3.2.2 第2课时 奇偶性的应用-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数奇偶性的应用核心知识点，系统梳理利用奇偶性求解析式的方法，以及奇偶性与单调性结合比较大小、解不等式的应用，通过问题引导、典例分析、母题变式构建从定义到应用的学习支架。 该资料以核心素养为导向，通过教材原题链接与母题探究培养数学思维，如结合奇偶性推导对称区间单调性关系并证明，提升逻辑推理能力。分层作业设计兼顾基础与拔高，课中助力教师突破重难点，课后帮助学生查漏补缺，强化数学运算与知识应用。

第2课时　奇偶性的应用 [学习目标]　1．掌握用奇偶性求解析式的方法．(数学运算) 2．理解奇偶性对单调性的影响并能用此比较大小、求最值和解不等式．(逻辑推理、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何利用函数的奇偶性求解析式？ 问题2．奇(偶)函数在对称区间上的单调性存在怎样的关系？ 探究1　根据函数的奇偶性求函数的 解析式 [典例讲评]　【链接教材P86习题3.2T11】 1．若函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f (x)＝x2－2x－1，求函数f (x)的解析式． [解]　当x＜0时，－x＞0， f (－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f (x)是奇函数，所以f (x)＝－f (－x)， 所以x＜0时，f (x)＝－x2－2x＋1， 故f (x)＝ [母题探究]　将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，当x≥0时，f (x)＝x2－2x－1，求当x＜0时，函数f (x)的解析式． [解]　当x＜0时，－x＞0， f (－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1， 因为函数f (x)是偶函数， 所以f (x)＝f (－x)， 所以f (x)＝x2＋2x－1， 即x＜0时，f (x)＝x2＋2x－1． 【教材原题·P86习题3.2T11】已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f (x)＝x(1＋x)．画出函数f (x)的图象，并求出函数的解析式． [解]　因为函数f (x)是定义域为R的奇函数，所以其图象关于原点对称且f (－x)＝－f (x)，图象如图所示． 当x≥0时，f (x)＝x(1＋x)，所以当x＜0时，－x＞0，则f (－x)＝(－x)(1－x)＝－f (x)， 整理得f (x)＝x(1－x)＝－x2＋x，所以f (x)的解析式为f (x)＝ 　利用函数奇偶性求解析式的方法 (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f (x)的奇偶性写出－f (x)或f (－x)，从而解出f (x)． 提醒：若奇函数f (x)在x＝0处有意义，则必有f (0)＝0． [学以致用]　1．f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝，求函数f (x)，g(x)的解析式． [解]　∵f (x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f (－x)＝f (x)，g(－x)＝－g(x)， ∵f (x)＋g(x)＝，① 用－x代替上式中的x，得f (－x)＋g(－x)＝， ∴f (x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f (x)＝； (①－②)÷2，得g(x)＝． 探究2　利用函数的奇偶性与单调 性比较大小 问题　结合奇函数与偶函数的图象特点，想一想：如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？ 提示：奇函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递减；偶函数在(－2，－1)上单调递减，则在(1，2)上单调递增． [新知生成]　【链接教材P101复习参考题3T9】 (1)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)． (2)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f (x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反． (3)若f (x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值M，则f (x)在[－b，－a]上有最小值－M． (4)若f (x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值N，则f (x)在[－b，－a]上有最大值N． 【教材原题·P101复习参考题3T9】 (1)已知奇函数f (x)在[a，b]上单调递减，那么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？ (2)已知偶函数g(x)在[a，b]上单调递减，那么它在[－b，－a]上单调递增还是单调递减？ [解]　(1)奇函数f (x)在[－b，－a]上单调递减，证明如下：∀x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2， 则a≤－x2＜－x1≤b． 因为f (x)在[a，b]上单调递减， 所以f (－x2)＞f (－x1)． 又f (x)为奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，于是－f (x2)＞－f (x1)，即f (x1)＞f (x2)． 所以f (x)在[－b，－a]上单调递减． (2)偶函数g(x)在[－b，－a]上单调递增， 证明如下：∀x1，x2∈[－b，－a]，且x1＜x2，则a≤－x2＜－x1≤b． 因为g(x)在[a，b]上单调递减，所以g(－x2)＞g(－x1)． 