2.2.3 直线的一般式方程-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.2　直线的方程 2.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　 1．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式．(逻辑推理、数学抽象) 2．会进行直线方程的五种形式之间的转化．(数学运算、逻辑推理) 2.2.3　直线的一般式方程 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程分别有什么特点？它们的方程能否化简为统一的形式？ 问题2．Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是什么？ 问题3．如何把直线的一般式化为斜截式？ 2.2.3　直线的一般式方程 探究建构 关键能力达成 探究1　直线的一般式方程 问题1　y＝x＋2是二元一次方程吗？方程5x＋2y－7＝0可以表示一条直线吗？ [提示]　y＝x＋2可以化成x－y＋2＝0的形式，是二元一次方程．5x＋2y－7＝0可以化为y＝－x＋的形式，可以表示一条直线． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [新知生成] 关于x，y的二元一次方程______________(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． Ax＋By＋C＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 【教用·微提醒】　(1)直线的一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系数A，B，C对直线位置的影响 ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交． ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直． ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直． ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合． ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [典例讲评]　【链接教材P65例5】 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0． (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0． (3)由截距式，得直线方程为＝1， 即x＋3y＋3＝0． 【教材原题·P65例5】 例5　已知直线经过点A(6，－4)，斜率为－，求直线的点斜式和一般式方程． [解]　经过点A(6，－4)，斜率为－的直线的点斜式方程是 y＋4＝－(x－6)， 化为一般式，得4x＋3y－12＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 反思领悟　在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定的条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　1．若直线的截距式方程＝1化为斜截式方程为y＝－2x＋b，化为一般式方程为bx＋ay－8＝0(a＞0)，则a＋b＝(　　) A．－2 B．2 C．6 D．8 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 C　[∵截距式＝1化为一般式为bx＋ay－ab＝0， 化为斜截式为y＝－x＋b， ∴由已知得解得或 ∵a＞0，∴a＝2，b＝4，a＋b＝6． 故选C．] 探究2　利用一般式研究直线的平行与垂直 问题2　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0．若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ [提示]　l1∥l2⇒＝且≠， 即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1． l1⊥l2⇒＝－1， 即A1A2＋B1B2＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [新知生成] 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)． (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0． (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 【教用·微提醒】　(1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [典例讲评]　2．(1)若直线(3－m)x＋(2m－1)y＋7＝0与直线(1－2m)x＋(m＋5)y－6＝0互相垂直，则m的值为(　　) A．－1　　　　 B．1或－ C．－1或 D．1 (2)已知直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．2或－1 C．2 D．－1 (3)过点(1，6)，且平行于直线x－2y＝0的直线方程是(　　) A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0 C．x－2y＋11＝0 D．x＋2y＋11＝0 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 (1)C　(2)D　(3)C　[(1)由题设(3－m)(1－2m)＋(2m－1)(m＋5)＝0，整理得(m＋1)(2m－1)＝0， ∴m＝－1或m＝．故选C． (2)∵直线ax＋2y＋6＝0与直线x＋(a－1)y＋a2－1＝0互相平行， ∴a(a－1)＝2×1，即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1， 当a＝2时，两直线重合，不符合题意，当a＝－1时，两直线不重合，符合题意， 故实数a的值为－1．故选D． (3)与直线x－2y＝0平行的直线可设为x－2y＋C＝0， 将点(1，6)代入x－2y＋C＝0可得C＝11，故直线方程为x－2y＋11＝0．故选C．] 反思领悟　1．判定直线平行、垂直的两种方法 (1)化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况．(2)化成一般式方程，用充要条件判断． 2．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)；与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　2．