2.4.2 圆的一般方程-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.4.2　圆的一般方程

[学习目标]　

1．理解圆的一般方程及其特点．(数学抽象)

2．掌握圆的一般方程和标准方程的互化．(数学运算)

3．会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．(逻辑推理)

探究1　圆的一般方程

问题　把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得到x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0．

可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

反之，这个方程表示的图形是否都是圆呢？

[提示]　将x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方得，＋＝，当D2＋E2－4F＞0时表示圆，当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何图形．

[新知生成]

1．圆的一般方程

当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆．

2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形

 

[学以致用]　1．下列方程是否表示圆？若是，写出圆心和半径；若不是，说明理由．

(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；

(3)x2＋y2－x＝0；

(4)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)．

[解]　(1)2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆．

(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆．

(3)法一：因为D2＋E2－4F＝(－1)2＝1＞0，

所以方程表示圆，圆心坐标为，

即，半径r＝＝．

法二：方程x2＋y2－x＝0可化为＋y2＝，它表示以为圆心，为半径的圆．

(4)因为D＝2a，E＝0，F＝a2，所以D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，表示点(－a，0)，所以原方程不表示圆．

探究2　求圆的一般方程

[典例讲评]　【链接教材P86例4】

1．已知点A(－2，1)，B(－1，0)，C(2，3)，D(a，3)四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为________．

　[设过A，B，C三点的圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，

由已知得解得

所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4y－1＝0，又因为点D在此圆上，所以a2＋32－4×3－1＝0，解得a2＝4，所以点D到坐标原点O的距离为＝＝．]

 

　待定系数法求圆的一般方程的步骤

(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)．

(2)根据条件列出关于D，E，F的方程组．

(3)解出D，E，F，代回所设的圆的方程．

[学以致用]　2．(源自北师大版教材)求经过A(1，3)，B(4，2)，C(5，－5)三点的圆的方程．

[解]　设所求圆的方程为