2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第二章 直线和圆的方程 2.1　直线的倾斜角与斜率 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学习目标]　 1．理解两条直线平行和垂直的条件．(数学抽象) 2．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(逻辑推理) 3．能利用两直线平行或垂直的条件解决问题．(数学运算) 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．是否总有l1∥l2⇔k1＝k2? 问题2．是否总有l1⊥l2⇔k1k2＝－1? 问题3．解决直线平行或垂直问题时，需注意什么？ 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 探究建构 关键能力达成 探究1　两条直线平行的判定 问题1　在平面几何中，我们有：“两直线平行，同位角相等”．平面直角坐标系中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，由此可以得出什么结论？ [提示]　两直线平行，倾斜角相等． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [新知生成] 两条直线平行与斜率之间的关系 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔______ l1∥l2⇔两直线斜率都______ 图示 k1＝k2 不存在 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【教用·微提醒】　(1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论． (2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件： ①l1与l2是不重合的两条直线．②斜率都存在． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [典例讲评]　【链接教材P56例2】 1．根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2，3)，B(－4，0)，l2经过点M(－3，1)，N(－2，2)； (2)l1的斜率为－，l2经过点A(4，2)，B(2，3)； (3)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)； (4)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [解]　(1)kAB＝＝，kMN＝＝1，因为kAB≠kMN，所以l1与l2不平行． (2)l1的斜率k1＝－，l2的斜率k2＝＝－，k1＝k2，所以l1与l2平行或重合． (3)由题意，知l1的斜率不存在，且不与y轴重合，l2的斜率也不存在，且与y轴重合，所以l1与l2平行． (4)由题意，知kEF＝＝1，kGH＝＝1，kEF＝kGH，所以l1与l2平行或重合． 需进一步研究E，F，G，H四点是否共线，kFG＝＝1． 所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合． 【教材原题·P56例2】 例2　已知A(2，3)，B(－4，0)，P(－3，1)，Q(－1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论． [解]　如图2.1-8，由已知可得 直线BA的斜率kBA＝＝， 直线PQ的斜率kPQ＝＝． 因为kBA＝kPQ，所以直线AB∥PQ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 反思领悟　判断两条不重合的直线是否平行的方法 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学以致用]　1．已知A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为________． 0或1　[当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意；当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， 0或1 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 kMN＝＝．因为AB∥MN，所以kAB＝kMN， 即＝，解得m＝0或m＝1． 当m＝0或m＝1时，经检验，两直线不重合． 综上，m的值为0或1．] 探究2　两条直线垂直的判定 问题2　平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ [提示]　k1·k2＝－1． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [新知生成]　两条直线垂直与斜率之间的关系 对应 关系 l1与l2的斜率都存在(且不为零)，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1 l1与l2中的一条斜率______，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示 不存在 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【教用·微提醒】　(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在且不为0． (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2． (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [典例讲评]　【链接教材P57例4】 2．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值． [解]　∵A，B两点纵坐标不相等， ∴AB与x轴不平行．∵AB⊥CD， ∴CD与x轴不垂直，∴－m≠3，即m≠－3． (1)当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1．当m＝－1时，C，D两点的纵坐标均为－1． ∴CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (2)当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得 kAB＝＝，kCD＝＝． ∵AB⊥CD，∴kAB·kCD＝－1， 即＝－1，解得m＝1． 综上，m的值为1或－1． 【教材原题·P57例4】 例4　已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系． [解]　直线AB的斜率kAB＝， 直线PQ的斜率kPQ＝－． 因为kABkPQ＝＝－1，所以直线AB⊥PQ． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 反思领悟　判断两条直线是否垂直的方法 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可．若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合，则这两条直线垂直． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [学以致用]　2．(多选)下列各对直线互相垂直的是(　　) A．l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1) B．l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3) C．l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40) D．l1的斜率为－，l2过点P(1，1)，Q √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 BCD　[A中，k1＝＝2，k2＝＝，因为k1k2＝1，所以l1与l2不垂直； B中，k1＝－10，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2； C中，由A，B的横坐标相等得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴， k2＝＝0，则l2⊥y轴，所以l1⊥l2； D中，l2过点P(1，1)，Q，k2＝＝，因为k1k2＝－1，所以两条直线垂直．故选BCD．] 探究3　平行与垂直的综合应用 [典例讲评]　【链接教材P56例3、P57例5】 3．