1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学习目标]　 1．掌握空间向量运算的坐标表示．(数学运算) 2．掌握空间两点间的距离公式，并会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．(数学运算、逻辑推理) 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何用坐标来表示空间向量的运算？ 问题2．如何用坐标来表示空间向量平行和垂直的条件、模和夹角的计算公式？ 问题3．空间两点间的距离公式是什么？ 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 探究建构 关键能力达成 探究1　空间向量的坐标运算 问题1　你能类比平面向量运算的坐标表示得出空间向量运算的坐标表示吗？若能，请尝试证明． [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 证明如下：设{i，j，k}为空间的一个单位正交基底，则a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，所以a±b＝(a1±b1)i＋(a2±b2)j＋(a3±b3)k＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)， λa＝λ(a1i＋a2j＋a3k)＝λa1i＋λa2j＋λa3k＝(λa1，λa2，λa3)， a·b＝(a1i＋a2j＋a3k)·(b1i＋b2j＋b3k)＝a1b1＋a2b2＋a3b3 (由数量积的分配律及i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0得)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [新知生成] 1．设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b (a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa (λa1，λa2，λa3) 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝___________________． 即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标____起点坐标． (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 减去 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)运用公式可以简化运算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2． (2)向量线性运算的结果仍是向量；数量积的结果为数量． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [典例讲评]　1．在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5)． (1)求顶点B，C的坐标； (2)求； (3)若点P在AC上，且＝，求点P的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　(1)设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)， 所以＝(x－2，y＋5，z－3)， ＝(x1－x，y1－y，z1－z)． 因为＝(4，1，2)， 所以 解得 所以点B的坐标为(6，－4，5)． 因为＝(3，－2，5)， 所以 解得 所以点C的坐标为(9，－6，10)． (2)因为＝(－7，1，－7)， 所以＝－21－2－35＝－58． (3)设P(x2，y2，z2)， 则＝(x2－2，y2＋5，z2－3)，＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 于是有(x2－2，y2＋5，z2－3)＝(9－x2，－6－y2，10－z2)， 所以 解得 故点P的坐标为． 反思领悟　空间向量坐标运算的规律 (1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标：把向量或点的坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　1．已知向量a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a·(2b－c)＝(　　) A．12 B．－12 C．9 D．－9 √ A　[2b－c＝2×(2，0，3)－(0，0，2)＝(4，0，4)， 则a·(2b－c)＝(2，－3，1)·(4，0，4)＝8＋4＝12． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求点P的坐标，使： (1)＝)；(2)＝)． [解]　(1)∵＝(2，6，－3)，＝(－4，3，1)， ∴＝(6，3，－4)． ＝×(6，3，－4)＝，则点P的坐标为． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 (2)设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x－2，y＋1，z－2)． ∵)＝＝，∴x＝5，y＝，z＝0， 则点P的坐标为． 探究2　空间向量平行、垂直的坐标表示及应用 问题2　设平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？对于空间向量是不是也有类似的结论？ [提示]　a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．对于空间向量也有类似结论． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [新知生成] 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔___________________________ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔_____________________ (a，b均为非零向量) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)要证明a⊥b，就是证明a·b＝0；要证明a∥b，就是证明a＝λb(b≠0)． (2)当b的坐标中b1，b2，b3都不等于0时，a与b平行的条件还可以表示为a∥b⇔＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 考向1　由平行、垂直关系求参数 [典例讲评]　2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以点D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E， B(1，1，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1)，D(0，0，0)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a，1)，因为3＝， 所以3(a－1，a－1，0)＝(－a，－a，0)，所以3a－3＝－a，解得a＝，所以点P的坐标为．