4.2.2 指数函数的图象和性质(二)-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

4.2.2　指数函数的图象和性质(二) [学习目标]　1．能判断与证明指数型函数的单调性．(逻辑推理) 2．能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小、解不等式．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何借助指数函数的性质比较幂的大小？ 问题2．如何借助指数函数的性质解不等式？ 探究1　利用指数函数的单调性比较大小 [典例讲评]　【链接教材P117例3】 1．比较下列各题中两个数的大小： (1)1.52.5和1.53.2； (2)0.6-1.2和0.6-1.5； (3)1.70.2和0.92.1； (4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)． [解]　(1)1.52.5，1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值，由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数，因为2.5<3.2， 所以1.52.5<1.53.2． (2)0.6-1.2，0.6-1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值， 因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5， 所以0.6-1.2<0.6-1.5． (3)由指数函数的性质，得1.70.2>1.70＝＝1， 所以1.70.2>0.92.1． (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，故a1.1>a0.3； 当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，故a1.1<a0.3． 【教材原题·P117例3】 例3　比较下列各题中两个值的大小： (1)1.72.5，1.73； (2)0.8，0.8； (3)1.70.3，0.93.1． 分析：对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较；对于(3)，1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值．可以利用函数y＝1.7x和y＝0.9x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来． [解]　(1)1.72.5和1.73可看作函数y＝1.7x当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x是增函数． 因为2.5<3，所以1.72.5<1.73． (2)同(1)理，因为0<0.8<1，所以指数函数y＝是减函数． 因为－>－，所以0.8<0.8． (3)由指数函数的性质知 1．70.3>1.70＝1， 0．93.1<0.90＝1， 所以1.70.3>0.93.1． 　　比较幂大小的方法 (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断． (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用幂函数的单调性来判断． (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间量来判断． (4)当底数含参数时，如比较a3，a2的大小，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论． [学以致用]　【链接教材P118练习T2】 1．(多选)下列各式比较大小正确的是(　　) A．　 B． C．　 D． BC　[对于A，∵函数y＝1.8x在R上单调递增，且2.5＜3，∴1.82.5<1.83，故A错误；对于，∵函数y＝2x在R上单调递增，且－>∴，故B正确；对于C，＞1.90＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，∴1.90.3＞0.93.1，故C正确；对于D，∵函数y＝在R上单调递减，且>，∴，又函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，∴，∴，故D错误．故选BC．] 【教材原题·P118练习T2】比较下列各题中两个值的大小： (1)，； (2)0.3-3.5，0.3-2.3； (3)1.20.5，0.51.2． [解]　(1)函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增， ∵0＜6＜7，∴＜． (2)函数y＝0.3x在R上为减函数， ∵－3.5＜－2.3，∴0.3-3.5＞0.3-2.3． (3)∵1.20.5＞1.20＝1，0.51.2＜0.50＝1， ∴1.20.5＞0.51.2． 探究2　指数型不等式的解法 [典例讲评]　2．