又g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)． 于是g(x1)＜g(x2)． 所以g(x)在[－b，－a]上单调递增． [典例讲评]　2．设偶函数f (x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是(　　) A．f (π)＞f (－3)＞f (－2) B．f (π)＞f (－2)＞f (－3) C．f (－2)>f (－3)>f (π) D．f (－3)>f (－2)＞f (π) A　[由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞)时，f (x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f (x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π， ∴f (π)＞f (－3)＞f (－2)，故选A．] [母题探究]　(1)若将本例中的“单调递增”改为“单调递减”，其他条件不变，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系如何？ (2)若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，比较这三个数的大小． [解]　(1)因为f (x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f (2)>f (3)>f (π)．又因为f (x)是R上的偶函数，所以f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，从而有f (－2)>f (－3)>f (π)． (2)因为f (x)为定义在R上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x)在R上是增函数， 因为－3<－2<π， 所以f (－3)<f (－2)<f (π)． 　比较函数值大小的求解策略 (1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小． (2)若自变量不在同一个单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，然后利用单调性比较大小． [学以致用]　2．函数y＝f (x)在[0，2]上单调递增，且函数f (x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f (1)<f <f B．f <f (1)<f C．f <f <f (1) D．f <f (1)<f B　[∵函数f (x＋2)是偶函数， ∴函数f (x)的图象关于直线x＝2对称， ， 又f (x)在[0，2]上单调递增， ∴f <f (1)<f ， 即f <f (1)<．故选B．] 探究3　利用函数的奇偶性与单调性解不等式 [典例讲评]　3．已知定义在[－2，2]上的函数f (x)在[0，2]上单调递减，且f (1－m)<f (m)． (1)若f (x)是奇函数，求m的取值范围； (2)若f (x)是偶函数，求m的取值范围． [解]　(1)若f (x)是奇函数，则f (x)在[－2，2]上单调递减，由f (1－m)<f (m)得 解得m∈，故m的取值范围为． (2)若f (x)是偶函数，因为f (x)在[0，2]上单调递减，故f (x)在[－2，0]上单调递增， 由f (1－m)<f (m)得f (|1－m|)<f (|m|)， 故解得m∈， 故m的取值范围为． 　利用函数的奇偶性与单调性解不等式的策略 (1)结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f (x1)<f (x2)或f (x1)>f (x2)的形式． (2)利用单调性“脱去”函数的符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题． 提醒：利用偶函数的性质f (x)＝f (|x|)可以避免讨论，简化计算，同时注意函数自身定义域对参数的影响． [学以致用]　3．(1)已知偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0，若f (x－1)>0，则x的取值范围是________． (2)已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，则不等式xf (x)>0的解集是________． (1)(－1，3)　(2)(－5，0)∪(0，5)　[(1)∵f (x)为偶函数， ∴f (x－1)＝f (|x－1|)， 又f (2)＝0，f (x－1)>0， ∴f (|x－1|)>f (2)． ∵|x－1|∈[0，＋∞)，2∈[0，＋∞)，且f (x)在[0，＋∞)上单调递减， ∴|x－1|<2，即－2<x－1<2， ∴x的取值范围为(－1，3)． (2)依题意，函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (x)在(0，＋∞)上单调递减，f (－5)＝0，由此画出f (x)的大致图象如图所示，由图可知，xf (x)>0的解集是(－5，0)∪(0，5)． ] 1．已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝2x2＋a－1，则f (a)＝(　　) A．－2 　 B．2 C．0 　 D．4 A　[因为f (x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f (x)＝2x2＋a－1， 所以f (0)＝a－1＝0，解得a＝1， 所以当x≤0时，f (x)＝2x2， 所以f (a)＝f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＝－2． 故选A．] 2．(教材P86习题3.2T11改编)已知函数f (x)在R上为偶函数，且当x≥0时，f (x)＝x＋1，则当x<0时，f (x)的解析式是(　　) A．f (x)＝x－1 　 B．f (x)＝x＋1 C．f (x)＝－x＋1 　 D．