． ①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1与l2重合． 探究3　直线系过定点 [典例讲评]　3．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝ －6λ－3都恒过一定点． [证明]　法一(特殊值法)：取λ＝0，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，取λ＝1，得到直线l2：x＝－3， 故l1与l2的交点为(－3，3)． 将点(－3，3)代入方程左边， 得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3， ∴点(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上， ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 法二(分离参数法)：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3， 整理得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0． 则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点． 由方程组得 ∴直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过定点(－3，3)． 反思领悟　解含参数的直线恒过定点问题的策略 (1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，求得这两条直线的交点，然后验证该交点在题目中所给的含参数直线上，从而说明该交点就是直线所过的定点，从而问题得解． (2)含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 [学以致用]　3．已知直线l1：x＋ay－2a＝0过定点A，直线l2：ax－(2a－3)y－6＝0过定点B，求线段AB的中点C的坐标． [解]　由直线l1的方程，得x＋a(y－2)＝0， 解方程组得所以定点A(0，2)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 由直线l2的方程，得a(x－2y)＋3y－6＝0， 解方程组得所以定点B(4，2)． 由中点坐标公式，得所以C(2，2)． 【教用·备选题】　已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限． [证明]　将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0． 因为直线3x－y＝0与x－2y＋1＝0的交点为， 即直线系恒过第一象限内的定点， 所以无论a为何值，直线总经过第一象限． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 应用迁移 随堂评估自测 1．两条直线2x－y－1＝0与x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) √ B　[由解得故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 2．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点 (　　) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) √ C　[令m＝1得y＝1，令m＝得x＝－3．经验证点(－3，1)在直线l上．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 3．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为____________________． 2x＋y－4＝0　[设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， 所以k＝＝－2，解得λ＝5．所以所求直线方程为2x＋y－4＝0．] 2x＋y－4＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 4．已知直线l1：x－2y＋3＝0，直线l2：2x－y＝0，则直线l1与l2的交点坐标为 ________． (1，2)　[由解得 即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，2)．] (1，2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 1．知识链：     2．方法链：消元法、方程思想． 3．警示牌：解方程组出现计算错误． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何求两直线的交点坐标？ [提示]　解两直线方程组成的方程组，方程组的解就是交点的坐标． 2．直线方程具有什么特点时，直线恒过定点？ [提示]　当x或y的系数含有字母参数时，直线恒过定点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 3．对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两直线相交、平行、重合和垂直的充要条件是什么？ [提示]　l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)； l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且B1C2＝B2C1(或A1C2＝A2C1)； l1与l2垂直⇔A1A2＋B1B2＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．若直线ax＋y－2＝0过两直线5x－3y－17＝0和x－y－5＝0的交点，则a＝(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 课时分层作业(十七)　两条直线的交点坐标 √ 35 C　[联立解得 所以直线ax＋y－2＝0过两直线5x－3y－17＝0和x－y－5＝0的交点(1，－4)， 则a－4－2＝0，解得a＝6．故选C．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知直线l1：x－y－1＝0和l2：x＋y＋1＝0交于点A，直线l3：x－2y＋1＝0和l4：2x－y＝0交于点B，则直线AB的方程为(　　) A．3x－2y－1＝0 B．2x－3y－1＝0 C．5x－y－1＝0 D．x－5y－1＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 37 C　[由解得即直线l1和l2交于点A(0， －1)， 同理可得直线l3：x－2y＋1＝0和l4：2x－y＝0交于点B． 所以直线AB的方程为＝，整理得5x－y－1＝0． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 38 3．直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为(　　) A．k≠1且k≠9 B．k≠1且k≠－9 C．k≠－1且k≠9 D．k≠－1且k≠－9 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 39 B　[∵直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，可得两直线不平行，当两直线平行时，3(2k－3)－k·[－(k＋2)]＝0⇒k2＋8k－9＝0，解得k＝1或k＝－9，∴直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0相交，则实数k的值为k≠1且k≠－9．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 40 4．过两条直线2x－y＋1＝0和x＋y＋2＝0的交点，且与直线2x＋3y＝0平行的直线的方程为(　　) A．2x＋3y－5＝0 B．2x＋3y＋5＝0 C．2x＋3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 41 B　[过两条直线2x－y＋1＝0和x＋y＋2＝0的交点， 故解得 故交点坐标为(－1，－1)． 设与直线2x＋3y＝0平行的直线的方程为2x＋3y＋c＝0(c≠0)，由于过点(－1，－1)， 故－2－3＋c＝0，解得c＝5．故所求直线的方程为2x＋3y＋5＝0．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 42 5．若直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是(　　) A．