2.1.2 两条直线平行和垂直的判定-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，通过问题导思回顾平面几何中平行直线的角关系，衔接倾斜角与斜率，以表格对比斜率存在与否的判定条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于分层任务设计，结合微提醒强调易错点（如平行需不重合），典例与对点练培养逻辑推理和数学运算，综合应用例题（如求点D使CD⊥AB且BC∥AD）提升直观想象。评价题多样（开放题、分层题），学生能夯实基础并提升解题能力，教师可高效检测教学效果。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 　 第二章　直线和圆的方程 学习目标 1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件，培养直 观想象的核心素养. 2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直，提升逻辑推理和数 学运算的核心素养. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问 题，提升数学运算的核心素养. 任务一　两条直线(不重合)平行的判定 1 任务二　两条直线垂直的判定 2 任务三　两条直线平行与垂直关系的综合应用 3 课时分层评价 5 内容索引 随堂评价 4 任务一　两条直线(不重合)平行的判定 返回 问题导思 (阅读教材P55－56，完成探究问题1、2) 问题1.在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 提示：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补. 问题2.平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示：两直线平行，倾斜角相等. 新知构建 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔________ l1∥l2⇔两直线的斜率都________ 图示 k1＝k2 不存在 微提醒 (1)若没有指明l1，l2不重合，那么k1＝k2⇔l1∥l2或l1与l2重合，用斜率证明三点共线时，常用到这一结论.(2)用“l1∥l2⇔k1＝k2”时，要明确两个前提条件：①l1与l2是不重合的两条直线；②斜率都存在. 根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A，B，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； 解：由题意知，k1＝＝－，k2＝＝－， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kBC＝＝－≠－，故l1∥l2. 典例 1 (2)l1经过点E，F，l2经过点G(3，4)，H(2，3)； 解：由题意知，k1＝＝1，k2＝＝1， 所以直线l1与直线l2平行或重合， 又kFG＝＝1， 故直线l1与直线l2重合. (3)l1的倾斜角为60°，l2经过点M，N； 解：由题意知，k1＝tan 60°＝，k2＝＝，则k1＝k2， 所以直线l1与直线l2平行或重合. (4)l1平行于y轴，l2经过点P，Q. 解：由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2. 规律方法 1.判定两条直线是否平行的步骤 2.已知两直线平行求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解. 对点练1.根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2，1)，l2经过点M(3，4)，N(－1，－1)； 解：k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行. (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1，1)，B(2，2)； 解：k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合. (3)l1经过点A(0，1)，B(1，0)，l2经过点M(－1，3)，N(2，0)； 解：k1＝＝－1，k2＝＝－1， 则有k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. (4)l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，l2经过点M(5，－2)，N(5，5). 解：由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 返回 任务二　两条直线垂直的判定 返回 问题导思 (阅读教材P56－57，完成探究问题3、4) 问题3.在平面中，若两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则它们垂直的充要条件是什么？ 提示：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 问题4.平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 提示：k1·k2＝－1. 新知构建 对应 关系 l1⊥l2(两直线斜率都存 在)⇔_____________ l1的斜率不存在，l2的斜率0⇒________ 图示 k1·k2＝－1 l1⊥l2 微思考 “两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充要条件吗？ 提示：不是.当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.故“两条直线的斜率之积为－1”是“两条直线垂直”的充分不必要条件.即l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在. 根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－，l2经过点A(1，1)，B(0，－)； 解：因为l2经过点A(1，1)，B(0，－)， 所以l2的斜率为＝， 又因为l1的斜率为－，且×(－)＝－1， 所以l1与l2垂直. 典例 2 (2)l1的倾斜角为45°，l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)； 解：因为l1的倾斜角为45°，所以l1的斜率为1， 因为l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，所以l2的斜率为＝－1， 而1×＝－1，所以l1与l2垂直. (3)l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，l2经过点R(－1，0)，S(－1，3). 解：因为l1经过点M(1，0)，N(4，－5)，所以l1的斜率为＝－， 因为l2经过点R(－1，0)，S(－1，3)， 所以l2的斜率不存在，倾斜角为90°， 而l1的斜率不是0，所以l1与l2不垂直. 