由题意可设点Q的坐标为(b，b，0)，因为PQ⊥AE，所以＝0，所以＝0，即－＝0，解得b＝，所以点Q的坐标为．因为＝λ，所以(－1，－1，0)＝λ，所以＝－1，故λ＝－4． 1．若本例中删掉3＝，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ [解]　以点D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体棱长为1，点Q的坐标为(c，c，0)，因为B1Q⊥EQ，所以＝0，所以(c－1，c－1，－1)·＝0，即c(c－1)＋c(c－1)＋＝0，4c2－4c＋1＝0，解得c＝，所以点Q的坐标为，所以点Q是线段BD的中点，所以＝－2，故λ＝－2． [母题探究] 1．若本例中删掉3＝，将“PQ⊥AE”改为“B1Q⊥EQ”，其他条件不变，结果如何？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．本例中，若点G是A1D的中点，点H在平面Dxy上，且GH∥BD1，试判断点H的位置． [解]　以点D为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1， 因为点G是A1D的中点，所以点G的坐标为， 因为点H在平面Dxy上， 设点H的坐标为(m，n，0)，因为＝＝(－1，－1，1)，且GH∥BD1，所以＝＝，解得m＝1，n＝． 所以点H的坐标为，所以点H为线段AB的中点． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 反思领悟　判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　3．已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)． (1)若(p＋q)∥(p－q)，求a，b的值； (2)若|r|＝且(p－2q)⊥(p－r)，求a，c的值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　(1)已知p＝(1，1，a)(a＞0)，q＝(2，b，1)，r＝(c，1，0)(c＞0)， 则p＋q＝(3，1＋b，a＋1)，p－q＝(－1，1－b，a－1)，∵(p＋q)∥(p－q)， ∴ 解得a＝，b＝2． (2)由题意得，p－2q＝(－3，1－2b，a－2)，p－r＝(1－c，0，a)， ∵|r|＝且(p－2q)⊥(p－r)， ∴ 解得a＝2，c＝1． 考向2　向量的平行、垂直关系在立体几何证明中的应用 [典例讲评]　【链接教材P20例2】 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD和A1C1的中点． 求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH； (2)A1G⊥平面EFD． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [证明]　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)．由中点坐标公式，得E，F，G，H． (1)＝(1，0，1)，＝，＝． 因为＝2＝1×＋1×＝0， 所以∥⊥，即⊥EH． (2)＝＝，＝． 因为＝＋0＝0， ＝＋0－＝0， 所以⊥⊥，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE， 因为DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD． 【教材原题·P20例2】 例2　如图1.3-8，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证EF⊥DA1． [分析]　要证明EF⊥DA1，只要证明⊥，即证＝0．我们只要用坐标表示，并进行数量积运算即可． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [证明]　不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz，则 E，F，所以＝． 又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，所以＝(1，0，1)． 所以＝·(1，0，1)＝0． 所以⊥，即EF⊥DA1． 反思领悟　利用向量的坐标运算证明平行或垂直，要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　4．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [证明]　(1)如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为，(0，0，1)． ∴＝． 又点A，M的坐标分别是(，0)，， ∴＝．∴＝．又NE与AM不共线， ∴NE∥AM． 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE． (2)由(1)知＝．∵D(，0，0)，F(，1)， ∴＝(0，，1)，∴＝0，∴⊥，即AM⊥DF． 同理，⊥，即AM⊥BF． 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF． 探究3　夹角和距离的计算 问题3　我们已经知道||＝是点A(a1，a2，a3)到原点O(0，0，0)的距离．如图所示，设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，你能猜想出这两点之间的距离公式吗？为什么？ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [提示]　由|OA|＝|| ＝＝， 可以类比猜想得出|P1P2| ＝||＝． 通过推理可以得出其正确性：因为＝＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，所以||＝． [新知生成] 1．空间两点间的距离公式：设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，P1P2＝||＝． 2．空间向量的夹角公式：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 cos 〈a，b〉＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 【教用·微提醒】　(1)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，cos θ＝|cos 〈〉|． (2)求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算公式． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [典例讲评]　【链接教材P21例3】 4．(源自湘教版教材)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：EF⊥CF； (2)求CE的长； (3)求EF与CG所成角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以D为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G． (1)证明：＝＝． 因为＝×0＝0， 所以⊥，即EF⊥CF． (2)因为＝，所以||＝＝． (3)由＝及(1)得 ＝×1＋×0＋＝． 又||＝＝，||＝＝， 所以cos 〈〉＝＝＝． 因此EF与CG所成角的余弦值为． 【教材原题·P21例3】 例3　如图1.3-9，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1，F1分别在棱A1B1，C1D1上，B1E1＝A1B1，D1F1＝C1D1． (1)求AM的长． (2)求BE1与DF1所成角的余弦值． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [分析]　(1)利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点A，M的坐标，利用空间两点间的距离公式求出AM的长．(2)BE1与DF1所成的角就是所成的角或它的补角．因此，可以通过的坐标运算得到结果． [解]　(1)建立如图1.3-9所示的空间直角坐标系Oxyz，则点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为．于是 AM＝＝． (2)由已知，得 B(1，1，0)，E1，D(0，0，0)，F1， 所以＝－(1，1，0)＝， ＝－(0，0，0)＝， ||＝，||＝． 所以＝0×0＋＋1×1＝． 所以cos 〈〉＝＝＝． 所以，BE1与DF1所成角的余弦值是． 发现规律　用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题的基本思路是什么？ [提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标，用向量表示相关元素； (3)通过向量的坐标运算求夹角和距离． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [学以致用]　5．(源自北师大版教材)如图所示，三棱柱ABC-A′B′C′中，侧棱与底面垂直，CA＝CB＝1，∠BCA＝，棱AA′＝2，点M，N分别是A′B′和A′A的中点． (1)求||； (2)求cos 〈〉的值； (3)求证：⊥． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 [解]　如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (1)由题意，得B(0，1，0)，N(1，0，1)． 则＝(1，－1，1)， ||＝＝． (2)由题意，得B(0，1，0)，C(0，0，0)，A′(1，0，2)，B′(0，1，2)． 因为＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)， 所以||＝＝，||＝＝， ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3， cos 〈〉＝＝＝． 故cos 〈〉的值为． (3)证明：由题意，得A′(1，0，2)，B(0，1，0)，C′(0，0，2)，M． 因为＝(－1，1，－2)，＝， 所以＝(－1)×＋1×＋(－2)×0＝0，即⊥． 应用迁移 随堂评估自测 1．(教材P22练习T3改编)在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的，则点C的坐标为(　　) A．(0，－2，0) B．(0，－1，0) C．(0，1，0) D．(0，2，0) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 C　[在y轴上有一点C到点A(1，0，2)的距离是到点B(2，－3，2)的，设C(0，a，0)， 可得＝， 解得a＝1，所以点C的坐标为(0，1，0)． 故选C．] 2．已知点B(3，－1，0)，＝(－2，－5，3)，则点A的坐标为 (　　) A．(1，－6，3) B．(5，4，－3) C．(－1，6，－3) D．(2，5，－3) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 B　[设点A(x，y，z)，则＝(3－x，－1－y，－z)， 又因为＝(－2，－5，3)， 所以解得 所以A(5，4，－3)． 故选B．] 3．已知空间向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，若a·b＝ －3，则a与b的夹角为(　　) A． C． √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 C　[由于向量a＝(－1，m，2)，b＝(－1，2，－1)，a·b＝1＋2m－2＝－3，则m＝－1．故a＝(－1，－1，2)，b＝(－1，2，－1)，设a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝－，由于0≤θ≤π，故θ＝． 故选C．] 4．与a＝(2，－1，2)共线且满足a·b＝－9的向量b＝________________． (－2，1，－2)　[∵a与b共线，∴可设b＝λa， ∴a·b＝a·λa＝λ·a2＝λ·|a|2＝λ·()2＝9λ＝－9， ∴λ＝－1．∴b＝－a＝(－2，1，－2)．] (－2，1，－2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 1．知识链： 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．方法链：直接法，类比、转化，待定系数法． 3．警示牌：(1)由两向量共线直接得到两向量对应坐标的比相等． (2)求异面直线所成的角时易忽略范围，讨论向量夹角易忽略向量共线的情况． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．如何用空间向量的坐标运算表示平行、垂直、模及夹角？ [提示]　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)， 则当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； 当a≠0，b≠0时，a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝；cos 〈a，b〉＝＝． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 2．