3.1.1 第2课时 函数的概念(二)-【名师导航】2026-2027学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

本讲义聚焦函数概念深化，核心涵盖区间表示、函数定义域与函数值求解、同一函数判定三大知识点。通过问题引导衔接数集区间表示，递进至函数定义域与函数值计算，最终落脚于同一函数的判定，构建“数集表示—函数要素—函数同一性”的逻辑学习支架。 资料以数学抽象与数学运算素养为核心，设计“问题初探”激活预习思维，“典例讲评”结合教材原题强化运算能力，如区间表示与定义域求解实例。含“微提醒”规避易错点，“分层作业”适配不同学情。课中助力教师系统授课，课后通过知识链梳理与分层练习，帮助学生巩固重点、查漏补缺，提升逻辑推理与数学应用能力。

第2课时　函数的概念(二) [学习目标]　1．会判断两个函数是否为同一个函数．(数学抽象) 2．能正确使用区间表示数集．(数学运算) 3．会求一些简单函数的定义域与函数值．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何用区间表示数集？ 问题2．同一个函数的定义是什么？ 问题3．求函数的定义域需要注意哪些问题？ 探究1　区间的概念 [新知生成] (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【教用·微提醒】　(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． (2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数． [典例讲评]　1．把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}；(2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}；(4) {x|－2<x≤2且x≠0}． [解]　(1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1，1)． (4){x|－2<x≤2且x≠0}＝(－2，0)∪(0，2]． 　用区间表示数集的关键点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． [学以致用]　1．(1)集合{x|0<x<1，或2≤x≤4}用区间表示为________． (2)已知区间(a2＋a＋1，7]，则实数a的取值范围是________． (1)(0，1)∪[2，4]　(2)(－3，2)　[(1){x|0<x<1，或2≤x≤4}＝(0，1)∪[2，4]． (2)由题意可知a2＋a＋1<7，即a2＋a－6<0， 解得－3<a<2， 所以实数a的取值范围是(－3，2)．] 探究2　求函数的定义域与函数值 [典例讲评]　【链接教材P65例2】 2．已知函数f (x)＝－． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f (－1)，f (12)的值； (3)当a>3时，求f (a)，f (a－1)的值． [解]　(1)根据题意知x－1≠0且x＋4≥0， 所以x≥－4且x≠1， 即函数f (x)的定义域为[－4，1)∪(1，＋∞)． (2)f (－1)＝－＝－3－． f (12)＝－＝－4＝－． (3)因为a>3，所以f (a)，f (a－1)有意义， f (a)＝－； f (a－1)＝－． 【教用·备选题】　(源自湘教版教材)已知定义域为R的函数f (x)＝x＋1和g(x)＝x2，计算下列各式： (1)f (2)＋g(3)； (2)f (a2)－g(a)； (3)f ( f ( f (0)))． [解]　(1)f (2)＋g(3)＝(2＋1)＋32＝3＋9＝12． (2)f (a2)－g(a)＝(a2＋1)－a2＝1． (3)因为f (0)＝0＋1＝1， 所以f ( f (0))＝f (1)＝1＋1＝2， 从而f ( f ( f (0)))＝f (2)＝2＋1＝3． 【教材原题·P65例2】 　例2　已知函数f (x)＝＋， (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f 的值； (3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值． 分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定．如果只给出解析式y＝f (x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合． [解]　(1)使根式有意义的实数x的集合是{x|x≥－3}，使分式有意义的实数x的集合是{x|x≠－2}．