已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [解]　A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， 由斜率公式可得 kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝ －， ∴kAB＝kCD， 由图可知AB与CD不重合， ∴AB∥CD． 由kAD≠kBC， ∴AD与BC不平行． 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， ∴AB⊥AD． 故四边形ABCD为直角梯形． [母题探究]　将本例中B点坐标改为(5，6)，其他点不变，此时四边形ABCD是什么图形？ [解]　kAB＝＝，kBC＝＝－3， 所以kAB·kBC＝－1，且kAB＝kCD． 所以AB⊥BC，AB∥CD． 故四边形ABCD为矩形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【教材原题·P56例3】 例3　已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，－1)，C(4，2)，D(2，3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [解]　如图2.1-9，由已知可得 AB边所在直线的斜率kAB＝－， CD边所在直线的斜率kCD＝－， BC边所在直线的斜率kBC＝， DA边所在直线的斜率kDA＝． 因为kAB＝kCD，kBC＝kDA，所以AB∥CD，BC∥DA． 因此四边形ABCD是平行四边形． 【教材原题·P57例5】 例5　已知A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)三点，试判断△ABC的形状． [分析]　如图2.1-10，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [解]　边AB所在直线的斜率kAB＝－，边BC所在直线的斜率kBC＝2． 由kABkBC＝－1，得AB⊥BC，即∠ABC＝90°． 所以△ABC是直角三角形． 反思领悟　利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 [解]　设所求点D的坐标为(x，y)，如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， 所以kAB·kBC＝0≠－1， 即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰． [学以致用]　3．已知点A(0，3)，B(－1，0)，C(3，0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD，因为kBC＝0，所以CD的斜率不存在，从而有x＝3．又kAD＝kBC，所以＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为(3，3)． (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥AB，AD⊥CD，因为kAD＝，kCD＝， 所以 解得x＝，y＝，此时AD与BC不平行，所以D点坐标为． 综上，D点坐标为(3，3)或． 【教用·备选题】　(1)已知▱ABCD的三个顶点的坐标分别为A，B，C，则点D的坐标为________． (2)已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，且四边形ABCD为直角梯形，求m和n的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 (1)　[法一：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，AB∥CD，AD∥BC． 由两直线平行的条件知 kAB＝kCD，kAD＝kBC， ∴化简，得解得 ∴点D的坐标为． 法二：设点D的坐标为(m，n)．由题意知，＝． 依题意得，＝，＝， 因此解得 ∴点D的坐标为．] (2)[解]　当AB∥CD，AB⊥AD时，由图1可知，A(2，－1)，∴m＝2，n＝－1． 当AD∥BC，AD⊥AB时，由图2可知， 即 解得m＝，n＝－． 综上，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－． 应用迁移 随堂评估自测 1．(多选)已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 (　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 BCD　[根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行； 当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选BCD．] 2．已知直线l1的斜率为0，且直线l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为(　　) A．0° B．45° C．90° D．180° √ C　[因为直线l1的斜率为0，所以直线l1与x轴平行或重合， 又直线l1⊥l2，故直线l2的倾斜角为90°． 故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 3．(教材P58习题2.1T5(1)改编)若经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线与倾斜角为135°的直线l平行，则m＝(　　) A．－4 B．－2 C． D．2 √ D　[经过A(m，2)，B(1，2m－1)两点的直线的斜率k＝＝， 又直线l的倾斜角为135°，∴＝tan 135°＝－1，解得m＝2． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 4．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，则AB边上的高所在直线的斜率为________． －　[∵kAB＝＝， ∴AB边上的高所在直线的斜率为－．] － 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 1．知识链： 2．方法链：分类讨论、数形结合． 3．警示牌：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．两条直线平行和斜率有怎样的关系？ [提示]　两条平行直线的斜率相等或斜率均不存在． 2．两条直线垂直和斜率有怎样的关系？ [提示]　两条直线垂直，则它们的斜率之积为－1或一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．(多选)已知两条直线l1，l2，有如下说法，其中正确的是(　　) A．直线l1，l2的斜率都存在，分别为k1，k2，且k1·k2＝－1，则l1⊥l2 B．直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在且为0，则l1⊥l2 C．若直线l1与l2相交，则必有k1≠k2 D．直线l1，l2的斜率存在，分别为k1，k2，若k1≠k2，则l1与l2一定相交 课时分层作业(十三)　两条直线平行和垂直的判定 √ √ √ 47 ABD　[l1，l2的斜率都存在，且斜率之积为－1，则l1⊥l2，A正确；直线l1的斜率不存在，直线l1与x轴垂直，直线l2的斜率存在且为0，直线l2与x轴平行或重合，B正确；直线l1与l2相交，但斜率不一定存在，C错误；直线l1，l2的斜率存在，若k1≠k2，则l1与l2一定相交，D正确．故选ABD．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　) A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 √ D　[设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2． ∵直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的两根， ∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 49 3．已知点A(m，m＋1)，B(－m，2m)，C(4，m)，D(1，0)，且直线AB与直线CD垂直，则m的值为(　　) A．－7或0 B．0或7 C．0 D．7 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 50 B　[由直线AB与直线CD垂直可分为两种情况： 当m＝0时，直线AB的斜率不存在，直线 CD的斜率为0，故AB⊥CD； 当m≠0时，kAB＝＝，kCD＝＝， 则kABkCD＝＝－1，解得m＝7， 综上，m＝0或m＝7．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 51 4．已知a＞0，b＞0，直线l1的斜率k1＝1－a，直线l2的斜率k2＝ －，且l1⊥l2，则的最小值为(　　) A．8 B．4 C．2 D．