规律方法 判断两条直线是否垂直的步骤 一看：看每条直线所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；若不相等，则进行第二步； 二代：将点的坐标代入斜率公式； 三求值：计算斜率的值，进行判断. 注意：若已知点的坐标中含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况. 对点练2.根据下列给定的条件，判断直线l1与l2是否垂直： (1)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)； 解：设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2， 则k1＝－10，k2＝ ＝ ， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. (2)l1经过点A(3，4)，B(3，10)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40)； 解：由点A，B的横坐标相等，得l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.设直线l2的斜率为k2，则k2＝ ＝0，所以l2∥x轴.故l1⊥l2. (3)l1经过点A(－1，2)，B(5，－1)，l2经过点C(1，0)，D(4，6). 解：法一：直线l1的斜率k1＝ ＝－ ，直线l2的斜率k2＝ ＝2， 因为k1k2＝－1，所以l1⊥l2. 法二：直线l1的方向向量 ＝(6，－3)，直线l2的方向向量 ＝(3，6)，因为 · ＝0，所以 ⊥ ，所以l1⊥l2. 返回 任务三　两条直线平行与垂直关系的综合应用 返回 已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且BC∥AD. 解：设D(x，y)， 由题意得kAB＝＝3，kCD＝＝，kBC＝＝－2，kAD＝. 因为直线CD⊥AB，且BC∥AD， 所以kAB·kCD＝3·＝－1， kBC＝kAD，即＝－2. 联立解得即D(0，1). 典例 3 变式探究(变结论)本例条件不变，求点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形. 解：设D(x，y)，若四边形ABCD是平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kAD. 由例题可知＝3，＝－2， 联立方程组，解得即D(2，－3). 规律方法 1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 规律方法 2.关于直线平行与垂直的综合应用的注意点 (1)设出点的坐标，利用平行、垂直时的斜率关系建立方程(组) 求解； (2)图形中的平行与垂直问题要充分利用图形性质求解，图形的形状不确定时要分情况讨论. 对点练3.已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 解：A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示， 由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝ ＝－3，kBC＝＝－， 所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合， 所以AB∥CD. 由kAD≠kBC，可知AD与BC不平行， 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1， 所以AB⊥AD.故四边形ABCD为直角梯形. 返回 课堂小结 任务再现 1.两条直线平行的判定.2.两条直线垂直的判定.3.两条直线平行与垂直关系的综合应用 方法提炼 分类讨论思想、数形结合思想 易错警示 研究两直线平行、垂直关系时容易忽略直线的斜率为0或斜率不存在的情况 随堂评价 返回 √ 1.若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3，4)的直线平行，则m的值是 A. B.－ C.2 D.－2 由题意知，直线PQ的斜率存在，由kPQ＝kMN，即＝，得m＝－.经检验知，m＝－符合题意.故选B. 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－，当a＝0时，l2的斜率不存在.故选BD. √ √ 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为 A. B.－ C.a D.不存在 由点A(－1，2)，B(3，－4)，可得kAB＝＝－，设直线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝. 3.若点A(－1，2)，B(3，－4)关于直线l对称，则直线l的斜率是____. 返回 若a＝0，则直线l1的斜率为0，此时直线l2的斜率不存在，那么l1与l2不平行，不满足条件；若a≠0，则直线l1的斜率为＝a，直线l2的斜率为＝.因为l1∥l2，所以a＝，即a2＋3a－4＝0，解得a＝1或a＝－4，经检验知，当a＝1或a＝－4时，l1与l2平行. 4.已知经过点A和点B的直线l1与经过点P(0，－4)和点Q的直线l2互相平行，则实数a＝__________. －4或1 课时分层评价 返回 不妨设两直线的斜率分别为k1，k2，则由题意有k1·k2＝－1，所以两直线互相垂直.故选A. √ 1.两直线的斜率分别是方程x2＋2 025x－1＝0的两根，那么这两直线的位置关系是 A.垂直 B.斜交 C.平行 D.重合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4，2)，B(1，－2)，C(－2，4)，则BC边上的高的斜率为 A.2 B.－2 C. D.－ 因为B(1，－2)，C(－2，4)，所以kBC＝＝－2.设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，所以k＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 A. B.－ C. D.－ 如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°，所以l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率＝＝－1，由l2∥l1，所以＝－1，即tan α＝－1，又0°≤α＜180°，则α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°.故选C. √ 4.已知直线l1经过A，B两点，且直线l2∥l1，则直线l2的倾斜角为 A.30° B.45° C.135° D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.(多选)设平面内四点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论正确的是 A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS 由斜率公式知，kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，所以PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，所以PS与QS不平行，故A、B、D正确.