3.2.1 第1课时 函数的单调性-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数单调性的概念、判断与证明及单调区间求法，从直观感知函数图象变化趋势入手，引导学生抽象出单调性定义，再通过含绝对值函数、参数范围等问题实现知识应用，构建“观察-抽象-应用”的学习支架。 资料通过函数图象观察培养数学抽象（如从y=x²左右侧升降抽象出定义），定义证明步骤（取值、作差等）强化逻辑推理，典例与教材习题结合提升应用能力。课中辅助教师分层教学，课后学生可回顾定义、练习证明与求区间，有效查漏补缺。

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 [学习目标]　1．能借助函数图象理解函数在某区间上单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念．(数学抽象) 2．理解函数在某区间上具有(严格的)单调性和单调区间的概念．(数学抽象) 3．能运用定义法证明函数的单调性．(逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．单调递增(或递减)和增函数、减函数的概念是什么？ 问题2．函数的单调性和单调区间有什么关系？ 问题3．如何证明函数的单调性？ 探究1　直观感知函数的单调性 问题1　观察下面三个函数的图象，从左向右图象的变化趋势是怎样的？这反映了相应函数值的哪些变化规律？ 提示：函数y＝x的图象从左向右看是上升的，相应函数值随着自变量的增大而增大；函数y＝－x＋1的图象从左向右看是下降的，相应函数值随着自变量的增大而减小；函数y＝x2的图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，在y轴右侧部分从左到右是上升的，相应函数值随着自变量的增大先减小后增大． 问题2　反映在数量关系上，如何理解图象是上升的？针对函数y＝x的图象的特征，你能用数学符号语言刻画吗？ 提示：当自变量x的值增大时，对应的函数值y随之增大，任意取x1，x2∈[0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)． [新知生成] 函数的单调性 (1)一般地，设函数f (x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＜f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递增． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果∀x1，x2∈I，当x1＜x2时，都有f (x1)＞f (x2)，那么就称函数f (x)在区间I上单调递减． 特别地，当函数f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数． (2)函数的单调区间：如果函数y＝f (x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f (x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f (x)的单调区间． 【教用·微提醒】　定义中x1，x2有三个特征： ①x1，x2属于同一个区间； ②任意性，x1与x2不能用I上的特殊值代替； ③有序性，通常规定x1<x2． [典例讲评]　1．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间． [解]　y＝－x2＋2|x|＋3＝ 函数图象如图所示． 函数在(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，函数在[－1，0)，[1，＋∞)上单调递减，所以函数的单调递增区间是(－∞，－1]和[0，1)，单调递减区间是[－1，0)和[1，＋∞)． [母题探究]　将本例函数换为“f (x)＝x2－4|x|＋3，x∈R”，画出f (x)的图象并根据图象写出它的单调区间． [解]　f (x)＝x2－4|x|＋3＝函数图象如图所示． 由图象可知，函数f (x)的单调递增区间为[－2，0)，[2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－2)，[0，2)． 　求函数单调区间的方法 (1)若所给函数是常见的一次函数、二次函数、反比例函数等，可根据其单调性写出函数的单调区间． (2)若所给函数不是上述函数但函数图象容易作出，可先作出其图象，然后根据图象写出其单调区间． 提醒：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”连接或用“，”分开． [学以致用]　【链接教材P86习题3.2T2】 1．画出函数y＝|x|(x－2)的图象，并指出函数的单调区间． [解]　y＝|x|(x－2) ＝ 函数的图象如图实线部分所示． 由函数的图象知，函数的单调递增区间为(－∞，0]和[1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)． 【教材原题·P86习题3.2T2】画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y＝f (x)的单调区间及在每一单调区间上的单调性． (1)y＝x2－5x－6； (2)y＝9－x2． [解]　(1)函数y＝x2－5x－6的图象如图(1)所示． 