3.2.2 第1课时 奇偶性的概念-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦高中数学函数奇偶性的概念，系统梳理从图象特征观察（偶函数关于y轴对称、奇函数关于原点对称）到函数值关系归纳（自变量互为相反数时函数值相等或相反），再到抽象出定义（定义域关于原点对称及f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)），最终通过定义判断与图象应用的完整学习支架，衔接函数性质的整体认知。 通过“问题初探-图象观察-数据归纳-定义抽象”的探究链，融合直观想象（图象特征分析）、数学抽象（符号语言表述定义）与逻辑推理（奇偶性判定步骤）。如探究1借助函数图象和表格数据引导学生自主发现规律，典例讲评结合教材原题与变式训练（如偶函数改奇函数的母题探究），课中助力教师引导学生深度参与概念形成，课后分层作业（基础判断与综合应用）帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学思维能力。

3.2.2　奇偶性 第1课时　奇偶性的概念 [学习目标]　1．理解奇函数、偶函数的定义．(数学抽象) 2．了解奇函数、偶函数图象的特征．(直观想象) 3．掌握判断函数奇偶性的方法．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．奇函数与偶函数的定义是什么？ 问题2．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 问题3．奇、偶函数的图象有什么特征？ 探究1　函数奇偶性的概念 问题1　观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？ 提示：两个函数的图象都关于y轴对称． 问题2　不妨取自变量的一些特殊值，观察问题1中两个函数的自变量x互为相反数时，函数值之间具有什么关系？如何利用符号语言精确地描述这种关系？ x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f (x)＝－x2 … －9 －4 －1 0 －1 －4 －9 … g(x)＝2＋|x| … 5 4 3 2 3 4 5 … 提示：当自变量x任取一对相反数时，相应的两个函数值相等，即∀x∈R，f (－x)＝f (x)． 问题3　观察函数f (x)＝－x和g(x)＝－的图象： (1)你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？ (2)你能用符号语言精确地描述这两个函数图象的特征吗？ 提示：(1)两个函数的图象都关于原点O(0，0)成中心对称图形． (2)当自变量x任取一对相反数时，相应的函数值f (x)也是一对相反数．即∀x∈R，f (－x)＝－f (x)． [新知生成] 1．偶函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数． (2)图象特征：图象关于y轴对称． 2．奇函数 (1)定义：一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f (－x)＝－f (x)，那么函数f (x)就叫做奇函数． (2)图象特征：图象关于原点对称． 【教用·微提醒】　(1)奇、偶函数定义域的特点 由于f (x)和f (－x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称． (2)奇、偶函数的对应关系的特点 ①奇函数有f (－x)＝－f (x)⇔f (－x)＋f (x)＝0⇔＝－1( f (x)≠0)； ②偶函数有f (－x)＝f (x)⇔f (－x)－f (x)＝0⇔＝1( f (x)≠0)． [典例讲评]　【链接教材P84例6】 1．(源自苏教版教材)判定下列函数是否为偶函数或奇函数： (1)f (x)＝x2－1；(2)f (x)＝2x； (3)f (x)＝2|x|；(4)f (x)＝(x－1)2． [解]　(1)函数f (x)＝x2－1的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f (x)， 所以函数f (x)＝x2－1是偶函数． (2)函数f (x)＝2x的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝2(－x)＝－2x＝－f (x)， 所以函数f (x)＝2x是奇函数． (3)函数f (x)＝2|x|的定义域是R． 因为对于任意的x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝2|－x|＝2|x|＝f (x)， 所以函数f (x)＝2|x|是偶函数． (4)函数f (x)＝(x－1)2的定义域是R． 因为f (1)＝0，f (－1)＝4， 所以f (1)≠f (－1)，f (1)≠－f (－1)． 因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数f (x)＝(x－1)2既不是奇函数，也不是偶函数． 【教材原题·P84例6】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x4；(2)f (x)＝x5； (3)f (x)＝x＋；(4)f (x)＝． [解]　(1)函数f (x)＝x4的定义域为R． 因为∀x∈R，都有－x∈R，且 f (－x)＝(－x)4＝x4＝f (x)， 所以，函数f (x)＝x4为偶函数． (2)函数f (x)＝x5的定义域为R． 因为∀x∈R，都有－x∈R，且 f (－x)＝(－x)5＝－x5＝－f (x)， 所以，函数f (x)＝x5为奇函数． (3)函数f (x)＝x＋x≠0}． 因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且 f (－x)＝－x＋＝－f (x)， 所以，函数f (x)＝x＋为奇函数． (4)函数f (x)＝x≠0}． 因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}，且 f (－x)＝＝f (x)， 所以，函数f (x)＝为偶函数． 　判断函数奇偶性的2种方法 (1)定义法： (2)图象法： [学以致用]　【链接教材P85练习T2】 1．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝x3＋x； (2)f (x)＝＋； (3)f (x)＝； (4)f (x)＝ [解]　(1)函数的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R． 