(1)解不等式≤2； (2)已知ax2－3x＋1<ax+6(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． [解]　(1)∵2＝，∴原不等式可以转化为． ∵y＝在R上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0， 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当0<a<1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是减函数，∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象(图略)可得x<－1或x>5； ②当a>1时，函数f (x)＝ax(a>0，且a≠1)在R上是增函数，∴x2－3x＋1<x＋6，∴x2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象(图略)可得－1<x<5． 综上所述，当0<a<1时，x<－1或x>5；当a>1时，－1<x<5． 　指数型不等式的解法 (1)指数型不等式af (x)>ag(x)(a>0，且a≠1)的解法： 当a>1时，f (x)>g(x)； 当0<a<1时，f (x)<g(x)． (2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式，要先进行变形，将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a>0，且a≠1)，a－x＝(a>0，且a≠1)等． [学以致用]　【链接教材P119习题4.2T3】 2．已知f (x)＝a－x(a>0，且a≠1)，且f (－2)>f (－3)，则a的取值范围是________． (0，1)　[因为f (x)＝a－x＝在R上为单调函数，又f (－2)>f (－3)，所以f (x)为增函数，故有>1，所以0<a<1．] 【教材原题·P119习题4.2T3】比较满足下列条件的m，n的大小： (1)2m＜2n；(2)0.2m＜0.2n； (3)am＜an(0＜a＜1)；(4)am＞an(a＞1)． [解]　(1)因为函数y＝2x为R上的增函数，且2m＜2n，则m＜n． (2)因为函数y＝0.2x为R上的减函数，且0.2m＜0.2n，则m＞n． (3)当0＜a＜1时，函数y＝ax为R上的减函数，且am＜an，则m＞n． (4)当a＞1时，函数y＝ax为R上的增函数，且am＞an，则m＞n． 探究3　指数型函数的单调性 [典例讲评]　3．判断函数f (x)＝的单调性． [解]　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增， y＝在R上单调递减， ∴f (x)＝在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减． [母题探究]　把本例的函数改为“f (x)＝”，求其单调区间． [解]　函数f (x)＝的定义域是R． 令u＝－x2＋2x，则原函数变为y＝2u． 当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x单调递增， 又函数y＝2u是增函数， 所以函数f (x)＝在(－∞，1]上单调递增． 当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x单调递减，又函数y＝2u是增函数，所以函数f (x)＝在[1，＋∞)上单调递减． 综上，函数f (x)＝的单调递减区间是[1，＋∞)，单调递增区间是(－∞，1]． 　函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性的处理技巧 (1)指数型函数y＝af (x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0<a<1；二是f (x)的单调性，它由两个函数y＝au，u＝f (x)复合而成． (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f (u)，u＝φ(x)，通过f (u)和φ(x)的单调性，求得y＝f (φ(x))的单调性． [学以致用]　3．(2023·新高考Ⅰ卷)设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] 　 B．[－2，0) C．(0，2] 　 D．[2，＋∞) D　[法一(复合函数法)：由题意得y＝x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D． 法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)上单调递减，所以f (x)＝2x(x-3)在(0，1)上单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．] 4．求下列函数的单调区间： (1)y＝(a>1)；(2)y＝2|x-1|． [解]　(1)令u＝－x2＋3x＋2＝－，易知u＝－x2＋3x＋2在上单调递增，在上单调递减， ∵当a>1时，y＝au在R上单调递增， ∴函数y＝，单调递减区间为． (2)当x∈[1，＋∞)时，函数y＝2x-1，因为t＝x－1为增函数，y＝2t为增函数， ∴y＝2x-1在[1，＋∞)上单调递增； 当x∈(－∞，1)时，函数y＝21-x． 