由图象可知，单调区间有，． 其中y＝f (x)在区间上单调递减，在区间上单调递增． (2)函数y＝9－x2的图象如图(2)所示． 由图象可知，单调区间有(－∞，0]，(0，＋∞)． 其中y＝f (x)在区间(－∞，0]上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减． 探究2　利用定义证明函数的单调性 [典例讲评]　【链接教材P78例1、例2】 2．证明函数f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． [证明]　∀x1，x2∈(0，1)，且x1<x2， 有f (x1)－f (x2)＝＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)·， ∵0<x1<x2<1， ∴x1－x2<0，0<x1x2<1，则－1＋x1x2<0， ∴>0，即f (x1)>f (x2)， ∴f (x)＝x＋在区间(0，1)上单调递减． 【教材原题·P78例1、例2】 例1　根据定义，研究函数f (x)＝kx＋b(k≠0)的单调性． 分析：根据函数单调性的定义，需要考察当x1<x2时，f (x1)<f (x2)还是f (x1)>f (x2)．根据实数大小关系的基本事实，只要考察f (x1)－f (x2)与0的大小关系． [解]　函数f (x)＝kx＋b(k≠0)的定义域是R．∀x1，x2∈R，且x1<x2，则 f (x1)－f (x2)＝(kx1＋b)－(kx2＋b) ＝k(x1－x2)． 由x1<x2，得x1－x2<0．所以 ①当k>0时，k(x1－x2)<0．于是 f (x1)－f (x2)<0， 即f (x1)<f (x2)． 这时，f (x)＝kx＋b是增函数． ②当k<0时，k(x1－x2)>0．于是 f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)． 这时，f (x)＝kx＋b是减函数． 例2　物理学中的玻意耳定律p＝(k为正常数)告诉我们，对于一定质量的气体，当其温度不变时，体积V减小，压强p将增大．试对此用函数的单调性证明． 分析：根据题意，只要证明函数p＝(V∈(0，＋∞))是减函数即可． [证明]　∀V1，V2∈(0，＋∞)，且V1<V2，则 p1－p2＝． 由V1，V2∈(0，＋∞)，得V1V2>0； 由V1<V2，得V2－V1>0． 又k>0，于是 p1－p2>0， 即p1>p2． 所以，根据函数单调性的定义，函数p＝，V∈(0，＋∞)是减函数．也就是说，当体积V减小时，压强p将增大． 　利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2． (2)作差变形：作差f (x1)－f (x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的式子． (3)定号：确定f (x1)－f (x2)的符号． (4)结论：根据f (x1)－f (x2)的符号及定义判断单调性． 提醒：作差变形是证明函数单调性的关键，且变形的结果一般是几个因式乘积的形式． [学以致用]　【链接教材P79练习T2、T3、T4】 2．用定义证明函数f (x)＝在区间[0，＋∞)上单调递减． [证明]　∀x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2， 则f (x1)－f (x2)＝ ＝， 由0≤x1<x2，则x2－x1>0，x2＋x1>0， 且＋1>0， ∴f (x1)－f (x2)>0， 即f (x1)>f (x2)， ∴f (x)在区间[0，＋∞)上单调递减． 1．【教材原题·P79练习T2】根据定义证明函数f (x)＝3x＋2是增函数． [证明]　∀x1，x2∈R，且x1＜x2，则f (x1)－f (x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)． ∵x1＜x2，∴x1－x2＜0，∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)． ∴函数f (x)＝3x＋2在R上是增函数． 2．【教材原题·P79练习T3】证明函数f (x)＝在区间(－∞，0)上单调递增． [证明]　∀x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝－． ∵x1，x2∈(－∞，0)，∴x1x2＞0． 又x1＜x2，∴x1－x2＜0． ∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)． ∴函数f (x)＝－在区间(－∞，0)上单调递增． 3．【教材原题·P79练习T4】画出反比例函数y＝的图象． (1)这个函数的定义域D是什么？ (2)它在定义域D上的单调性是怎样的？证明你的结论． [解]　令y＝f (x)＝．当k＞0时，图象如图(1)．当k＜0时，图象如图(2)． (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)当k＞0时， f (x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减． 当k＜0时， f (x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． 