且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f (x)， 因此函数f (x)是奇函数． (2)由得x2＝1，即x＝±1． 因此函数的定义域为{－1，1}，因为∀x∈{－1，1}，都有－x∈{－1，1}，且f (1)＝f (－1)＝－f (－1)＝0，所以f (x)既是奇函数又是偶函数． (3)函数f (x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，因为∀x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， －x∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)不成立，所以f (x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)函数f (x)的定义域为{x|x≠0}， 因为∀x∈{x|x≠0}，都有－x∈{x|x≠0}． f (－x)＝ 即f (－x)＝ 于是有f (－x)＝－f (x)． 所以f (x)为奇函数． 【教材原题·P85练习T2】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝2x4＋3x2； (2)f (x)＝x3－2x． [解]　(1)函数f (x)＝2x4＋3x2的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R，且f (－x)＝2(－x)4＋3(－x)2＝2x4＋3x2＝f (x)，所以，函数f (x)为偶函数． (2)函数f (x)＝x3－2x的定义域为R，因为∀x∈R，都有－x∈R， f (－x)＝(－x)3－2(－x)＝－x3＋2x， 则f (－x)＝－f (x)， 所以，函数f (x)为奇函数． 探究2　奇、偶函数的图象及应用 [典例讲评]　【链接教材P85练习T1、T3】 2．已知函数y＝f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f (x)＝x2＋2x．现已画出函数f (x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f (x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f (x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f (x)<0的x的取值集合． [解]　(1)由题意作出函数图象如图： (2)据图可知，单调递增区间为(－1，0)，(1，＋∞)． (3)据图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(0，2)． [母题探究]　若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？ [解]　(1)由题意作出函数图象，如图所示． (2)由图可知，单调递增区间为(－1，1)． (3)由图可知，使f (x)<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2，＋∞)． 1．【教材原题·P85练习T1】已知f (x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整． [解]　因为奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，所以补充后图象如图所示． 2．【教材原题·P85练习T3】(1)从偶函数的定义出发，证明函数y＝f (x)是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称； (2)从奇函数的定义出发，证明函数y＝f (x)是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称． [证明]　(1)充分性：若y＝f (x)的图象关于y轴对称，设M(x0，f (x0))为图象上任意一点，则M关于y轴对称的点M′(－x0，f (x0))仍在该图象上，即f (－x0)＝f (x0)，所以y＝f (x)为偶函数． 必要性：若y＝f (x)为偶函数，设M(x0，f (x0))为f (x)图象上任意一点，M关于y轴对称的点 为M′(－x0，f (x0))，由于f (x)为偶函数，所以f (x0)＝f (－x0)，所以M′(－x0，f (x0))在f (x)的图象上，所以f (x)的图象关于y轴对称． (2)充分性：若y＝f (x)的图象关于原点对称，设M(x0，f (x0))为其图象上任意一点，则M关于原点对称的点M′(－x0，－f (x0))仍在该图象上，所以f (－x0)＝－f (x0)，所以y＝f (x)为奇函数． 必要性：若y＝f (x)为奇函数，设M(x0，f (x0))为其图象上任意一点，则M关于原点对称的点为M′(－x0，－f (x0))，由于y＝f (x)为奇函数，所以－f (x0)＝f (－x0)，所以M′(－x0，－f (x0))仍在y＝f (x)的图象上，所以y＝f (x)的图象关于原点对称． 　巧用奇、偶函数的图象求解问题 (1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称． (2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题． [学以致用]　2．定义在[－3，－1]∪[1，3]上的函数f (x)是奇函数，其部分图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f (x)的图象； (2)比较f (1)与f (3)的大小． [解]　(1)由于f (x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示． (2)观察图象，知f (3)<f (1)． 【教用·备选题】　定义在R上的奇函数f (x)在[0，＋∞)上的图象如图所示． (1)请在坐标系中补全函数f (x)的图象； (2)解不等式xf (x)>0． [解]　(1)先描出(1，1)，(2，0)关于原点的对称点(－1，－1)，(－2，0)，连线可得f (x)的图象如图． (2)xf (x)>0即图象上横坐标、纵坐标同号．结合图象可知，xf (x)>0的解集是(－2，0)∪(0，2)． 探究3　利用奇偶性求参数值 [典例讲评]　3．(1)若函数f (x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________． (2)已知f (x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f (－2)＝10，则f (2)＝________． (1)　0　(2)－26　[(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝． 