f (x)＝－x－1 C　[当x<0时，－x>0，所以f (－x)＝－x＋1， 由于f (x)是偶函数，所以f (x)＝f (－x)＝－x＋1． 故选C．] 3．(多选)已知f (x)在R上为偶函数，且有f (3)>f (1)，则下列各式中一定成立的是(　　) A．f (－1)<f (3) 　 B．f (1)<f (－3) C．f (3)>f (2) 　 D．f (2)>f (0) AB　[∵f (x)为偶函数，∴f (－3)＝f (3)，f (－1)＝f (1)，又f (3)>f (1)，∴f (－3)>f (1)，f (3)>f (－1)都成立．] 4．已知函数f (x)在R上单调递减，且为奇函数，若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围为________． [1，3]　[由题知f (－1)＝－f (1)＝1， 所以f (1)≤f (x－2)≤f (－1)， 又f (x)在R上单调递减， 所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3．] 1．知识链： 2．方法链：转化法、数形结合法． 3．警示牌：利用奇偶性求函数的解析式时，因转化混乱导致求解错误． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．若奇函数f (x)在原点处有定义，则f (0)为定值吗？若f (x)为偶函数呢？ [提示]　若f (x)为奇函数，且在原点处有定义，则f (0)＝0； 若f (x)为偶函数，则无法判断该值的大小． 2．如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上的单调性如何？ 如果偶函数g(x)在区间(a，b)上单调递减，那么g(x)在(－b，－a)上的单调性如何？ [提示]　如果奇函数f (x)在区间(a，b)上单调递增，那么f (x)在(－b，－a)上单调递增；如果偶函数g(x)在区间(a，b)上单调递减，那么g(x)在(－b，－a)上单调递增． 3．若奇函数f (x)在(－∞，0]上单调递增，且f (a)>f (b)，则a，b的大小关系如何？若f (x)为偶函数呢？ [提示]　奇函数时，a>b；偶函数时，|a|<|b|． 课时分层作业(二十三)　奇偶性的应用 一、选择题 1．设函数f (x)＝若f (x)是奇函数，则g(－2)等于(　　) A．－1 　 B．0 C．1 　 D．2 B　[由已知可得g(－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－(22－2×2)＝0．] 2．定义在R上的偶函数f (x)满足f (2)＝0，且在区间[0，＋∞)上单调递增，则不等式f (x)＜0的解集为(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C．(－2，2) D．(0，2) C　[因为f (x)为偶函数，f (2)＝0，且f (x)在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以f (－2)＝0，f (x)在(－∞，0]上单调递减， 所以不等式f (x)＜0的解集为(－2，2)． 故选C．] 3．若偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，则a＝，b＝f 的大小关系是(　　) A．b＜a＜c 　 B．b＜c＜a C．a＜c＜b 　 D．c＜a＜b C　[由f (x)为偶函数，得a＝f (－)＝f ()． 又＜＜，f (x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴f ()＜f ＜f ，即a＜c＜b．] 4．如果偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，那么f (x)在[－5，－2]上(　　) A．单调递减且最小值是4 B．单调递减且最大值是4 C．单调递增且最小值是4 D．单调递增且最大值是4 C　[偶函数f (x)在[2，5]上单调递减且最小值是4，所以f (5)＝4，则f (x)在[－5，－2]上单调递增且最小值为f (－5)＝4．故选C．] 5．(教材P101复习参考题3T12改编)已知函数f (x)＝x－的部分图象如图所示，则(　　) A．f (x)的定义域为R B．f (x)的值域为(0，＋∞) C．f (x)在区间(－∞，0)上单调递减 D．f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞) D　[对于选项A：显然函数f (x)＝x－x≠0}，故A错误； 对于选项B：由题图可知f (x)可以为负值，所以f (x)的值域不为(0，＋∞)，故B错误； 因为f (－x)＝－x－＝－f (x)，可知f (x)为奇函数． 对于选项C：由题图可知f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 则f (x)在区间(－∞，0)上单调递增，故C错误； 对于选项D：因为f (x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 且f (1)＝0，此时f (x)＞0的解集为(1，＋∞)； 又因为f (x)在区间(－∞，0)上单调递增， 且f (－1)＝－f (1)＝0，此时f (x)＞0的解集为(－1，0)． 综上所述，f (x)＞0的解集为(－1，0)∪(1，＋∞)，故D正确．故选D．] 二、填空题 6．若f (x)是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则函数f (x)的解析式可以为________．(写出符合条件的一个即可) f (x)＝－x2(答案不唯一)　[举例f (x)＝－x2，则f (x)的定义域为R，f (－x)＝－(－x)2＝－x2＝f (x)， 故f (x)为偶函数，易知f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故f (x)在上单调递减，符合条件．] 7．