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　法一：l的方程可化为y＝－x＋3， ∴l的斜率为－． (1)∵l′与l平行， ∴l′的斜率为－． 又∵l′过点(－1，3)， 由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)， 即3x＋4y－9＝0． (2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为， 又l′过点(－1，3)， 由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0． 法二：(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠－12)． 将点(－1，3)代入上式，得m＝－9． ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0． (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0． 将(－1，3)代入上式，得n＝13． ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0． 探究3　直线的一般式方程的应用 [典例讲评]　【链接教材P66例6】 3．(源自北师大版教材)已知直线l的方程为mx＋(m－1)y＋1＝0，m∈R． (1)若直线l在x轴上的截距为－2，求m的值； (2)若直线l与y轴垂直，求m的值； (3)若直线l的倾斜角为，求m的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　(1)由已知，可得直线l与x轴交于点(－2，0)， 所以－2m＋(m－1)·0＋1＝0，解得m＝． 故m的值为． (2)因为直线l与y轴垂直，所以直线l的斜率为0． 所以直线l的方程可化为斜截式y＝x－． 由＝0，可得m＝0． 故m的值为0． (3)由(2)可知直线l的斜率为，又倾斜角为， 所以由斜率与倾斜角的关系可得＝tan ，即＝1．解得m＝．故m的值为． [母题探究]　本例条件不变，求证：不论m为何值，直线l总经过第二象限． [证明]　直线l的方程整理为m(x＋y)－y＋1＝0， 因为m为任意实数，所以解得 故直线l恒过定点(－1，1)，又点(－1，1)在第二象限，故直线l总经过第二象限． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 【教材原题·P66例6】 例6　把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形． [分析]　求直线l在x轴上的截距，即求直线l与x轴交点的横坐标，只要在直线l的方程中令y＝0即可得x的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [解]　把直线l的一般式方程化为斜截式y＝x＋3． 因此，直线l的斜率k＝，它在y轴上的截距是3． 在直线l的方程x－2y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－6， 即直线l在x轴上的截距是－6． 由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为 A(－6，0)，B(0，3)， 过A，B两点作直线，就得直线l(图2.2-7)． 反思领悟　含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0． (2)令x＝0可得在y轴上的截距，且x的系数不为0；令y＝0可得在x轴上的截距，且y的系数不为0．若确定直线斜率存在，则可将一般式化为斜截式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 [学以致用]　3．直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围． [解]　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意． ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝． ∵l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝，解得a＝2或a＝0． 综上，a的值为2或0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使l不经过第二象限，只需 解得a≤－1． ∴a的取值范围为(－∞，－1]． 应用迁移 随堂评估自测 1．已知直线l过点A(3，4)，且倾斜角为，则直线l的一般式方程为 (　　) A．x－y－4－3＝0 B．x＋y－4－3＝0 C．x－y－4－3＝0 D．x＋y－4－3＝0 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 B　[因为直线l过点A(3，4)，且倾斜角为， 则直线l的方程为y－4＝－(x－3)，即x＋y－4－3＝0． 故选B．] 2．已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－(2a－3)y－1＝0，若l1⊥l2，则a的值为(　　) A．2 B．－3 C．0或2 D．1或－3 √ C　[由l1⊥l2，得1·a＋a·[－(2a－3)]＝－2a2＋4a＝0， 解得a＝0或a＝2． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 3．已知直线l过点(0，3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 √ D　[设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)，由点(0，3)在直线x－y＋c＝0上，得0－3＋c＝0，解得c＝3，因此直线l的方程为x－y＋3＝0．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 4．(教材P66例6改编)把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0化为斜截式为y＝x＋b，化为截距式为＝1，则a＋b＝________． －3　[因为把直线l的一般式方程化为斜截式为y＝x＋3，所以b＝3． 因为直线l的一般式方程化为截距式为＝1，故a＝－6． 所以a＋b＝－3．] －3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 2．方法链：分类讨论、化归转化． 3．警示牌：把直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)化为斜截式方程y＝－x－时，容易忽视B≠0． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．