所以，这个函数的定义域是 {x|x≥－3}∩{x|x≠－2}＝{x|x≥－3，且x≠－2}， 即[－3，－2)∪(－2，＋∞)． (2)将－3与代入解析式，有 f (－3)＝＋＝－1； f ＝＋＝＋＝． (3)因为a>0，所以f (a)，f (a－1)有意义． f (a)＝＋； f (a－1)＝＋＝＋． 　1．求函数的定义域应关注三点 (1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么．函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0．②偶次根式的被开方数非负．③y＝x0要求x≠0． (2)不对解析式化简变形，以免定义域变化． (3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 2．函数求值的方法 (1)已知f (x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f (a)的值． (2)已知f (x)与g(x)，求f (g(a))的值应遵循由里往外的原则． [学以致用]　【链接教材P67练习T1、T2】 2．已知函数f (x)＝． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f ( f (0))的值． [解]　(1)由题意可得⇒x>－1且x≠2， 所以函数f (x)的定义域为(－1，2)∪(2，＋∞)． (2)f ( f (0))＝f (3)＝＝1－＝－． 【教用·备选题】　1．(1)函数y＝f (x)的定义域是[－1，3]，则y＝f (2x＋1)的定义域为________． (2)若函数y＝f (3x＋1)的定义域为[－2，4]，则y＝f (x)的定义域是(　　) A．[－1，1]　　　　　　　 　 B．[－5，13] C．[－5，1] 　 D．[－1，13] (1)[－1，1]　(2)B　[(1)令－1≤2x＋1≤3，解得－1≤x≤1， 所以y＝f (2x＋1)的定义域为[－1，1]． (2)由题意知，－2≤x≤4， 所以－5≤3x＋1≤13， 所以y＝f (x)的定义域是[－5，13]．故选B．] 2．已知函数f (x)＝． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f (－1)的值． [解]　(1)f (x)的定义域满足 故得－4≤x<1且x≠－2， 故函数f (x)的定义域为[－4，－2)∪(－2，1)． (2)f (－1)＝． 1．【教材原题·P67练习T1】求下列函数的定义域： (1)f (x)＝； (2)f (x)＝＋－1． [解]　(1)由4x＋7≠0，得x≠－， ∴函数的定义域为． (2)由1－x≥0，且x＋3≥0，得－3≤x≤1， ∴函数的定义域为[－3，1]． 2．【教材原题·P67练习T2】已知函数f (x)＝3x3＋2x． (1)求f (2)，f (－2)，f (2)＋f (－2)的值； (2)求f (a)，f (－a)，f (a)＋f (－a)的值． [解]　(1)f (2)＝28，f (－2)＝－28，f (2)＋f (－2)＝0． (2)f (a)＝3a3＋2a，f (－a)＝－(3a3＋2a)，f (a)＋f (－a)＝0． 探究3　同一个函数 问题1　构成函数的要素有哪些？ 提示：定义域、对应关系和值域． 问题2　函数y＝x与y＝|x|是同一个函数吗？ 提示：不是同一个函数，对应关系与值域分别不同． [新知生成] 　如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 【教用·微提醒】　(1)两个函数的定义域和值域相同，未必是同一个函数．如f 1(x) ＝x和f 2(x)＝3x，定义域和值域虽相同，但对应关系不同，故不是同一个函数； (2)两个函数的对应关系和值域相同，未必是同一个函数．如f 3(x)＝x2，x∈[0，2]和f 4(x)＝x2，x∈[－2，2]对应关系和值域虽相同，但定义域不同，故不是同一个函数． [典例讲评]　【链接教材P66例3】 3．下列各组函数： ①f (x)＝，g(x)＝x－1； ②f (x)＝，g(x)＝； ③f (x)＝·，g(x)＝； ④f (x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示同一个函数的是________．(填序号) ③⑤　[①不是同一个函数，定义域不同， f (x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R． ②不是同一个函数，对应关系不同， f (x)＝，g(x)＝． ③是同一个函数，定义域、对应关系都相同． ④不是同一个函数，对应关系，值域不同，f (x)≥0，g(x)∈R． ⑤是同一个函数，定义域、对应关系都相同．] 【教材原题·P66例3】 例3　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？ (1)y＝()2；(2)u＝； (3)y＝；(4)m＝． [解]　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． (2)u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数． (3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． (4)m＝＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数． 　判断两个函数是否为同一个函数的步骤 [学以致用]　【链接教材P67练习T3】 3．(多选)下列各组函数中，是同一个函数的有(　　) A．f (x)＝x＋1，g(x)＝x＋2 B．f (x)＝|x|，g(x)＝ C．f (x)＝x2，g(x)＝ D．f (x)＝x2，g(t)＝t2 BD　[对于A，两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；对于B，两函数的定义域相同都为R，其次＝|x|，所以是同一个函数；对于C，函数f (x)＝x2的定义域为R，而函数g(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，所以不是同一个函数；对于D，两函数的定义域相同，都为R，且对应关系相同，所以是同一个函数．故选BD．] 【教材原题·P67练习T3】判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由： (1)表示炮弹飞行高度h与时间t关系的函数h＝130t－5t2和二次函数y＝130x－5x2； (2)f (x)＝1和g(x)＝x0． [解]　(1)不是同一个函数，前者的定义域为[0，26]，而后者的定义域为R． (2)不是同一个函数，前者的定义域为R，而后者的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 1．若f (x)＝，则f (3)＝(　　) A．2 　 B．4 C．2 　 D．10 A　[因为f (x)＝，所以f (3)＝＝2．] 2．下列叙述正确的是(　　) A．{x|x＞1}用区间可表示为[1，＋∞) B．{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2) C．(－∞，3]用集合可表示为{x|x＜3} D．[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4} D　[对于A，{x|x＞1}用区间可表示为(1，＋∞)，错误；对于B，{x|－3＜x≤2}用区间可表示为(－3，2]，错误；对于C，(－∞，3]用集合可表示为{x|x≤3}，错误；对于D，[2，4]用集合可表示为{x|2≤x≤4}，正确．故选D．] 3．(教材P72习题3.1T2改编)下列各组函数中是同一个函数的是(　　) A．y＝x＋1与y＝ B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 B　[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故ACD错误．故选B．] 4．函数f (x)＝的定义域是________．(用区间表示) [－2，2)∪(2，＋∞)　[x应满足 即x≥－2，且x≠2．所以函数f (x)＝的定义域是[－2，2)∪(2，＋∞)．] 1．知识链： 2．方法链：整体代换． 3．警示牌：求函数的定义域时，易思考不全面． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．区间[a，b]中a，b满足什么条件？ [提示]　区间[a，b]中a，b满足a，b∈R且a<b． 2．如何判断两个函数是不是同一个函数？ [提示]　判定两个函数是不是同一个函数时，就看定义域和对应关系是否完全一致，完全一致的两个函数才算同一个函数． 课时分层作业(十七)　函数的概念(二) 一、选择题 1．已知函数f (x)＝，则f ＝(　　) A．0 　 B． C．a 　 D．3a D　[函数f (x)＝，所以f ＝＝3a．故选D．] 2．函数f (x)＝的定义域为(　　) A． B．[1，＋∞) C．∪(1，＋∞) D．∪(1，＋∞) D　[函数f (x)＝的定义域满足：解得x≥且x≠1．故选D．] 3．函数y＝f (x)的图象与直线x＝2 024的公共点有(　　) A．0个 　 B．1个 C．0个或1个 　 D．以上答案都不对 [答案]　C 4．设函数f (x)＝，则当f (x)＝2时，x的取值为(　　) A．－4 　 B．4 C．－10 　 D．10 C　[令＝2，则x＝－10．] 5．下列函数与f (x)＝是同一个函数的是(　　) A．g(x)＝x B．g(x)＝ C．g(x)＝ D．