2.3.2 两点间的距离公式-【名师导航】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步讲义（人教A版）
2.3.2 两点间的距离公式
[学习目标]
1．探索并掌握平面上两点间的距离公式．(数学抽象)
2．会用坐标法证明简单的平面几何问题．(逻辑推理)
[教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况
问题1．两点间距离公式是如何推导的？
问题2．“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤是什么？
探究1 两点间的距离公式
问题 已知平面内的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何利用勾股定理计算|P1P2|?
[提示] (1)当P1P2与x轴平行时，|P1P2|＝|x2－x1|；
(2)当P1P2与y轴平行时，|P1P2|＝|y2－y1|；
(3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，|P1P2|2＝|P1Q|2＋|QP2|2，所以|P1P2|＝
．
即两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝．
[新知生成]
1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为
．
2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝
．
[典例讲评] 1．(源自北师大版教材)如图所示，已知△ABC的三个顶点分别为A(4，3)，B(1，2)，C(3，－4)．
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(1)试判断△ABC的形状；
(2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
[解] (1)根据两点间的距离公式，得
|AB|＝
＝
，
|BC|＝
＝2，
|CA|＝
＝5
．
因为()2＋(2)2＝(5)2，即|AB|2＋|BC|2＝|CA|2，所以△ABC是直角三角形．
(2)因为BC的中点D的横坐标x＝
＝2，纵坐标y＝
＝－1，所以BC边上中线的长|AD|＝
＝2
．
【教材原题·P73例3】
例3 已知点A(－1，2)，B(2，
)，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．
[解] 设所求点为P(x，0)，则
|PA|＝
＝
，
|PB|＝
＝
．
由|PA|＝|PB|，得x2＋2x＋5＝x2－4x＋11．
解得x＝1．
所以，所求点为P(1，0)，且
|PA|＝
＝2．
1．对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，|P1P2|＝＝
·|x1－x2|＝
|y1－y2|(k为直线P1P2的斜率)．
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2．若已知两点间的距离及两点的坐标，并且坐标中含有参数，则可利用两点间的距离公式列方程求出参数．
[学以致用] 【链接教材P74练习T2】
1．已知点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，求a的值．
[解] ∵点A(a，3)和B(3，3a＋3)间的距离为5，
∴
＝5，
即5a2－3a－8＝0，解得a＝－1或a＝
．
所以a的值为－1或．
【教材原题·P74练习T2】已知A(a，－5)与B(0，10)两点间的距离是17，求a的值．
[答案] a＝±8．
探究2 坐标法的应用
[典例讲评] 【链接教材P73例4】
2．已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD．求证：|AC|＝|BD|．
[证明] 如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
则点D的坐标是(a－b，c)．
∴|AC|＝
＝
，
|BD|＝
＝．
故|AC|＝|BD|．
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