1.3.1 空间直角坐标系-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步课件（人教A版）

第一章 空间向量与立体几何 1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1　空间直角坐标系 [学习目标]　 1．了解空间直角坐标系．(数学抽象) 2．能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标．(数学运算) 1.3.1　空间直角坐标系 [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何类比平面直角坐标系，理解空间直角坐标系？ 问题2．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标是如何定义的？ 问题3．在空间直角坐标系中，坐标轴上的点的坐标有何特征？ 问题4．在空间直角坐标系中，点和向量的坐标的求解步骤是什么？ 1.3.1　空间直角坐标系 探究建构 关键能力达成 探究1　空间直角坐标系及点的坐标 问题1　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系？类似地，如何建立空间直角坐标系？ [提示]　在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，这样就建立了一个平面直角坐标系．类似地，在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}来建立空间直角坐标系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [新知生成] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：__________________，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz． x轴、y轴、z轴 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 (2)有关概念 坐标轴 ___轴、___轴、___轴 原点 点___ 坐标向量 i，j，k 坐标平面 Oxy平面、Oyz平面和Ozx平面，它们把空间分成___个部分 x y z O 八 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 (3)建系的常用规则 ①画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°． ②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_____的正方向，食指指向_____的正方向，如果中指指向_____的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． x轴 y轴 z轴 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 2．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝_______________．在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组_________________，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的_________，y叫做点A的__________，z叫做点A的___________． xi＋yj＋zk (x，y，z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 3．空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 【教用·微提醒】　(1)基向量满足：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0． (2)建立的坐标系一般为右手直角坐标系． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [典例讲评]　1．在棱长均为2a的正四棱锥P-ABCD中，建立恰当的空间直角坐标系． (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点的坐标； (2)写出棱PB的中点M的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　如图，连接AC，BD交于点O，连接PO． ∵四棱锥P-ABCD为正四棱锥，且棱长均为2a， ∴四边形ABCD为正方形，且PO⊥平面ABCD． ∴OA＝a， PO＝＝＝a． ∴以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． (1)正四棱锥P-ABCD中各顶点坐标分别为A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(－a，0，0)，D(0，－a，0)，P(0，0，a)． (2)∵M为棱PB的中点， ∴M，即M． [母题探究]　本例条件不变，写出棱PD的中点的坐标，写出AB的中点的坐标． [解]　设PD的中点为N，由(1)知N，即N， 设AB的中点为E，由(1)知E，即E． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 反思领悟　1．建立空间直角坐标系的原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内． (2)充分利用几何图形的对称性． 2．求某点M的坐标的方法 作MM′垂直于平面Oxy，垂足为M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即为点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为点M的竖坐标z，于是得到点M的坐标(x，y，z)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [学以致用]　1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M是点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影，则点M的坐标是(　　) A．(3，0，5)　　　　　 B．(0，4，5) C．(3，4，0) D．(0，0，5) √ C　[根据题意，点N(3，4，5)在坐标平面Oxy内的射影为(3，4，0)， 结合空间中点的坐标运算可得点M的坐标是(3，4，0)．故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 2．画一个正方体ABCD-A1B1C1D1，以A为坐标原点，棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，取正方体的棱长为单位长度． (1)求各顶点的坐标； (2)求棱CC1的中点M的坐标； (3)求四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　(1)由题意可知，A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)． (2)由(1)可知棱CC1的中点M的坐标为． (3)由(1)可知四边形AA1B1B的对角线的交点N的坐标为． 探究2　空间点的对称问题 [典例讲评]　2．(多选)下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1，2，3)的说法，正确的有(　　) A．线段OP的中点的坐标为 B．点P关于x轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3) C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，－3) D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3) √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 AD　[由题意可知线段OP的中点的坐标为，所以A中说法正确； 点P关于x轴对称的点的坐标为(1，－2，－3)，所以B中说法错误； 点P关于坐标原点对称的点的坐标为(－1，－2，－3)，所以C中说法错误； 点P关于Oxy平面对称的点的坐标为(1，2，－3)，所以D中说法正确．