g(x)＝x0· D　[函数f (x)＝＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)＝x 的定义域为R，两函数定义域不同，A不符合； g(x)＝＝|x|，两函数解析式不同，B不符合； g(x)＝＝x，其定义域为(0，＋∞)，两函数定义域不同，C不符合； g(x)＝x0·＝x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，两函数是同一个函数，D符合．故选D．] 二、填空题 6．请写出一个定义域和值域都为[0，1]的函数(要注明定义域)________． [答案]　y＝x，x∈[0，1]或y＝x2，x∈[0，1](答案不唯一)． 7．若区间[a＋1，2a－1]满足[a＋1，2a－1]⊆[－2，5]，则实数a的取值范围为________． (2，3]　[根据题意可知解得2＜a≤3，即实数a的取值范围为(2，3]．] 8．已知g(x)＝1－2x，f (g(x))＝(x≠0)，则f ＝________． 15　[令g(x)＝，即1－2x＝，则x＝， 代入f (g(x))＝(x≠0)，可得f ＝＝15．] 三、解答题 9．已知函数f (x)＝＋． (1)求函数f (x)的定义域； (2)求f (－2)，f (6)； (3)已知f (2a＋1)＝＋3，求a的值． [解]　(1)由解析式知可得x≥－3且x≠1， 故函数f (x)的定义域为[－3，1)∪(1，＋∞)． (2)f (－2)＝＋＝－＋1＝－， f (6)＝＋＝＋3＝． (3)由f (2a＋1)＝＋＝＋＝＋3，则＝3， 所以2a＋4＝9，即a＝，显然2a＋1＝6在f (x)定义域内，所以a＝． 10．已知f (x)＝ax5＋1，且f (－2)＝10，则f (2)＝(　　) A．－8 　 B．10 C．－9 　 D．11 A　[因为f (x)＝ax5＋1，且f (－2)＝10， 所以a·(－2)5＋1＝10，得a＝－， 所以f (x)＝－x5＋1， 所以f (2)＝－×25＋1＝－9＋1＝－8．故选A．] 11．已知函数f (x)的定义域为(－1，1)，则函数g(x)＝f ＋f (x－2)的定义域为(　　) A．(0，2) 　 B．(1，2) C．(2，3) 　 D．(－1，1) B　[由题意知 解得1<x<2．故选B．] 12．(多选)若函数f (x)与g(x)的值域相同，但定义域不同，则称f (x)和g(x)是同族函数．已知函数f (x)＝x2，x∈，则下列函数中与f (x)是同族函数的有(　　) A．g(x)＝x2，x∈[－1，0] B．g(x)＝x2，x∈[－1，1] C．g(x)＝，x∈(0，1] D．g(x)＝x＋1，x∈[0，1] AB　[ f (x)＝x2，x∈，则f (x)∈． 对于A，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故A正确； 对于B，g(x)＝x2，x∈，则g(x)∈，满足同族函数的定义，故B正确； 对于C，g(x)＝，x∈(0，1]，则g(x)∈[1，＋∞)，不满足同族函数的定义，故C错误； 对于D，g(x)＝x＋1，x∈，则g(x)∈，不满足同族函数的定义，故D错误．故选AB．] 13．已知函数f (x)的定义域为[－2，3]，则函数y＝的定义域是________． ∪(－1，1]　[依题意 ∴－≤x≤1且x≠－1， 故函数y＝的定义域是∪(－1，1]．] [点评]　抽象函数的定义域 (1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域． (2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域，则g(x)在[c，d]上的范围(值域)即定义域． 14．(教材P100复习参考题3T2、T3改编)设f (x)＝，求证： (1)f (－x)＝(x≠±1)； (2)f ＝－f (x)(x≠－1，且x≠0)． [证明]　(1)∵f (x)＝(x≠±1)， ∴f (－x)＝＝＝(x≠±1)． (2)∵f (x)＝(x≠－1，且x≠0)， ∴f ＝＝＝＝－f (x)(x≠－1，且x≠0)． 15．已知函数f (x)对任意实数x，y都有f (xy)＝f (x)＋f (y)成立． (1)求f (0)和f (1)的值； (2)若f (2)＝a，f (3)＝b(a，b均为常数)，求f (36)的值． [解]　(1)令x＝y＝0，则f (0)＝2f (0)， ∴f (0)＝0， 令x＝y＝1，则f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0． (2)令x＝2，y＝3，则f (6)＝f (2)＋f (3)＝a＋b， 令x＝y＝6，则f (36)＝2f (6)＝2(a＋b)， ∴f (36)＝2(a＋b)． [点评]　对于此类抽象函数求值问题，常用赋值法求解．其中灵活应用题设“f (xy)＝f (x)＋f (y)”是解题关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$