如何用空间向量的坐标运算来研究平行、垂直、夹角和距离？ [提示]　(1)根据条件建立适当的空间直角坐标系； (2)求出相关点的坐标，用向量表示相关元素； (3)通过向量的坐标运算研究平行、垂直、夹角和距离． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 一、选择题 1．已知a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)，若a·b＝1，则t＝(　　) A．－　　　　B．－4　　　　C．4　　　　D． 课时分层作业(六)　空间向量运算的坐标表示 √ B　[因为a＝(1，2，2)，b＝(1，4，t)， 所以a·b＝1＋8＋2t＝1，解得t＝－4．故选B．] 64 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 2．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A(2，－1，1)，B(1，1，2)，若点C与点B关于平面Ozx对称，则||＝(　　) A． C． √ A　[因为点B(1，1，2)，又点C与点B关于平面Ozx对称，可得C(1，－1，2)， 则向量＝(－1，0，1)，所以||＝＝． 故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 65 3．(多选)已知向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝(0，1，3) B．|a|＝3 C．a·b＝2 D．cos 〈a，b〉＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 66 AD　[对于A，∵向量a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)， ∴a＋b＝(0，1，3)，故A正确； 对于B，|a|＝＝，故B错误； 对于C，a＝(1，1，1)，b＝(－1，0，2)， 由数量积的定义得a·b＝1×(－1)＋1×0＋1×2＝1，故C错误； 对于D，|b|＝＝， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝，故D正确．故选AD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 67 4．已知a＝(1－t，2－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为 (　　) A． C． √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 68 D　[由题意得a－b＝(－1－t，2－2t，0)， ∴|a－b|＝ ＝＝， 当且仅当t＝时取等号，∴|a－b|的最小值为． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 69 √ 5．已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，2，2)，在直线OB上有一点H满足AH⊥OB，则点H的坐标为(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 70 D　[由题意知：＝(－1，1，0)，＝(0，2，2)， 设＝λ＝(0，2λ，2λ)(λ∈R)，∴＝＝(1，2λ－1，2λ)，∵AH⊥OB，∴＝0＋2(2λ－1)＋4λ＝0，解得λ＝， ∴＝，又O(0，0，0)，∴H．故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 71 二、填空题 6．已知a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2，则|a|＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[因为a＝(2，x，－1)，b＝(1，2，0)，a·b＝2， 所以2＋2x＝2，解得x＝0， 所以|a|＝＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 72 7．已知向量a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)，若a⊥(a＋λb)，则实数λ的值为________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 　[因为a＝(－1，2，3)，b＝(1，－2，－1)， 则a2＝(－1)2＋22＋32＝14，a·b＝(－1)×1＋2×(－2)＋3×(－1)＝－8， 因为a⊥(a＋λb)， 所以a·(a＋λb)＝a2＋λa·b＝14－8λ＝0， 解得λ＝，所以实数λ的值为．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 73 8．在空间直角坐标系中已知A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)，CD为△ABC的边AB上的高，则CD＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 3　[因为A(1，2，1)，B(1，0，2)，C(－1，1，4)， 则＝(－2，－1，3)，＝(0，－2，1)， 故＝5，||＝，||＝， 在方向上的投影为＝＝， 因为CD为△ABC的边AB上的高，则在Rt△ADC中，CD＝＝3.] 3 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 74 三、解答题 9．已知向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，a∥b，b⊥c. (1)求向量a，b，c； (2)求向量a＋c与b＋c所成角θ的余弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 75 [解]　(1)∵向量a＝(x，1，2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3，1，z)，且a∥b，b⊥c， ∴解得x＝－1，y＝－1，z＝1，∴向量a＝(－1，1，2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3，1，1)． (2)∵a＋c＝(2，2，3)，b＋c＝(4，0，－1)， ∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5， |a＋c|＝＝， ∴a＋c与b＋c所成角的余弦值为cos θ＝. 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 76 10．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥BP C．BC＝ D．