证明如下：当k＞0时，∀x1，x2∈(－∞，0)且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝． ∵∀x1，x2∈(－∞，0)，x1＜x2， ∴x1x2＞0，x2－x1＞0， ∴f (x1)－f (x2)＞0， 即f (x1)＞f (x2)． ∴当k＞0时，f (x)＝在(－∞，0)上单调递减，类似地，可以证明其他三种情况． 探究3　函数单调性的简单应用 [典例讲评]　3．(1)已知函数f (x)＝ 在R上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．[－5，0)　　　 B．(－∞，－2) C． 　 D．(－∞，0) (2)已知f (2x－3)>f (5x－6)，若函数f (x)在R上单调递增，则实数x的取值范围为________；若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则实数x的取值范围为________． (1)C　(2)(－∞，1)　　[(1)由题意，x∈R， 在f (x)＝中，函数单调递增， ∴解得－5≤a≤－2．故选C． (2)若f (x)在R上单调递增， 且f (2x－3)>f (5x－6)， 则2x－3>5x－6，即x<1． ∴实数x的取值范围为(－∞，1)． 若函数f (x)是定义在(0，＋∞)上的减函数， 则 解得x>， ∴实数x的取值范围为．] 　由函数单调性求参数范围的方法 (1)由函数解析式求参数 (2)利用抽象函数单调性求范围 ①依据：定义在[m，n]上的增(减)函数中函数值与自变量的关系f (a)<f (b)⇔ ②方法：依据函数单调性去掉符号“f ”，转化为不等式问题求解． 提醒：涉及分段函数的单调性时，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小． [学以致用]　【链接教材P100复习参考题3T4】 3．(1)已知函数f (x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是(　　) A．f (－1)＜f (1)＜f (2) B．f (1)＜f (2)＜f (－1) C．f (2)＜f (1)＜f (－1) D．f (1)＜f (－1)＜f (2) (2)已知f (x)是定义在(－1，1)上的减函数，且f (1－m)＞f (2m－1)，则m的取值范围是________． (1)C　(2)　[(1)因为该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以f (x)在(－∞，2]上单调递减，因为2>1>－1， 所以f (2)<f (1)<f (－1)． (2)由题意知 解得<m<1．] 【教用·备选题】　已知函数f (x)＝x－在(1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围． [解]　∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则x1x2>1． 因为函数f (x)在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x1)－f (x2)＝x1－＝(x1－x2)<0． 因为x1－x2<0， 所以1＋>0， 即a>－x1x2． 因为1<x1<x2，x1x2>1， 所以－x1x2<－1，所以a≥－1． 所以a的取值范围是[－1，＋∞)． 【教材原题·P100复习参考题3T4】已知函数f (x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围． [解]　函数f (x)为一元二次函数，其图象的对称轴为直线x＝． 当≤5，即k≤40时，f (x)在[5，20]上单调递增； 当≥20，即k≥160时，f (x)在[5，20]上单调递减． 综上可知，k的取值范围为(－∞，40]∪[160，＋∞)． 1．(教材P85习题3.2T1改编)函数y＝f (x)，x∈[－4，4]的图象如图所示，则f (x)的单调递增区间是(　　) A．[－4，4]　　 B．[－4，－3]∪[1，4] C．[－3，1] 　 D．[－3，4] C　[由题图知单调递增区间为[－3，1]．] 2．已知函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，则函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(　　) A．[－2，＋∞) 　 B．[2，＋∞) C．(－∞，2] 　 D．(－∞，－2] C　[∵函数f (x)＝ax＋1在R上单调递减，∴a＜0，∴g(x)＝a(x2－4x＋3)为图象开口向下的二次函数，其图象的对称轴方程为x＝2，∴g(x)在(－∞，2]上单调递增，即函数g(x)＝a(x2－4x＋3)的单调递增区间为(－∞，2]．故选C．] 3．(多选)下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)的定义域为(a，b)，若∀x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，f (x2)<f (x1)，则函数f (x)是(a，b)上的减函数 B．