16 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 52 A　[由已知得k1·k2＝－·(1－a)＝－1，∴a＋2b＝1， 又a＞0，b＞0，∴＝(a＋2b)＝4＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝，即a＝，b＝时取等号， ∴的最小值为8．故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 53 5．下列条件中，使得l1⊥l2的是(　　) ①l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B； ②l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－5)； ③l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－6，0)，S(－1，3)． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 54 B　[①中，易求得l2的斜率为＝＝－1，故l1⊥l2；②中，l1的斜率为tan 45°＝1，l2的斜率为＝－，1×≠－1，故l1与l2不垂直；③中，l1的斜率为＝－，l2的斜率为＝，－＝－1，故l1⊥l2． 故①③正确．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 二、填空题 6．已知△ABC的三个顶点分别是A(2，2)，B(0，1)，C(4，3)，点D(m，1)在边BC的高所在的直线上，则实数m＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[设直线AD，BC的斜率分别为kAD，kBC．由题意，得AD⊥BC， 则有kADkBC＝－1，所以有＝－1，解得m＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 56 7．已知l1，l2不重合，直线l1经过点A(－2，m)和点B(m，4)，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l1∥l2，l2⊥l3，则m＋n的值为_______． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 －10　[由题意可得，直线l1的斜率为，又直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，所以＝－2，解得m＝－8． 由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，所以－2×＝－1，解得n＝ －2．所以m＋n＝－10．] －10 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 57 8．已知直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)．若l1与l2没有公共点，则实数a的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6　[∵直线l1经过点A(0，－1)和点B，直线l2经过点M(1，1)和点N(0，－2)，若l1与l2没有公共点，则这两条直线互相平行， ∴它们的斜率相等， 即＝，解得a＝6．] 6 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 58 三、解答题 9．已知A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)． (1)若直线AB与CD平行，求m的值； (2)若△ABC为直角三角形，求m的值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)依题意可得kAB＝kCD， 又因为A(4，0)，B(1，2)，C(m，m)，D(7，－1)， 即＝，解得m＝，又kAB＝＝－，kAD＝＝－， 所以kAB≠kAD，所以A，B，C，D四点不共线，所以m＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 59 (2)若A为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0， 则kABkAC＝－1，即＝－1，解得m＝12； 若B为直角，因为直线AB的斜率存在，且不为0，则kABkBC＝－1， 即＝－1，解得m＝－1； 若C为直角，当AC，BC的斜率存在且不为0时， 则kACkBC＝－1，即＝－1，解得m＝． 综上，m的值为－1或12或． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 10．如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 61 A　[如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B． 根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 √ 11．已知点A(－2，2)，B(6，4)，H(5，2)，H是△ABC的垂心，则点C的横坐标为(　　) A．－4 B．－2 C．6 D．－6 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设C(m，n)，由题意得AH⊥BC，又kAH＝＝0， 则点C的横坐标与点B的横坐标相等，则m＝6， 则点C的横坐标为6．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 63 12．在直角梯形ABCD中，已知点A(－5，－10)，B(15，0)，C(5，10)，AD是腰且垂直于两底，则顶点D的坐标为____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－11，2)　[设点D(x，y)， 由题意可知DC∥AB，DA⊥AB，直线AB的斜率存在且不为0，所以kDC＝kAB，kDAkAB＝－1， 即＝①，＝－1②，由①②得x＝－11，y＝2．故顶点D的坐标为(－11，2)．] (－11，2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 64 13．已知直线l1过点A(4，a)，B(a－1，3)，直线l2过点C(2，3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，则a＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 0或5　[当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，满足l1⊥l2，此时解得a＝5； 当直线l1的斜率存在时，由l1⊥l2得＝－1，解得a＝0． 综上，a＝0或a＝5．] 0或5 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 65 14．如图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长为|AD|＝5 m，宽为|AB|＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问在BC上能否找到一点M，使得两条小路所在直线AC与DM相互垂直？ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 66 [解]　以点B为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系(图略)． 则C(5，0)，D(5，3)，A(0，3)． 设M(x，0)，0＜x＜5． 因为AC⊥DM，所以kAC·kDM＝－1， 所以＝－1， 解得x＝3.2， 所以当|BM|＝3.2 m时，两条小路所在直线AC与DM相互垂直． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 67 15．已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0)． (1)若点Q满足PQ⊥MN，PN∥MQ，求点Q的坐标； (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　(1)设Q(x，y)，由已知得kMN＝3，又PQ⊥MN，∴kPQ·kMN＝－1，即×3＝－1，① 由已知得kPN＝－2，又PN∥MQ，∴kPN＝kMQ，即－2＝，② 联立①②，解得x＝0，y＝1，∴Q(0，1)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 68 (2)设Q(x0，0)． ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP， 又kNQ＝，kNP＝－2，∴＝2，解得x0＝1，∴Q(1，0)，又M(1，－1)，∴MQ⊥x轴，故直线MQ的倾斜角为90°． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 69 $$