AP⊥BC 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 77 ACD　[因为＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)， 对于A，由＝－2×1＋1×(－2)＋4×1＝0，所以⊥，即AP⊥AB，选项A正确； 对于B，由＝＝(3，－3，－3)，可得＝3×1＋(－3)×(－2)＋(－3)×1＝6≠0， 所以与不垂直，即AP与BP不垂直，选项B错误； 对于C，由＝＝(6，1，－4)，可得||＝＝， 即BC＝，选项C正确； 对于D，由＝1×6＋(－2)×1＋1×(－4)＝0，所以⊥，即AP⊥BC，选项D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 78 11．(多选)已知向量a＝(1，1，－1)，b＝(1，－1，)，则(　　) A．向量c＝是与向量a方向相反的单位向量 B．|a|＝|b| C．向量a，b的夹角的大小为 D．若向量m＝(3，1，－2)＝xa＋yb(x，y为实数)，则x－y＝－1 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 79 AC　[对于A，因为a＝(1，1，－1)，c＝，所以a＝ －c，且|c|＝＝1，选项A正确； 对于B，由|a|＝＝，|b|＝＝2，得|a|＝|b|，选项B错误； 对于C，由a·b＝1－1－＝－，得cos 〈a，b〉＝＝＝ －，可得向量a，b的夹角的大小为，选项C正确； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 80 对于D，由m＝xa＋yb，即(3，1，－2)＝x(1，1，－1)＋y(1， －1，)， 即解得x＝2，y＝1，所以x－y＝1，选项D错 误．故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 81 12．已知空间向量a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)，c＝(x，4，z)． (1)若(a＋2b)⊥c，且x＝2，则z＝________； (2)若a，b，c共面，在以下三个条件中①x＝1，②x＝0，③x＝－2选取一个作为已知，则z的值可以为 _____________________________ _________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 －22或－12或8(写出其中任意一 个即可) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 82 (1)　(2)－22或－12或8(写出其中任意一个即可)　[(1)当x＝2时，c＝(2，4，z)， 因为a＝(－1，2，4)，b＝(1，－4，2)， 所以a＋2b＝(1，－6，8)， 因为(a＋2b)⊥c，所以(a＋2b)·c＝1×2－6×4＋8z＝0， 解得z＝． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 83 (2)因为a，b，c共面， 所以由空间向量基本定理可知，c＝λa＋μb， 选①x＝1，则(1，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故解得z＝－22． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 84 选②x＝0，则(0，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故解得z＝－12． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 85 选③x＝－2，则(－2，4，z)＝(－λ，2λ，4λ)＋(μ，－4μ，2μ)＝(－λ＋μ，2λ－4μ，4λ＋2μ)， 故解得z＝8． 综上所述，z的值可以为－22或－12或8．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 86 13．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点． (1)求AC与PB所成角的余弦值； (2)在侧面PAB内找一点N， 使NE⊥平面PAC，求N点的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 87 [解]　(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E，从而＝(，1，0)，＝(，0，－2)． 设与所成的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝． ∴AC与PB所成角的余弦值为． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 88 (2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，则＝， 由NE⊥平面PAC，可得 即化简得∴ 即N点的坐标为时，NE⊥平面PAC． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 89 14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD．在四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°．设AB＝AP，在线段AD上是否存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.2　空间向量运算的坐标表示 90 [解]　∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD． ∵AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直． ∴以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD． 在Rt△CDE中，DE＝CD·cos 45°＝1，CE＝CD·sin 45°＝1． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 91 设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，P(0，0，t)． 由AB＋AD＝4，得AD＝4－t， ∴E(0，3－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)． 假设在线段AD上存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则＝(1，3－t－m，0)，＝(0，4－t－m，0)，＝(0，－m，t)，＝(t，－m，0)． 由||＝||，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m．① 由||＝||，得(4－t－m)2＝m2＋t2．② 由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0．③ 由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 92 $$