而t＝1－x为减函数，y＝2t为增函数， ∴y＝21-x在(－∞，1)上单调递减． 故函数y＝2|x-1|的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为[1，＋∞)． 【教用·备选题】 (多选)已知函数f (x)＝，则(　　) A．函数f (x)的定义域为R B．函数f (x)的值域为(0，2] C．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递增 D．函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减 ABD　[令u＝x2＋4x＋3，则u∈[－1，＋∞)． 对于A，f (x)的定义域与u＝x2＋4x＋3的定义域相同，为R，故A正确； 对于B，y＝，所以函数f (x)的值域为(0，2]，故B正确； 对于C，D，因为u＝x2＋4x＋3在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在定义域上单调递减，所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以C错误，D正确． 故选ABD．] 1．已知0.3m>0.3n，则m，n的大小关系为(　　) A．m>n 　 B．m<n C．m＝n 　 D．不能确定 B　[因为函数y＝0.3x在R上是减函数，且0.3m>0.3n，所以m<n．故选B．] 2．(教材P119习题4.2T6改编)设a＝90.4，b＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b 　 B．c＜b＜a C．a＜c＜b 　 D．a＜b＜c A　[依题意，a＝(32)0.4＝30.8＜30.9＝＝b， 而a＝90.4＞90＝1＝0.80＞0.80.9＝c， 所以c＜a＜b．故选A．] 3．函数f (x)＝的单调递增区间为(　　) A．(－∞，0] 　 B．[0，＋∞) C．(－1，＋∞) 　 D．(－∞，－1) A　[∵f (x)＝，0<<1， ∴f (x)的单调递增区间为u(x)＝x2－1的单调递减区间，即(－∞，0]．故选A．] 4．若2x2＋1≤，则函数y＝2x的值域是________． ＝24-2x，得 x2＋1≤4－2x，解得－3≤x≤1，所以2-3≤2x≤2， 即函数y＝2x的值域是．] 1．知识链： 2．方法链：转化与化归． 3．警示牌：研究y＝af (x)(a＞0，且a≠1)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 比较幂的大小的常用方法有哪些？ [提示]　 课时分层作业(三十)　指数函数的图象和性质(二) 一、选择题 1．设<<<1，那么(　　) A．0<b<a<1 　 B．0<a<b<1 C．a>b>1 　 D．b>a>1 B　[由<<<以及函数y＝是减函数可知0<a<b<1，故选B．] 2．已知a＝30.8，b＝40.8，c＝30.7，则(　　) A．a＜b＜c 　 B．c＜a＜b C．c＜b＜a 　 D．b＜a＜c B　[由函数y＝3x为增函数，可得a＞c； 由幂函数y＝x0.8在(0，＋∞)上单调递增，可得b＞a， 所以b＞a＞c．故选B．] 3．已知函数f (x)＝3x－，则f (x)(　　) A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数 A　[因为f (x)＝3x－，定义域为R， f (－x)＝3－x－－3x ＝－＝－f (x)， 所以函数f (x)是奇函数． 又y＝3x在R上是增函数，y＝在R上是减函数， 所以f (x)＝3x－在R上是增函数．故选A．] 4．若函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A． 　 B． C．∪(1，＋∞) 　 D． A　[由于底数3∈(1，＋∞)，所以函数f (x)＝3(2a-1)x+3的单调性与y＝(2a－1)x＋3的单调性相同．因为函数f (x)＝3(2a-1)x+3在R上是减函数，所以y＝(2a－1)x＋3在R上是减函数，所以2a－1<0，即a<，从而实数a的取值范围是．故选A．] 5．函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是(　　) A．[－31，1) 　 B．[－35，－31] C．[－35，1) 　 D．(－∞，－31] C　[令t＝2x，因为x∈(－∞，3]，所以t∈(0，8]， 则4x－3·2x+2＋1＝t2－12t＋1， 令g(t)＝t2－12t＋1＝(t－6)2－35，t∈(0，8]， 所以当t＝6时，g(t)取得最小值，且g(t)min＝－35， 又g(0)＝1，g(8)＝－31，所以g(t)∈[－35，1)， 即函数y＝4x－3·2x+2＋1(x∈(－∞，3])的值域是[－35，1)．故选C．] 二、填空题 6．若不等式2与不等式x2＋ax＋b＜0的解集相同，则a＋b＝________． －5　[＝23-3x， ∵y＝2x在R上单调递增， ∴x2－2x－3＜3－3x，即x2＋x－6＜0， ∴a＝1，b＝－6，∴a＋b＝－5．] 7．已知函数f (x)＝＋a为奇函数，则a的值为________． －　[法一：∵f (x)为奇函数， ∴f (－x)＋f (x)＝0， 即＋a＝0， ∴2a＝－＝－1， ∴a＝－． 