故选AD．] 发现规律　点P(x，y，z)关于坐标轴、坐标平面对称的点P′的坐标与点P的坐标有什么关系？ [提示]　关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反，如点(x，y，z)关于y轴的对称点为(－x，y，－z)，关于Ozx平面的对称点为(x， －y，z)． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [学以致用]　3．(多选)在空间直角坐标系中，点P的坐标为(－4，1，2)，则下列说法正确的是(　　) A．点P关于原点对称的点是(4，－1，－2) B．点P关于x轴对称的点是(4，1，2) C．点P关于Ozx平面对称的点是(－4，－1，2) D．点P关于点(1，1，1)对称的点是(－9，1，3) √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 AC　[在空间直角坐标系中，点P(－4，1，2)， 对于A，点P关于原点对称的点的坐标是P1(4，－1，－2)，A正确； 对于B，点P关于x轴对称的点的坐标是P2(－4，－1，－2)，B错误； 对于C，点P关于Ozx平面对称的点的坐标是P3(－4，－1，2)，C正确； 对于D，点P关于点(1，1，1)对称的点的坐标是P4(2－(－4)，2－1，2－2)，即P4(6，1，0)，D错误．故选AC．] 【教用·备选题】 1．已知点A(－2，3，4)，则点A关于原点的对称点的坐标为(　　) A．(2，3，4)　　　　 B．(－2，－3，4) C．(－2，3，－4) D．(2，－3，－4) √ D　[在空间直角坐标系Oxyz中，点A(－2，3，4)关于原点的对称点坐标为(2，－3，－4)．故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 2．在空间直角坐标系中，点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(　　) A．(－3，1，2)　　　 B．(－3，－1，2) C．(－2，1，3) D．(3，－1，－2) √ D　[点(3，1，－2)关于Ozx平面的对称点的坐标为(3，－1，－2)． 故选D．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 3．在空间直角坐标系中，O为原点，已知点P(1，2，－1)，A(0，1，2)，则(　　) A．点P关于点A的对称点为(2，3，－4) B．点P关于x轴的对称点为(1，－2，－1) C．点P关于y轴的对称点为(－1，2，1) D．点P关于Oxy平面的对称点为(1，－2，1) √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 C　[由中点坐标公式可知，点P(1，2，－1)关于点A(0，1，2)的对称点的坐标是(－1，0，5)，所以A不正确；点P关于x轴的对称点为(1，－2，1)，所以B不正确；点P关于y轴的对称点为(－1，2，1)，所以C正确； 点P关于Oxy平面的对称点为(1，2，1)，所以D不正确．故选C．] 探究3　空间向量的坐标 问题2　在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，＝xi＋yj，那么向量的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ [提示]　(x，y，z)　(x，y，z) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [新知生成] 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk．有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，可简记作a＝_____________． (x，y，z) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [典例讲评]　3．(源自湘教版教材)在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝4，AD＝2，AA′＝4，建立适当的空间直角坐标系． (1)求点C′的坐标； (2)求的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　(1)如图所示，以点A为原点，分别以的方向为正方向，均以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则 ＝4i，＝2j，＝4k， 又＝＝＝4i＋2j＋4k， 所以点C′的坐标为(4，2，4)． (2)因为＝4k，＝＝2j＋4k， 所以＝＝2j＋4k－4k＝2j， 因此＝(0，2，0)． 反思领悟　用坐标表示空间向量的步骤 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，＝4i＋0j＋0k＝(4，0，0)． ＝＝0i＋4j＋4k＝(0，4，4)． ＝＝ ＝－4i＋4j＋4k＝(－4，4，4)． [学以致用]　【链接教材P18例1(2)】 4．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 【教材原题·P18例1】 例1　如图1.3-6，在长方体OABC-D′A′B′C′中，OA＝3，OC＝4，OD′＝2，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． (1)写出D′，C，A′，B′四点的坐标； (2)写出向量的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 [解]　(1)点D′在z轴上，且OD′＝2，所以＝0i＋0j＋2k．所以点D′的坐标是(0，0，2)． 同理，点C的坐标是(0，4，0)． 点A′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，O，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，0，2，所以点A′的坐标是(3，0，2)． 点B′在x轴、y轴、z轴上的射影分别为A，C，D′，它们在坐标轴上的坐标分别为3，4，2，所以点B′的坐标是(3，4，2)． (2)＝＝0i＋4j＋0k＝(0，4，0)； ＝－＝0i＋0j－2k＝(0，0，－2)； ＝＝－3i＋4j＋0k＝(－3，4，0)； ＝＝－3i＋4j＋2k＝(－3，4，2)． 应用迁移 随堂评估自测 1．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标是(　　) A．(－1，2，3) B．(－1，－2，－3) C．(－1，2，－3) D．(1，－2，－3) √ B　[在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于y轴对称的点的坐标为(－1，－2，－3)．故选B．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 2．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为(　　) A．(3，5，4) B． C． √ C　[设点P在x轴、y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3(图略)，它们在坐标轴上的坐标分别是，5，4，故点P的坐标是．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 3．(教材P18练习T3改编)如图所示，在空间直角坐标系Oxyz中，已知长方体OABC-O′A′B′C′，OA＝3，OC＝4，OO′＝2，则点O′的坐标为__________，点A′的坐标为_________，点B′的坐标为__________． (0，0，2) (3，0，2) (3，4，2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 (0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)． 点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)． 