试写出直线的一般式方程． [提示]　Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 2．在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线(1)平行于x轴？(2)与x轴重合？(3)平行于y轴？(4)与y轴重合？ [提示]　当A＝0时，方程变为y＝－，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C＝0时，表示的直线与x轴重合；当B＝0时，方程变为x＝－，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C＝0时，表示的直线与y轴重合． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 3．如何根据直线的一般式方程求直线的斜率和直线在x轴、y轴上的截距？ [提示]　法一：将直线方程化为斜截式和截距式， 可求直线的斜率和在x轴、y轴上的截距． 法二：斜率k＝－，令x＝0，可得直线在y轴上的截距，令y＝0，可得直线在x轴上的截距． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 课时分层作业(十六)　直线的一般式方程 √ C　[直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°．故选C．] 44 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若直线ax＋(a－3)y＋3＝0与直线x＋ay－3＝0垂直，则a的值是 (　　) A．2 B．0 C．0或2 D．2或－2 √ C　[因为直线x＋ay－3＝0与直线ax＋(a－3)y＋3＝0垂直， 则a·1＋(a－3)·a＝0，解得a＝0或a＝2． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 45 3．(多选)已知直线l过点(－2，3)，则下列说法中正确的是(　　) A．若直线l的斜率为2，则l的方程为2x＋y＋1＝0 B．若直线l在y轴上的截距为2，则l的方程为x＋2y－4＝0 C．若直线l的一个方向向量为(1，－3)，则l的方程为3x＋y＋3＝0 D．若直线l与直线x＋y＝0平行，则l的方程为x＋y－1＝0 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 46 BCD　[对于A，由题设，l的方程为y－3＝2(x＋2)，即2x－y＋7＝0，故A错误； 对于B，由题设，直线斜率k＝＝－，则y－3＝－(x＋2)，即x＋2y－4＝0，故B正确； 对于C，由题设，直线斜率k＝＝－3，则y－3＝－3(x＋2)，即3x＋y＋3＝0，故C正确； 对于D，由题设，令直线l为x＋y＋m＝0(m≠0)，将(－2，3)代入得－2＋3＋m＝0⇒m＝－1， 所以l的方程为x＋y－1＝0，故D正确．故选BCD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 47 √ 4．已知直线l1：2x＋2y－5＝0，l2：4x＋ny＋1＝0，l3：mx＋6y－5＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　　) A．－10 B．10 C．－2 D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[因为l1∥l2，所以＝≠⇒n＝4，又l1⊥l3，所以2×m＋2×6＝0⇒m＝－6， 所以m＋n＝－2．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 48 5．(多选)已知直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，下列命题中正确的是(　　) A．若l1⊥l2，则m＝0 B．当m＝0时，n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量 C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2 D．若直线l2在两坐标轴上的截距相等，则实数m＝4 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 49 AB　[对于A，直线l1：mx＋y＋m－1＝0，直线l2：4x＋my＋3m－4＝0，l1⊥l2， ∴m×4＋1×m＝0，解得m＝0，故A正确； 对于B，当m＝0时，直线l1：y－1＝0， ∴n＝(1，0)是直线l1的一个方向向量，故B正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 50 对于C，当m＝0时，l1：y－1＝0，l2：x－1＝0，l1，l2不平行， ∴m≠0，由l1∥l2，得＝，∴－m＝－，∴m＝2或m＝－2， 当m＝2时，l1：2x＋y＋1＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，两直线重合， 当m＝－2时，l1：2x－y＋3＝0，l2：2x－y－5＝0，即l1∥l2，符合题意， ∴m＝－2，故C错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 对于D，直线l2在两坐标轴上的截距相等，可知m≠0， 对于4x＋my＋3m－4＝0，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，则＝， 解得m＝4或m＝，故D错误．故选AB．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 二、填空题 6．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－m＋1＝0表示一条直线，则m的取值范围是____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 {m|m≠1}　[令解得m＝1， 方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－m＋1＝0表示一条直线，可得m≠1．所以m的取值范围为{m|m≠1}．] {m|m≠1} 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 53 7．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为___________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x－3y＋24＝0　[直线2x－3y＋12＝0的斜率为，在y轴上截距为4．根据题意，直线l的斜率为，在y轴上截距为8，所以直线l的方程为y＝x＋8，即x－3y＋24＝0．] x－3y＋24＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 54 8．