故选ABD. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 6.(多选)已知点A，B，下列结论正确的是 A.若直线AB的方向向量为，则k＝ B.若直线l的斜率为－，则l⊥AB C.若C，则△ABC为直角三角形 D.若C，D，则四边形ABCD是平行四边形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，k＝kAB＝＝2，所以直线AB的方向向量为，故A错误；对于B，因为－kAB＝－1，所以l⊥AB，故B正确；对于C，因为kBC＝＝－，kBCkAB＝－1，所以AB⊥BC，故C正确；对于D，因为kCD＝＝2＝kAB，kAD＝，kBC＝－，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C(x，0)，易知当x＝1或x＝2时，不合题意，因此当x≠1且x≠2时，可得kAB＝ ＝1，kAC＝－ ，kBC＝－ ，当A为直角时，kAB·kAC＝1· ＝－1，得x＝3，即C的坐标为(3，0).当B为直角时，kAB·kBC＝1· ＝－1，得x＝5，即C的坐标为(5，0).当C为直角时，kAC·kBC＝ · ＝－1，化简得x2－3x＋8＝0，该方程无解. 7.(开放题)已知点A(1，2)，B(2，3)，点C在x轴上，△ABC为直角三角形，请写出C的一个坐标：________________________________________ __________. (3，0)(答案不唯一，(3，0)，(5，0)任意一 个都可以) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(双空题)若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝___；若l1∥l2，则b＝______. 当l1⊥l2时，k1k2＝－＝－1，得b＝2.当l1∥l2时，k1＝k2，Δ＝9－4×2×(－b)＝0，得b＝－. 2 － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知l1，l2不重合，过点A和点B的直线l1与直线l2平行，直线l2的斜率为－2，直线l3的斜率为－，若l2⊥l3，则实数m＋n的值为_______. 由题意可得，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－2，直线l3的斜率k3＝－，因为l1∥l2，所以k1＝k2，即＝－2，解得m＝－8；又l2⊥l3，所以k2·k3＝－1，即×＝－1，解得n＝－2，所以m＋n＝－10. －10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)已知A(m，4)，B(－2，m)，C(1，1)，D(m＋2，3)四点. (1)若直线AB与直线CD平行，求m的值； 解：①当直线AB的斜率不存在时，m＝－2，此时C(1，1)，D(0，3)，则直线CD的斜率存在， 故直线AB与直线CD不平行，故m≠－2； 同理可得m≠－1，所以直线AB与直线CD的斜率都存在. ②直线AB的斜率为kAB＝，直线CD的斜率为kCD＝. 因为直线AB与直线CD平行，所以kAB＝kCD，即＝， 整理可得m2－m＝0，解得m＝0或m＝1， 检验可知，当m＝0或m＝1时，直线AB与直线CD平行，故m＝0或m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：无论m取何值，总有∠ACB＝90̊. 解：证明：＝(1－m，－3)，＝(3，1－m)， 则·＝3(1－m)－3(1－m)＝0，⊥， 所以无论m取何值，总有∠ACB＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 11.已知两点A(2，0)，B(3，4)，直线l过点B，且交y轴于点C(0，y)，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，则y的值是 A.19 B. C.5 D.4 由O，A，B，C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补.又由题意得∠COA＝90°，所以∠ABC＝90°，所以AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得y＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为__________. ，－3 设正方形斜率为正数的一条边所在的直线倾斜角为α，则tan(α＋)＝2⇒＝2，解得tan α＝，故k＝.根据垂直关系可得另一条边的斜率为－＝－3，所以该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为， －3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝__________. 4＋ 如图所示，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝.所以直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－.所以＝＝－，解得m＝4＋. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)已知M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 解：设Q(x，0)，因为∠NQP＝∠NPQ， 所以kNQ＝－kNP. 又因为kNQ＝，kNP＝－2， 所以＝2，即x＝1， 所以Q(1，0). 又因为M(1，－1)， 所以MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(新情境)将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则a－b＝___. 1 设点为点A，点为点B，所以线段AB的中点为E.设点(－1，2)为点C，点为点D，所以线段CD的中点为F，由题意 可知kAB＝kCD，kEF·kAB＝－1，于是有： 所以a－b＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为_____. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 返回 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，垂直于l1的直线 为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.设B(a，－2)， C(b，3).因为AC⊥AB，所以kAC·kAB＝－1，所以·＝ －1，则ab－6＝0，ab＝6，b＝.所以Rt△ABC的面积S＝｜AB｜· ｜AC｜＝·＝·＝ ≥＝6(当且仅当a2＝4时取等号). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 返回 $