若f (x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是________． f (－2)<f (1)<f (0)　[当m＝1时，f (x)＝6x＋2，不符合题意； 当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称， ∴m＝0，∴f (x)＝－x2＋2， ∴f (x)在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． 又0<1<2，∴f (0)>f (1)>f (2)＝f (－2)．] 8．已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f (x)＝________，g(x)＝________． x2－2　x　[ f (－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f (x)是偶函数，g(x)是奇函数得，f (x)－g(x)＝x2－x－2，又f (x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f (x)＝x2－2，g(x)＝x．] 三、解答题 9．(源自湘教版教材)设g(x)是定义在[－5，5]上的函数，且f (x)＝g(x)＋g(－x)，讨论f (x)的奇偶性；如果在[0，5]上，f (x)＝1－2x，试求f (x)在[－5，0]上的解析式． [解]　因为g(x)的定义域为[－5，5]， 所以f (x)＝g(x)＋g(－x)的定义域也为[－5，5]， 又f (－x)＝g(－x)＋g(－(－x)) ＝g(－x)＋g(x) ＝f (x)， 所以f (x)为偶函数， 当x∈[－5，0]时，－x∈[0，5]， 由偶函数的性质得f (x)＝f (－x)＝1－2(－x)＝1＋2x． 10．定义在R上的偶函数f (x)在[0，＋∞)上单调递增，若f (a)<f (b)，则一定可得(　　) A．a<b 　 B．a>b C．|a|<|b| 　 D．0≤a<b或a>b≥0 C　[∵f (x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增， ∴由f (a)<f (b)可得|a|<|b|．故选C．] 11．已知定义域为R的函数f (x)在[2，＋∞)上单调递减，且f (x＋2)是奇函数，则f (1)，f ，f (3)的大小关系是(　　) A．f ＜f (1)＜f (3) B．f (1)＜f (3)＜f C．f (3)＜f (1)＜f D．f (3)＜f ＜f (1) D　[因为f (x＋2)是奇函数，所以f (x)的图象关于(2，0)对称，且在[2，＋∞)上单调递减，所以f (x)在(－∞，2)上单调递减，又因为f (x)定义域为R，所以f (2)＝0，所以f (x)在R上连续且单调递减，由于1＜＜3，所以f (3)＜f ＜f (1)．故选D．] 12．已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0]上单调递增．若f (－3)＝0，则<0的解集为________． (－3，0)∪(3，＋∞)　[ 结合题意，画出f (x)草图如图所示， 由<0可知：当x<0时， f (x)>0，此时x∈(－3，0)，当x>0时，f (x)<0，此时x∈(3，＋∞)．故所求不等式的解集是(－3，0)∪(3，＋∞)．] 13．定义在R上的奇函数f (x)为减函数，若a＋b≤0，给出下列不等式： ①f (a)·f (－a)≤0； ②f (a)＋f (b)≤f (－a)＋f (－b)； ③f (b)·f (－b)≥0； ④f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)． 其中正确的是________(填序号)． ①④　[因为f (x)为奇函数， 所以f (－x)＝－f (x)， 所以f (a)·f (－a)＝f (a)·[－f (a)]＝≤0，f (b)·f (－b)＝f (b)·[－f (b)]＝－[ f (b)]2≤0，所以①正确，③错误； 因为a＋b≤0，所以a≤－b，b≤－a， 因为f (x)在R上为减函数， 所以f (a)≥f (－b)，f (b)≥f (－a)， 所以f (a)＋f (b)≥f (－a)＋f (－b)， 所以②错误，④正确． 故填①④．] 14．已知y＝f (x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，且f (x)<0，试问F(x)＝在(－∞，0)上单调递增还是单调递减？证明你的结论． [解]　F(x)在(－∞，0)上单调递减．证明如下： ∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2， 则有－x1>－x2>0． 因为y＝f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (x)<0， 所以f (－x2)<f (－x1)<0，① 又因为f (x)是奇函数， 所以f (－x2)＝－f (x2)，f (－x1)＝－f (x1)，② 由①②得f (x2)>f (x1)>0． 于是F(x1)－F(x2)＝>0， 即F(x1)>F(x2)， 所以F(x)＝在(－∞，0)上单调递减． 15．已知f (x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a，b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有>0成立． (1)判断f (x)在[－1，1]上的单调性，并证明； (2)解不等式：f <f ． [解]　(1)f (x)在[－1，1]上单调递增．证明如下： ∀x1，x2∈[－1，1]，且x1<x2，则－x2∈[－1，1]． ∵f (x)为奇函数， ∴f (x1)－f (x2)＝f (x1)＋f (－x2)＝·(x1－x2)． 由已知得>0，又x1－x2<0， ∴f (x1)－f (x2)<0，即f (x1)<f (x2)． ∴f (x)在[－1，1]上单调递增． (2)∵f (x)在[－1，1]上单调递增， ∴≤x<－1． 故原不等式的解集为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$