法二：f (0)＝＋a，又f (0)＝0，∴a＝－．] 8．已知函数f (x)＝2|x－a|(a为常数)，若f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． (－∞，1]　[由函数f (x)＝2|x－a|＝可得，当x≥a时，函数f (x)单调递增，而已知函数f (x)在区间[1，＋∞)上单调递增，所以a≤1，即a的取值范围为(－∞，1]．] 三、解答题 9．已知集合M＝，则当x∈M时，求函数y＝2x的值域． [解]　由3x+1≤， 得3x+1≤34-2x． 因为函数y＝3x在定义域R上是增函数， 所以x＋1≤4－2x，解得x≤1． 因为函数y＝2x是增函数， 所以当x≤1时，2x≤21＝2， 即y＝2x≤2． 又因为指数函数y＝2x>0， 所以0<y≤2， 即当x∈M时，函数y＝2x的值域为(0，2]． 10．已知函数f (x)＝，记a＝f ()，b＝f ()，c＝f ()，则(　　) A．a＜b＜c 　 B．b＜a＜c C．b＜c＜a 　 D．c＜b＜a B　[函数f (x)＝的定义域为R，f (4－x)＝＝f (x)，则函数f (x)的图象关于直线x＝2对称，而函数t＝(x－2)2在(2，＋∞)上单调递增，函数y＝et在定义域上单调递增，于是函数f (x)在(2，＋∞)上单调递增，又a＝f ()＝f (4－)，2＜＜4－＜，则f ()＜f (4－)＜f ()，所以b＜a＜c．故选B．] 11．(多选)已知函数f (x)＝，则(　　) A．f (x)为偶函数 B．f (x)的值域为(0，2 025] C．f (x)在[－2，＋∞)上单调递减 D．f (66)＜f (88) BC　[易得f (x)的定义域为R，且f (－x)＝≠f (x)， 故f (x)不为偶函数，故A错误； 令u＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)， 所以y＝在u∈[－1，＋∞)上的值域为(0，2 025]，故B正确； 因为u＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在u∈[－1，＋∞)上单调递减， 所以根据复合函数的单调性，得函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C正确； 由于函数f (x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f (66)＞f (88)，故D错误．故选BC．] 12．若2x－3－x<2y－3－y，则(　　) A．x－y≥0 　 B．x－y<0　 C．x－y>0 　 D．x－y≤0 B　[令f (x)＝2x－3－x， ∵y＝2x和y＝－3－x都是增函数， ∴f (x)是增函数， ∵2x－3－x<2y－3－y， 即f (x)<f (y)， ∴x<y，即x－y<0．故选B．] 13．已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a＝b．其中可能成立的有________．(填序号) ①②⑤　[作y＝与y＝的图象(图略)． 当a＝b＝0时，＝1； 当a<b<0时，可以使； 当a>b>0时，也可以使． 故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④．] 14．已知函数f (x)＝． (1)若a＝－1，求函数f (x)的单调递增区间； (2)如果函数f (x)有最大值3，求实数a的值． [解]　(1)当a＝－1时，f (x)＝， 令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7， 由于g(x)在[－2，＋∞)上单调递减，y＝在R上是减函数， ∴f (x)在[－2，＋∞)上单调递增， 即f (x)的单调递增区间是[－2，＋∞)． (2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f (x)＝， 由于f (x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1． 因此必有解得a＝1， 即当f (x)有最大值3时，实数a的值为1． 15．已知f (x)＝a＋(a∈R)． (1)若函数f (x)为奇函数，求实数a的值； (2)用定义法判断函数f (x)的单调性； (3)若当x∈[－1，5]时，f (x)≤0恒成立，求实数a的取值范围． [解]　(1)若函数f (x)为奇函数， ∵x∈R，∴f (0)＝a＋1＝0，得a＝－1， 验证当a＝－1时， f (x)＝－1＋为奇函数， ∴a＝－1． (2)∀x1，x2∈R，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝＝， 由x1<x2，得， ∴>0，又＋1>0， 故f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)， ∴f (x)在R上是减函数． (3)当x∈[－1，5]时， ∵f (x)为减函数， ∴f (x)max＝f (－1)＝＋a， 若f (x)≤0恒成立， 则满足f (x)max＝＋a≤0， 得a≤－，∴a的取值范围为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$