又函数f (x)＝x2＋bx＋b＋1为偶函数， 结合偶函数图象的特点，易得b＝0． (2)令h(x)＝x5＋ax3＋bx，易知h(x)为奇函数． 因为f (x)＝h(x)－8，h(x)＝f (x)＋8， 所以h(－2)＝f (－2)＋8＝18． h(2)＝－h(－2)＝－18， 所以f (2)＝h(2)－8＝－18－8＝－26．] 　利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数：奇、偶函数的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数． (2)解析式含参数：根据f (－x)＝－f (x)或f (－x)＝f (x)列式，比较系数即可求解． [学以致用]　3．(1)若函数f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝(　　) A．1 　 B．2 C．3 　 D．0 (2)若f (x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________． (1)D　(2)4　[(1)∵f (x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，∴f (－x)＝f (x)对于任意的x∈R都成立． ∴f (－1)＝f (1)，即2－|a－3|＝2－|a＋3|，解得a＝0．当a＝0时，经检验，满足题意．故选D． (2)法一：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f (－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4． 法二：f (x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函数，只需f (x)的图象关于y轴对称，即a－4＝0，则a＝4． 法三：由函数f (x)＝0得x1＝－a，x2＝4，由于f (x)是偶函数，∴4－a＝0，∴a＝4．] 1．函数y＝f (x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．－1 　 B．0 C．1 　 D．无法确定 C　[∵奇函数的定义域关于原点对称， ∴a－1＝0，即a＝1．] 2．下列图象表示的函数具有奇偶性的是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D B　[B选项的图象关于y轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性．故选B．] 3．(多选)下列函数是奇函数的是 (　　) A．y＝x(x∈[0，1]) 　 B．y＝x2＋1 C．y＝ 　 D．y＝x|x| CD　[利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f (－x)＝－f (x)，排除选项B．故选CD．] 4．若f (x)是R上的偶函数，且f (－2)<f (1)，比较大小：f (2)________f (－1)．(填“>”“<”) <　[因为f (x)是R上的偶函数， 则f (2)＝f (－2)<f (1)＝f (－1)， 所以f (2)<f (－1)．] 1．知识链： 2．方法链：特值法、数形结合法． 3．警示牌：易忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．具有奇偶性的函数，其定义域、图象和解析式各有什么特点？ [提示]　(1)定义域特点：关于原点对称； (2)图象特点：偶函数图象关于y轴对称；奇函数图象关于原点对称； (3)解析式特点：偶函数满足f (－x)＝f (x)或f (x)－f (－x)＝0，奇函数满足f (－x)＝－f (x)或f (x)＋f (－x)＝0． 2．判断函数奇偶性的常用方法有哪些？ [提示]　定义法和图象法． 课时分层作业(二十二)　奇偶性的概念 一、选择题 1．下列函数是奇函数的是(　　) A．f (x)＝x2＋5 　 B．f (x)＝x3－1 C．f (x)＝x3＋ 　 D．f (x)＝x4＋2x2 C　[对于A，因为f (x)＝x2＋5的定义域为R，且f (－x)＝(－x)2＋5＝x2＋5＝f (x)， 所以f (x)＝x2＋5为偶函数； 对于B，因为f (x)＝x3－1的定义域为R，且f (－x)＝(－x)3－1＝－x3－1≠－f (x)， 所以f (x)＝x3－1不是奇函数； 对于C，因为f (x)＝x3＋的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (－x)＝(－x)3＋＝－f (x)，所以f (x)＝x3＋为奇函数； 对于D，因为f (x)＝x4＋2x2的定义域为R，且f (－x)＝(－x)4＋2(－x)2＝x4＋2x2＝f (x)，所以f (x)＝x4＋2x2为偶函数．故选C．] 2．若函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝(　　) A．0 　 B．1 C．－2 　 D．－3 A　[因为函数y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则有f (0)＝0， 又f (－1)＝－f (1)，所以f (－1)＋f (1)＝0，则f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0．故选A．] 3．函数f (x)是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f (x)＝－1，则f (－1)＝(　　) A．－1 　 B．1 C．－3 　 D．3 A　[因为f (x)是R上的奇函数，所以f (－x)＝－f (x)，且当x＞0时，函数的解析式为f (x)＝－1，所以f (－1)＝－f (1)＝－＝－1．故选A．] 4．函数f (x)＝|x＋1|－|x－1|的图象关于(　　) A．原点对称 　 B．x轴对称 C．y轴对称 　 D．点(1，0)对称 A　[根据题意，函数f (x)＝|x＋1|－|x－1|，其定义域为R，有f (－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f (x)，则f (x)为奇函数，其图象关于原点对称．故选A．] 5．