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 x＋2y＋4＝0　[直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)， 由题意得所求直线过点A且斜率为－， 所以所求直线的方程为y＋2＝－x， 即x＋2y＋4＝0．] x＋2y＋4＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 55 三、解答题 9．已知△ABC的两顶点坐标为A(1，－1)，C(3，0)，B1(0，1)是边AB的中点，AD是BC边上的高． (1)求BC所在直线的方程； (2)求高AD所在直线的方程； (3)求过点C且与直线AB平行的直线方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 56 [解]　(1)因为B1(0，1)是边AB的中点，A(1，－1)，所以B(－1，3)， 因为C(3，0)，所以直线BC的斜率kBC＝＝－，所以BC所在直线的方程为y＝－(x－3)，即3x＋4y－9＝0． (2)因为AD是BC边上的高，则kBCkAD＝－1，所以kAD＝， 因此高AD所在直线的方程为y＋1＝(x－1)，即4x－3y－7＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 57 (3)因为直线过点C且与直线AB平行，则其斜率k＝kAB＝＝ －2， 所以其方程为y＝－2(x－3)， 所以过点C且与直线AB平行的直线方程为2x＋y－6＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 10．(多选)已知直线l1：mx－y－3＝0，直线l2：4x－my＋6＝0，则下列命题正确的有(　　) A．直线l1恒过点(0，－3) B．存在m使得直线l2的倾斜角为90° C．若l1∥l2，则m＝2或m＝－2 D．存在实数m使得l1⊥l2 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 59 ABD　[对于A，由l1：mx－y－3＝0，得y＝mx－3，令x＝0，所以直线l1恒过点(0，－3)，故A正确；对于B，当m＝0时，直线l2的斜率不存在， 即倾斜角为90°，故B正确；对于C，当l1∥l2时，解得m＝ 2，故C错误； 对于D，当m＝0时，l1：y＝－3，l2：x＝－，此时l1⊥l2，故D正确． 故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 11．(多选)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论错误的是(　　) A．不存在k，使得l2的倾斜角为90° B．对任意的k，l1与l2都有公共点 C．对任意的k，l1与l2都不重合 D．对任意的k，l1与l2都不垂直 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 61 AC　[对于A，当k＝0时，直线l2的方程为x＝0，其倾斜角为90°，故A错误； 对于B，直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)， 即k(x＋y＋1)＋x＝0过定点(0，－1)，而定点在直线l1上，故B正确； 对于C，当k＝－时，直线l2的方程为x－y－＝0， 即x－y－1＝0，l1与l2重合，故C错误； 对于D，若两直线垂直，则1·(k＋1)＋(－1)·k＝0，方程无解， 故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 12．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，若直线l：ax＋(a2－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．－1或3 D．3 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 63 B　[由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知， △ABC重心为，即(1，1)， 又△ABC为直角三角形，所以外心为斜边AC中点，即， 所以可得△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0， 因为ax＋(a2－3)y－9＝0与x＋2y－3＝0平行， 所以＝≠，解得a＝－1．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 13．若点A(－2，－1)在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8　[点A在直线mx＋ny＋1＝0上，则 2m＋n＝1，所以＝(2m＋n)＝4＋≥4＋4＝8， 当且仅当n＝2m， 即n＝，m＝时，等号成立，即的最小值为8．] 8 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 65 14．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)证明：直线l过定点； (2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 66 [解]　(1)证明：直线l的方程可化为y－1＝k(x＋2)，由点斜式方程可知，直线l过定点(－2，1)． (2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k， 要使直线不经过第四象限， 则必须有解得k＞0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 (3)由题意可知k≠0，再由l的方程， 得A，B(0，1＋2k)． 依题意得解得k＞0． ∵S＝|OA|·|OB|＝·|1＋2k|＝＝×(2×2＋4)＝4， 当且仅当4k＝，即k＝时取等号， ∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 15．已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线y－1＝0上， ∴设点B坐标为(x，1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.2.3　直线的一般式方程 69 又∵点A坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得点D坐标为． 又∵点D在中线x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴点B坐标为(5，1)． 同理可求出点C的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 70 $$