点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．] (0，0，2)　(3，0，2)　(3，4，2)　[点O′在z轴上，且OO′＝2，则它的竖坐标为2，又它的横坐标和纵坐标都为0，所以点O′的坐标为(0，0，2)． 点A′在Ozx平面内，则它的纵坐标为0．点A′在x轴、z轴上的射影依次为点A、点O′，又OA＝3，OO′＝2，所以点A′的横坐标和竖坐标依次为3，2，即点A′的坐标为(3，0，2)． 点B′在x轴、y轴和z轴上的射影依次为点A、点C和点O′，所以点B′的坐标为(3，4，2)．] 4．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为___________，的坐标为___________． (1，0，0) (1，0，1) (1，0，0)　(1，0，1)　[由题图可知，设{}为单位正交基底{i，j，k}，则＝1i＋0j＋0k＝(1，0，0)，＝＝＝1i＋0j＋1k＝(1，0，1)．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 1．知识链： 2．方法链：数形结合、类比联想． 3．警示牌：不要混淆空间点的坐标和向量坐标的概念． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在空间几何图形中如何建立空间直角坐标系？ [提示]　(1)观察图形，寻找两两垂直的三条直线，必要时作辅助线． (2)让尽量多的点落在坐标轴或坐标平面内． (3)充分利用几何图形的对称性． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 2．如何确定空间一点P的坐标？ [提示]　先将P投射(沿与z轴平行的方向)到Oxy平面上的一点P1，由P1P的长度及与z轴正方向的异同确定竖坐标z，再在Oxy平面上同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x，纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z)． 3．如何求空间向量的坐标？ [提示]　在空间直角坐标系中，把向量用单位正交基底{i，j，k}表示，从而求出空间向量的坐标． 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 一、选择题 1．已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点A的坐标为(　　) A．(12，14，10) B．(10，12，14) C．(14，10，12) D．(4，2，3) 课时分层作业(五)　空间直角坐标系 √ A　[＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．] 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．已知点N与点M(1，－2，3)关于x轴对称，则点N的坐标为(　　) A．(1，2，－3) B．(－1，－2，3) C．(－1，－2，－3) D．(1，－2，－3) √ A　[依题意，点M(1，－2，3)关于x轴的对称点N(1，2，－3)．故选A．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 47 3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点，如图所示建系，则MN的中点的坐标为(　　) A．(2，3，3) B． C． D．(0，－1，－1) 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 48 B　[因为AB＝AD＝4，AA1＝2，M，N分别为A1C1，CD1的中点， 则A1(0，0，2)，C1(4，4，2)，C(4，4，0)，D1(0，4，2)， 故M(2，2，2)，N(2，4，1)，所以MN的中点的坐标为．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 49 4．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则C的坐标为(　　) A．(－2，0，－2) B．(2，0，2) C．(－1，2，－1) D．(0，－2，－2) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[∵A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点， ∴B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，故选C．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 50 5．(多选)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则(　　) A．点B1的坐标为(4，5，3) B．点C1关于点B对称的点为(5，8，－3) C．点A关于直线BD1对称的点为(0，5，3) D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0) √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 51 ACD　[由题图及已知可得：点B1的坐标为(4，5，3)，故A正确； 点C1(0，5，3)关于点B(4，5，0)对称的点为(8，5，－3)，故B错误； 长方体中，AD1＝BC1＝＝5＝AB， 所以四边形ABC1D1为正方形，AC1与BD1垂直且平分，即点A关于直线BD1对称的点为C1(0，5，3)，故C正确； 点C(0，5，0)关于平面ABB1A1对称的点为(8，5，0)，故D正确．故选ACD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 52 二、填空题 6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，向量b＝－5i＋2k用坐标形式可表示为_____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (－5，0，2)　[因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则有b＝－5i＋2k＝(－5，0，2)． 所以向量b＝－5i＋2k用坐标形式表示为(－5，0，2)．] (－5，0，2) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 53 7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知DA＝DC＝4，DD1＝3，连接A1B，B1C，如图，建立空间直角坐标系． 则的坐标为_________________，的坐标为_____________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (0，4，－3) (－4，0，－3) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 54 (0，4，－3)　(－4，0，－3)　[设i，j，k分别为方向上的单位向量，则＝＝＝4j－3k，＝＝－＝－4i－3k， 所以＝(0，4，－3)，＝(－4，0，－3)．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 55 8．三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为______________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 　[＝＝)－)＝，故＝．] 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 56 三、解答题 9．如图所示，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD，底面A1B1C1D1的中心，AB＝6，AA1＝4，M为B1B的中点，点N在C1C上，且C1N∶NC＝1∶3． (1)以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标； (2)以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系，求图中各点的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 57 [解]　(1)在正方形ABCD中，AB＝6，所以AC＝BD＝6，从而OA＝OC＝OB＝OD＝3． 