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常根据函数的解析式来思考函数的图象特征，则函数f (x)＝的大致图象是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D A　[ f (x)＝x≠±1}，且f (－x)＝＝－f (x)，故f (x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD，且当x＞1时，f (x)＞0，当0＜x＜1时，f (x)＜0，排除B．故选A．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝ax3＋＋1，若f (2)＝3，则f (－2)＝________． －1　[令g(x)＝f (x)－1＝ax3＋，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称，则g(－x)＝a(－x)3＋＝－g(x)， 则g(x)为奇函数， ∴g(－2)＝－g(2)＝－[ f (2)－1]＝－2， ∴f (－2)－1＝－2，∴f (－2)＝－1．] 7．设a为常数，函数f (x)＝x2－2x＋3，若f (x＋a)为偶函数，则a＝________． 1　[ f (x)＝x2－2x＋3， f (x＋a)＝(x＋a)2－2(x＋a)＋3＝x2＋(2a－2)x＋a2－2a＋3， 因为f (x＋a)为偶函数， 所以f (x＋a)的图象关于y轴对称， 故2a－2＝0，解得a＝1．] 8．已知函数y＝f (x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f (x)＝0的所有实根之和是________． 0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．] 三、解答题 9．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x)＝x4－3x2； (2)f (x)＝． [解]　(1)f (x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称． 又f (－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f (x)， ∴f (x)＝x4－3x2是偶函数． (2)由 得－1≤x＜0或0＜x≤1， ∴f (x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称， ∴f (x)＝． 又f (－x)＝＝－f (x)，故f (x)为奇函数． 10．已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f (－1)＋g(1)＝2，f (1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(　　) A．4 　 B．3 C．2 　 D．1 B　[因为f (－1)＝－f (1)，g(－1)＝g(1)，代入条件等式再相加，得g(1)＝3． 故选B．] 11．(多选)已知f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，且g(x)≠0，则(　　) A．f (x)＋g(x)是奇函数 B．f (x)－g(x)是奇函数 C．f (x)g(x)是奇函数 D．是奇函数 CD　[∵f (x)是奇函数，∴f (－x)＝－f (x)； ∵g(x)是偶函数，∴g(－x)＝g(x)； 对于A，∵f (－x)＋g(－x)＝－f (x)＋g(x)≠－[ f (x)＋g(x)]， ∴f (x)＋g(x)不是奇函数，A错误； 对于B， ∵f (－x)－g(－x)＝－f (x)－g(x)≠－[ f (x)－g(x)]， ∴f (x)－g(x)不是奇函数，B错误； 对于C，∵f (－x)g(－x)＝－f (x)g(x)， ∴f (x)g(x)是奇函数，C正确； 对于D，∵，∴是奇函数，D正确． 故选CD．] 12．设偶函数f (x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f (x)的图象如图所示，则不等式f (x)<0的解集是________． {x|－5≤x<－2或2<x≤5}　[因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x)<0的解集． 因为当x∈[0，5]时，f (x)<0的解集为{x|2<x≤5}， 所以当x∈[－5，0]时，f (x)<0的解集为{x|－5≤x<－2}． 所以f (x)<0的解集是{x|－5≤x<－2或2<x≤5}．] 13．已知函数f (x)＝，若f (a)＝，则f (－a)＝________． 　[根据题意，f (x)＝， 而h(x)＝是奇函数，∴f (a)＝1＋h(a)， 故f (－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a) ＝2－f (a)＝2－．] 14．已知函数f (x)＝，令g(x)＝f ． (1)已知f (x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据； (2)求证：f (x)＋g(x)＝1(x≠0)． [解]　(1)∵f (x)＝， ∴f (x)的定义域为R．又对任意x∈R， 都有f (－x)＝＝f (x)，∴f (x)为偶函数，故f (x)的图象关于y轴对称，其图象如图所示， (2)证明：∵g(x)＝f (x≠0)， ∴f (x)＋g(x)＝＝1， 即f (x)＋g(x)＝1(x≠0)． 15．已知函数f (x)对一切实数x，y都有f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， (1)求证：f (x)是奇函数； (2)若f (－3)＝a，试用a表示f (12)． [解]　(1)证明：由已知f (x＋y)＝f (x)＋f (y)， 令y＝－x得f (0)＝f (x)＋f (－x)， 令x＝y＝0得f (0)＝2f (0)， 所以f (0)＝0． 所以f (x)＋f (－x)＝0， 即f (－x)＝－f (x)， 故f (x)是奇函数． (2)由(1)知f (x)为奇函数． 所以f (－3)＝－f (3)＝a， 所以f (3)＝－a． 又f (12)＝f (6)＋f (6)＝2f (3)＋2f (3)＝4f (3)， 所以f (12)＝－4a． [点评]　证明抽象函数的奇偶性，关键是建立f (x)与f (－x)间的正负关系，求证时要先依据题设条件“f (x＋y)＝f (x)＋f (y)”对变量x，y赋值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$