函数f (x)的定义域为(a，b)，若∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，f (x2)<f (x1)，则函数f (x)不是(a，b)上的增函数 C．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在(b，c]上也单调递增，则函数f (x)在[a，c]上单调递增 D．若函数f (x)在[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递增，则函数f (x)在[a，c]上单调递增 ABD　[由减函数的定义，知A说法正确； 对于B，∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，f (x1)>f (x2)，所以f (x)不是(a，b)上的增函数，B说法正确； 对于C，若f (x)＝则f (x)在[0，1]和(1，2]上均单调递增，但f (x)在[0，2]上不单调递增，C说法错误；对比C选项，D选项两区间有重合部分，正确．故选ABD．] 4．已知函数y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)<f (a－3)，则a的取值范围是________． (2，＋∞)　[∵y＝f (x)是定义在R上的增函数，且f (1－a)<f (a－3)，∴1－a<a－3，解得a>2，则a的取值范围为(2，＋∞)．] 1．知识链： 2．方法链：数形结合法． 3．警示牌：(1)函数的单调区间不能用并集． (2)分段函数的单调性易忽视临界值． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．若x1，x2是区间I上任意实数，且(x1－x2)·[ f (x1)－f (x2)]>0，则f (x)在I上是否具有单调性？ [提示]　f (x)在I上单调递增． 2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？ [提示]　定义法、图象法和基本初等函数法． 3．用定义证明一个函数的单调性常有哪些步骤？ [提示]　一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论． 4．在应用函数单调性解题时应注意什么？ [提示]　已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识， 如f (x)在I上单调递增，则f (x1)<f (x2)⇔x1<x2．二是数形结合意识，如处理一(二)次函数及反比例函数中的含参数的范围问题． 课时分层作业(二十)　函数的单调性 一、选择题 1．函数f (x)＝－的单调递增区间是(　　) A．(2，＋∞) 　 B．(－∞，2) C．(－∞，2)∪(2，＋∞) 　 D．(－∞，2)，(2，＋∞) D　[函数f (x)＝－x≠2}，又f (x)＝－的图象是由y＝－的图象向右平移2个单位长度得到的，且y＝－的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，所以f (x)＝－的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)．故选D．] 2．[0，3]是函数f (x)定义域内的一个区间，若f (1)＜f (2)，则函数f (x)在区间[0，3]上(　　) A．单调递增 B．单调递减 C．既单调递增又单调递减 D．单调性不确定 D　[由于仅知道f (1)<f (2)，不明确其他数值间的关系，故不具备单调性的判断条件．] 3．设f (x)是定义在R上的减函数，则(　　) A．f (a)>f (2a) B．f (a2)<f (a) C．f (a2＋a)<f (a) D．f (a2＋1)<f (a) D　[ f (x)是定义在R上的减函数，当a>0时，a<2a，f (a)>f (2a)， 当a≤0时，a≥2a，f (a)≤f (2a)，故A错误； 当a＝0或a＝1时，a2＝a，则f (a2)＝f (a)，故B错误； 当a＝0时，a2＋a＝a，则f (a2＋a)＝f (a)，故C错误； 由a2＋1>a，得f (a2＋1)<f (a)，故D正确．] 4．若f (x)＝在R上是减函数，则a的取值范围为(　　) A．[0，3] 　 B．[0，3) C．[1，3] 　 D．[1，3) D　[根据题意，若f (x)＝在R上是减函数，则有解得1≤a<3．故选D．] 5．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[ f (x1)－f (x2)]>0 C．若x1<x2，则f (a)<f (x1)<f (x2)<f (b) D．>0 ABD　[因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中，若x1<x2，则f (a)≤f (x1)<f (x2)≤f (b)，故C错误．] 二、填空题 6．已知函数f (x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时，f (x)单调递增，当x∈(－∞，－2)时，f (x)单调递减，则m＝________，f (1)＝______． －8　13　[∵函数f (x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间[－2，＋∞)上单调递增，∴＝－2， ∴m＝－8，即f (x)＝2x2＋8x＋3．