∪(3，＋∞) B． C．(－∞，－3) D． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 43 A　[由可得3a＋1＝(2a－1)y， ∵直线ax＋y－a＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点位于第一象限， ∴2a－1≠0且y＝，∴x＝， ∴解得a＜－或a＞3． ∴实数a的取值范围是∪(3，＋∞)．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 44 二、填空题 6．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则m＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －2　[由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5． 又点(1，m)在直线ax＋2y－1＝0上，所以a＋2m－1＝0， 所以m＝－2．] －2 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 45 7．直线l1：3x－y＋12＝0，l2：3x＋2y－6＝0及y轴所围成的三角形的面积为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 9　[易知直线l1，l2与y轴的交点坐标分别为(0，12)，(0，3)． 由解得故所求三角形的面积S＝×(12－3)×|－2|＝9．] 9 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 46 8．若三条直线l1：3x＋my－1＝0，l2：3x－2y－5＝0，l3：6x＋y－5＝0不能围成三角形，则实数m的值为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2或－2或　[当三条直线交于一点或其中任意两条平行或重合时，它们不能围成三角形． 由解得 2或－2或 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 47 将x＝1，y＝－1代入l1的方程，得m＝2． 即当m＝2时，三条直线共点，不能围成三角形． 又m＝－2时，l1∥l2，m＝时，l1∥l3，此时三条直线也不能围成三角形． 故当m＝±2或m＝时，l1，l2和l3不能围成三角形．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 48 三、解答题 9．已知三条直线l1：3x－4y＋11＝0，l2：x＋2y－3＝0和l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0． (1)若l1∥l3，求实数m的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数m的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 49 [解]　(1)因为l1：3x－4y＋11＝0，l3：(2m－3)x－(m＋1)y－2m＋3＝0且l1∥l3， 所以3×[－(m＋1)]＝－4×(2m－3)，解得m＝3， 经检验，当m＝3时，l1∥l3． (2)由解得即l1与l2的交点为(－1，2)， 因为三条直线相交于一点，所以点(－1，2)在l3上， 所以(2m－3)×(－1)－(m＋1)×2－2m＋3＝0，解得m＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 10．(多选)若三条直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 51 AC　[由直线2x＋y－4＝0，x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0共有两个交点， 所以这三条直线必有两条直线平行，又直线2x＋y－4＝0与x－y＋1＝0不平行， 所以当直线2x＋y－4＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝－2； 当直线x－y＋1＝0与ax－y＋2＝0平行时，a＝1． 综上知，实数a的值为1或－2．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 11．已知实数a，b满足a＋2b＝1，则直线ax＋3y＋b＝0过定点(　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 53 D　[由a＋2b＝1，得a＝1－2b，则直线ax＋3y＋b＝0可化为(1－2b)x＋3y＋b＝0，整理得x＋3y－b(2x－1)＝0， 所以解得 故直线过定点．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 54 12．(多选)已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法正确的是(　　) A．l1与l2的交点坐标是(0，－1) B．过l1与l2的交点且与l1垂直的直线的方程为x－3y＋13＝0 C．l1，l2与x轴围成的三角形的面积是 D．l1的倾斜角是锐角 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 55 BC　[联立解得交点坐标为(－1，4)，所以A错误；由所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直得所求直线的斜率为，由点斜式得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0，所以B正确；l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝×4＝，所以C正确；l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 56 13．已知直线l1：kx＋y－1＝0，l2：x＋ky＋1＝0，若l1∥l2，则k＝________；若曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，则实数k的取值范围是____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 1 (－1，1) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 57 1　(－1，1)　[因为l1∥l2，所以k2－1＝0，解得k＝±1，经检验k＝－1时，两直线重合，所以k＝1． y＝|x|＝ 直线l1化为y＝－kx＋1，恒过点(0，1)，画出函数图象，如图．  因为曲线y＝|x|与直线l1有两个公共点，所以－k＝0或0＜－k＜1或 －1＜－k＜0，即－1＜k＜1．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 14．已知直线l1的方程为x＋2y－3＝0，若l2在x轴上的截距为，且l1⊥l2． (1)求直线l1和l2的交点坐标； (2)已知直线l3经过l1与l2的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求l3的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 59 [解]　(1)由直线l1的方程为x＋2y－3＝0，l1⊥l2，可得直线l2的斜率为2， 又l2在x轴上的截距为，即过点，所以直线l2的方程为y＝2，即2x－y－1＝0， 联立l1方程，得解得故交点为(1，1)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 (2)依据题意直线l3在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍， 且直线l3经过l1与l2的交点(1，1)， 当直线l3过原点时，l3方程为y＝x， 当直线l3不过原点时，设l3方程为＝1，则＝1，解得a＝， 故l3方程为2x＋y＝3， 即2x＋y－3＝0， 综上所述，l3的方程为y＝x或2x＋y－3＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 61 15．已知0<k<4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.3.1　两条直线的交点坐标 62 　[由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，   如图，所以四边形的面积S＝×(2k2＋2－2)×4＋(4－k＋4)×2×＝4k2－k＋8(0＜k＜4)，故四边形面积最小时，k＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 63 $$