2.4.1 圆的标准方程-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.4　圆的方程

2.4.1　圆的标准方程

[学习目标]　

1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)

2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)

3．能准确判断点与圆的位置关系．(数学运算)

探究1　圆的标准方程

问题1　圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

[提示]　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

[新知生成]

确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径．

径是不变的．

[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)已知两点A(1，2)和B(3，－2)．

(1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程；

(2)求以AB为直径的圆的方程．

[解]　(1)根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2．

由圆A经过点B(3，－2)，得(3－1)2＋(－2－2)2＝r2．解得r2＝20．

所以圆A的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝20．

(2)设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则(a，b)是圆心的坐标．

根据已知条件，得

a＝＝2，b＝＝0．

将点B(3，－2)代入圆的方程(x－2)2＋y2＝r2，解得r2＝(3－2)2＋(－2)2＝5．

所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5．

　直接法求圆的标准方程的策略

确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．

[学以致用]　1．求满足下列条件的圆的标准方程：

(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；

(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．

[解]　(1)r2＝(4－2)2＋(0－2)2＝8，

∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8．

(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，

∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)，又r＝5，

∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25．

探究2　点与圆的位置关系

问题2　平面内的点M(a，b)与圆O：x2＋y2＝r2有几种位置关系？如何判定？

[提示]　3种，分别是M在圆O内，在圆O上，在圆O外，可以用|OM|与r作比较来判定．

[新知生成]