∴f (1)＝13．] 7．已知函数f (x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是________． (－∞，1]　[因为函数f (x)在(－∞，－a]上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1．] 8．已知f (x)是定义在区间[－2，2]上的增函数，且f (x－2)<f (1－x)，则x的取值范围为________． 　[由题意，得 解得0≤x<， 所以满足题意的不等式的解集为．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x＋，且f (1)＝2． (1)求a； (2)根据定义证明函数f (x)在区间(1，＋∞)上单调递增； (3)在区间(1，＋∞)上，若函数f (x)满足f (a＋2)＞f (2a－1)，求实数a的取值范围． [解]　(1)∵f (1)＝2, ∴2＝1＋a，∴a＝1． (2)证明：∀x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2， 则f (x1)－f (x2)＝x1＋＝(x1－x2)， ∵x1＜x2，x1x2∈(1，＋∞)， ∴x1x2＞0，x1－x2＜0，x1x2－1＞0， ∴f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2), 故f (x)在(1，＋∞)上单调递增． (3)∵f (x)在(1，＋∞)上单调递增， f (a＋2)＞f (2a－1)， ∴解得1＜a＜3． ∴实数a的取值范围为(1，3)． 10．已知函数f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上是单调函数，则实数k的取值范围为(　　) A． B． C．(－∞，－8]∪[－2，＋∞) D．(－∞，2]∪[8，＋∞) D　[ f (x)＝x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝， 若f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递增，则≤1，解得k≤2， 若f (x)＝x2－kx－8在[1，4]上单调递减，则≥4，解得k≥8，所以实数k的取值范围为(－∞，2]∪[8，＋∞)． 故选D．] 11．已知函数f (x)＝若f (4－a)>f (a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) 　 B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) 　 D．(－2，＋∞) A　[画出f (x)的图象(图略)，可判断f (x)在R上单调递增，因为f (4－a)>f (a)，所以4－a>a，解得a<2．故选A．] 12．设函数f (x)＝，g(x)＝x2＋(m－1)x＋1，若函数f (x)与g(x)在(1，＋∞)上均单调递增，则实数m的取值范围为________． [－1，3)　[由函数f (x)＝在(1，＋∞)上单调递增，得m－3<0，解得m<3， 由函数g(x)＝x2＋(m－1)x＋1在(1，＋∞)上单调递增，得－≤1，解得m≥－1， 所以实数m的取值范围为－1≤m<3．] 13．已知f (x)＝在区间(－∞，－2)上单调递增，则a的取值范围是________． 　[ f (x)＝， 因为f (x)在区间(－∞，－2)上单调递增， 所以1－2a<0，即a>．] 14．定义在R上的函数f (x)，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，且f (3)＝2，求不等式f (x－1)≤2的解集． [解]　因为对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，都有>0，所以f (x)在R上单调递增． 因为f (3)＝2，所以由f (x－1)≤2可得f (x－1)≤f (3)，所以x－1≤3，得x≤4． 则f (x－1)≤2的解集为(－∞，4]． 15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f ＝f (x)－f (y)． (1)求f (1)的值； (2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集． [解]　(1)在f ＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0． (2)∵f (6)＝1，∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)， ∴f <f (6)． ∵f (x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴ 解得－3<x<9． 故不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集为{x|－3<x<9}． [点评]　求解本题把握以下三点： (1)f ＝f (x)－f (y)，x，y＞0； (2)赋值x＝y； (3)f (x)在(0，＋∞)上单调递增． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$