2.3.3 点到直线的距离公式 2.3.4 两条平行直线间的距离-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式

2.3.4　两条平行直线间的距离

[学习目标]　

1．探索并掌握点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式．(数学抽象、数学运算)

2．会求点到直线的距离与两平行直线间的距离．(数学运算)

探究1　点到直线的距离

问题1　如图，在平面直角坐标系中，已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？如果A＝0或B＝0时，又如何求点P到直线l的距离呢？观察点到直线的距离公式，你能说说它的结构特征吗？

[提示]　点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线为l′，垂足为Q，由l′⊥l可知l′的斜率为，∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与直线l的方程联立方程组，

解得交点Q，

∴|PQ|＝．

当A＝0时，直线l：By＋C＝0，|PQ|＝|y0－yQ|＝＝＝；

当B＝0时，直线l：Ax＋C＝0，|PQ|＝|x0－xQ|＝＝＝．

所以当A＝0或B＝0时，上述公式仍然成立．

公式特征：(1)点到直线的距离公式中，直线的方程要转化为一般式Ax＋By＋C＝0；(2)公式中，分子是将点P(x0，y0)的坐标代入一般式左边所得值的绝对值，分母是一般式一次项系数平方和的算术平方根．

[新知生成]

点到直线的距离

(1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度．

(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝．

[典例讲评]　1．(源自北师大版教材)求点P(－2，1)到下列直线的距离：

(1)3x＋4y－1＝0；(2)y＝2x＋3；(3)2x＋5＝0．

[解]　(1)根据点到直线的距离公式，得d＝＝．

即点P(－2，1)到直线3x＋4y－1＝0的距离为．

(2)直线方程y＝2x＋3可化为一般式2x－y＋3＝0．

根据点到直线的距离公式，得d＝＝＝．

即点P(－2，1)到直线y＝2x＋3的距离为．

(3)直线方程2x＋5＝0可化为x＝－，这条直线垂直于x轴，

所以d＝＝．

即点P(－2，1)到直线2x＋5＝0的距离为．