所以各点坐标分别为A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(－3，0，0)，D(0，－3，0)，O(0，0，0)，O1(0，0，4)，A1(3，0，4)，B1(0，3，4)，C1(－3，0，4)，D1(0，－3，4)，M(0，3，2)，N(－3，0，3)． (2)由题意得A(6，0，0)，B(6，6，0)，C(0，6，0)，D(0，0，0)，A1(6，0，4)，B1(6，6，4)，C1(0，6，4)，D1(0，0，4)，O(3，3，0)，O1(3，3，4)，M(6，6，2)，N(0，6，3)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 58 10．在空间直角坐标系Oxyz中，若点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)，则a＋b＋c的值(　　) A．10 B．－17 C．－9 D．2 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 59 C　[点M(a，b＋3，2c＋1)关于y轴的一个对称点M′的坐标为(－4，－2，15)， 则解得a＝4，b＝－5，c＝－8，故a＋b＋c＝－9． 故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 60 11．设点M为不在坐标平面上的点．若点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1，M1关于坐标原点的对称点为M2，则M关于以下哪条坐标轴对称可以得到M2(　　) A．x轴 B．y轴 C．z轴 D．以上都不对 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 61 B　[设M(x，y，z)，点M关于坐标平面Ozx的对称点记为M1， 故M1(x，－y，z)，M1关于坐标原点的对称点为M2， 则M2(－x，y，－z)，M关于y轴对称得到M2，故ACD错误，B正确．故选B．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 62 12．(多选)已知单位向量i，j，k两两的夹角均为θ，若空间向量a满足a＝xi＋yj＋zk(x，y，z∈R)，则有序实数组(x，y，z)称为向量a在“仿射”坐标系Oxyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标，记作a＝(x，y，z)θ，则下列命题是真命题的有(　　) A．已知a＝(1，3，－2)θ，b＝(4，0，2)θ，则a·b＝0 B．已知a＝(x，y，0)，b＝(0，0，z)，其中x，y，z>0，则当且仅当x＝y时，向量a，b的夹角取得最小值 C．已知a＝(x1，y1，z1)θ，b＝(x2，y2，z2)θ，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ D．已知＝(1，0，0)＝(0，1，0)＝(0，0，1)，则三棱锥O-ABC的表面积S＝ √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 63 BC　[a·b＝(1，3，－2)θ·(4，0，2)θ＝(i＋3j－2k)·(4i＋2k)＝4＋2i·k＋12i·j＋6j·k－8k·i－4＝12cos θ， 因为0<θ<π，且θ≠，所以a·b≠0，故A错误；如图所示， 设＝b，＝a，则点A在平面Oxy上，点B在z轴上，由图 易知当x＝y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得 最小值，故B正确；根据“仿射”坐标的定义可得，a＋b＝(x1，y1，z1)θ＋(x2，y2，z2)θ＝(x1i＋y1j＋z1k)＋(x2i＋y2j＋z2k)＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j＋(z1＋z2)k＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)θ，故C正确；由已知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1，其表面积S＝4××12×＝，故D错误．故选BC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 64 13．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为____________；在基底{a＋b，a－b，c} 下的坐标为____________________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (1，1，1) 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 65 (1，1，1)　　[由题意知p＝2a＋b－c，则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1，1，1)．设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－ y)b＋zc．∵p＝2a＋b－c，∴解得x＝，y＝，z＝ －1，∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 66 14．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 67 [解]　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i，＝j，＝k，则＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)，＝＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1)． ＝＝ ＝i－j＋2k＝(1，－1，2)． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 68 15．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i，j，k分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量n＝xi＋yj＋zk，则n与有序实数组(x，y，z)相对应，称向量n的斜60°坐标为[x，y，z]，记作n＝[x，y，z]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 69 (1)若a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，求a＋b的斜60°坐标； (2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，N为线段D1C1的中点．如图，以{}为基底建立“空间斜60°坐标系”． ①求的斜60°坐标； ②若＝[2，－2，0]，求与夹角的余弦值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 应用迁移 探究建构 1.3.1　空间直角坐标系 70 [解]　(1)由a＝[1，2，3]，b＝[－1，1，2]，得a＝i＋2j＋3k，b＝－i＋j＋2k， 所以a＋b＝(i＋2j＋3k)＋(－i＋j＋2k)＝3j＋5k，所以a＋b＝[0，3，5]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 71 (2)设i，j，k分别为与同方向的单位向量， 则＝2i，＝2j，＝3k， ①＝＝＝2j＋3k－i＝－i＋2j＋3k， 所以＝[－1，2，3]． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 72 ②因为＝[2，－2，0]，所以＝2i－2j， 则||＝|2i－2j|＝＝＝＝2，因为||＝＝，所以＝(－i＋2j＋3k)·(2i－2j)＝4i·j＋6i·k－2i2－4j2－6k·j＋2i·j＝－3， 所以cos 〈〉＝＝＝－， 所以与的夹角的余弦值为－． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 73 $$